【文章內(nèi)容簡介】 AxBA 又 BA? 可逆 , 所以 0?x . 即 ? ? ? ?0?? bBaAK er . 由引理 知 bBaA? 可逆 . 同樣地 , 對 ? ?bBaAK e rx ??? ? ? ABxxxABE ????? 0. 兩邊同時(shí)左乘 A , 得 BxBAxxABxAx ???? . 所以 ? ? 02 ?????? BxBAxABxAxxBA . 又 BA? 可逆 , 所以 0?x . 所以 ? ? ? ?0?? ABEK er . 由引理 知 E AB? 可逆 . (2)? (1) 對 ? ?BAKerx ??? , 有 ? ? BxAxxBA ??? 即,0 從而有 BxB A xA B xAx ?? , . 14 所以 ? ?? ? ? ? xb B A Ba A BbBaAxABEbBaA ?????? 0??? b B A xb B x . 0??x . 又 bBaA? 及 ABE? 是可逆的 . 知 ? ? ? ?0?? BAKer . 由引理 知 BA? 可逆 . 定理證畢 . 在定理 中令 1??ba , 立即可 以得到 : 推論 設(shè)矩陣 BA, 均是冪等矩陣 , 下列兩個(gè)命題等價(jià) : ⑴ BA? 可逆 . ⑵ BA? 及 ABE? 可逆 . 4 冪等矩陣與其他矩陣的關(guān)系 冪等矩陣與對合矩陣 對合矩陣 定義 若矩陣 A 滿足 ? ?為單位矩陣EEA ?2 , 則稱 A 為對合矩陣 . 對合矩陣和冪等矩陣是密切相關(guān)的 , 它們的性質(zhì)也非常相似 , 這里就不在一一舉出了 , 先舉出幾個(gè)主要性質(zhì)并進(jìn)行證明 : 性質(zhì) 若 A 是對合矩陣 , 則 ? ? ? ? nrr EAEA ?? ?? , 反之 , 也成立 . 證明 由 A 是對合矩陣可知 EA?2 , 故 ? ?? ? 002222 ???????? EAEAEAEA . 由秩的性質(zhì)可知 ? ? ? ? nrr EAEA ?? ?? . 又 ? ? ? ? EAEAE 2???? , ? ? ? ? nrr EAEA ??? ?? . 綜上 ? ? ? ? nrr EAEA ?? ?? . 15 反過來 , 即可證明當(dāng) ? ? ? ? nrr EAEA ?? ?? 時(shí) , A 是對合矩陣 . 性質(zhì) 對合矩陣的特征值為 1 或 1. 證明 類似于冪等矩陣 , 設(shè) ? 為對合矩陣 A 的特征值 , 由于 A 滿足 EA?2 , 故 ? 滿足 1112 ???? 或?? . 性質(zhì) A 是對合矩陣 , 則 A 一定與對角矩陣相似 . 證明 當(dāng) EA ?? 時(shí) , A 本身已經(jīng)是對角矩陣 . 當(dāng) EA ?? 時(shí) ,A 的特征值為 1或 1. A 的屬于 1的特征子空間的維數(shù)等于齊次線性方程組 ? ? 0?? xAE 的解空間的維數(shù) ? ?AErn ?? 。 A 的屬于1 的特征子空間的維數(shù)等于齊次線性方程組 ? ? 0??? xAE 的解空間的維數(shù) ? ?AErn ?? , 由性質(zhì) 得 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? nnnrrnrnrn AEAEAEAE ????????? ???? 22. 因此 A 可以對角化 . 設(shè) ? ?AErt ?? , 由性質(zhì) 得 ? ? rrn AE ?? ? . 因此 A 的相似標(biāo)準(zhǔn)型為 ?????? ? ?rnr EE0 0 . 冪等矩陣與對合矩陣的關(guān)系 命題 設(shè) A 是 n 階矩陣 , 則以下兩個(gè)命題等價(jià) : （ 1） 若 ? ? nrr EAA ?? ? , 則 A 是冪等矩陣 。 （ 2） 若 ? ? ? ? nrr EAEA ?? ?? , 則 A 是對合矩陣 . 證明 (1)? (2) ? ? ? ? ? nrr EAEA ?? ?? , ? ? ? ? nrr EAEA ??? ?? 2121可變形為? ? ? ?? ? nrr EEAEA ?? ??? 2121. 由 (1)有 ? ?EAB ?? 21 是冪等矩陣 , 而 EABB ??? 22 , 即 A 是對合矩陣 . 同理可證 (2)? (1). 原命題得證 . 16 命題 矩陣 A 和 B 都是對合矩陣 , 則 ? ? ? ?BEAE ?? 21,21 冪等矩陣 . 證明 ? ? ? ? ? ? ? ?AEEAEAAEAE ?????????????? ? 2124124121 222 . ? ? ? ? ? ? ? ?BEEBEBBEBE ?????????????? ? 2124124121 222 . 即 ? ? ? ?BEAE ?? 21,21 都是冪等矩陣 , 原命題得證 . 命題 矩陣 A 是冪等矩陣 , 則 EA?2 都是對合矩陣 . 證明 ? ? EEAAEAAEA ???????? 44442 222 . 即 EA?2 都是對合矩陣 , 原命題得證 . 命題 矩陣 EA?2 是對合矩陣 , 則 A 是冪等矩陣 . 證明 EA?2? 是對合矩陣 , ? ? 222 442 EAAEEA ?????? . AA ?? 2 , 即 A 是冪等矩陣 . 冪等矩陣與投影矩陣 投影矩陣 投影矩陣是研究廣義逆矩陣和最小二乘問題的重要方法與手段 . 定義 ]5[ 設(shè)矩陣 nmA? , 任意 mn? 矩陣 X , 若滿足 : (1) AAXA? 。 (2) XXAX? 。 (3) ? ? AXAX ?* 。 (4) ? ? XAXA ?* 中的一個(gè)或者幾個(gè)條件 , 都稱為 A 的廣義逆矩陣 . 上面四個(gè)方程稱為MoorePenrose 方程 . 向量空間 nC 可以分解成子空間 L 與 M 的直和 , 即 MLCn ?? , 則nC 中任意的向量 x 可以唯一的分解成 zyx ?? , 其中 MzLy ?? , , 則稱y 為向量 x 沿著 M 到 L 的投影 , 而稱 nC 中滿足 ? ? yxP ML ?, 的變換 MLP, 為 17 沿著 M 到 L 的投影算子或投影變換 . 投影算子 MLP, 在 nC 的基 neee , 21 ?下的矩陣稱為投影矩陣 , 記為 MLP, . 投影矩陣與冪等矩陣是一一對應(yīng)的 .投影矩陣的種類有很多 , 在文 [7]中有細(xì)致的討論 , 如斜投影矩陣 , 正交投影矩陣 , 加權(quán)正交投影矩陣等 , 我們在這里只討論特殊的正交投影矩陣與冪等矩陣的關(guān)系 . 冪等矩陣與正交投影矩陣的關(guān)系 引理 ]5[ 對任 意矩陣 A 有 : （ 1） ? ? ** AAAA ? 與廣義逆矩陣 ? ??AA* 的選擇無關(guān) 。 （ 2） ? ? AAAAAA ?? ** , ? ? **** AAAAAA ?? . 證明 (1) 因?yàn)?? ? ? ?AAImAIm ** ? , 故存在矩陣 X , AXAAts **. ? , 于是 ? ? ? ? AXAXAXAAAAAXAAAA ******** ?? ?? 右端與 ? ??AA 選擇無關(guān) . (2) 記 ? ? AAAAAAD ?? ? ** , 可直接證明 0* ?DD , 于是 0?D . 類似的 , 可以證明第二式 . 定理 ]5[ 設(shè) A 為任一矩陣 , 記 AP 為向 ImA 的正交投影陣 , 則? ? *_* AAAAPA ? . 證明 由以上引理 可知 , AP 所含的廣義逆 ? ?_*AA 的選擇無關(guān) . 設(shè) B 為一滿足 ? ? ? ??? AImBIm 的矩陣 , 則對任意向量 nCx? , 有分解式 21 BtAtx ?? 這里 21 tt和 為兩個(gè)適當(dāng)維數(shù)的向量 . 依 AP 的定義我們有 121 AtBtPAtPxP AAA ??? , 對一切 21,tt 成立 . 這說明 AP 滿足矩陣方程??? ?? )(.0 )(.BP AAPAA 由 ()知 ? ? ? ? ? ?AImBImPIm *A ?? ?. 18 于是 AXPtsX A ?? *.，矩陣 . () 代入 ()得 AAAX ?** , 即 ? ? ** AXAA ? . () 顯然 , 此矩陣方程是相容的 . 再由相容性定理 ]5[ 可知 ()的解為 ? ? *_* AAAX ? , 代入 ()即可得 ? ? *_* AAAAPA ? , 定理得證 . 定理 設(shè) 21 PP、 為兩個(gè)正交投影 陣 , 則 （ 1） 21 PPP ?? 為正交投影陣 02221 ??? PPPP 。 （ 2） 當(dāng) 01221 ?? PPPP 時(shí) , 21 PPP ?? 為向 ? ? ? ?21 PImPIm ? 上的正交投影 . 證明 (1) 充分性顯然 . 現(xiàn)證必要性 : 設(shè) P 是一個(gè)正交投影陣 , 于是 PP?2 , 01221 ??? PPPP . () 用 1P 分別左乘和右乘 (), 有 : 012121 ?? PPPPP . () 012112 ?? PPPPP . () ()+()得 : 0121 ?PPP . 再由 ()和 ()可得 01221 ?? PPPP . (2) 我們只需證 ? ? ? ? ? ?21 PImPImPIm ?? 對 ? ? PxytsCxPImy n ????? ., , 于是 2121 yyxPxPPxy ????? ? ?? ?2,1, ?? iPImxPy iii 從 021 ?PP 可以推出 21 yy? , 證畢 . 定理 設(shè) 21 PP、 為兩個(gè)正交投影陣 , 則 19 （ 1） 21PPP? 為正交投影陣 1221 PPPP ?? 。 （ 2） 當(dāng) 1221 PPPP ? 時(shí) , 21PPP? 為向 ? ? ? ?21 PImPIm ? 上的正交投影 . 定理 設(shè) 21 PP、 為兩個(gè)正交投影陣 , 則 （ 1） 21 PPP ?? 為正交投影陣 21221 PPPPP ??? 。 （ 2） 當(dāng) 21 PPP ?? 為正交投影陣時(shí) , P 為向 ? ? ? ??? 21 PImPIm 上的正交投影 . 投影矩陣與冪等矩陣是一一對應(yīng)的 , 這兩個(gè)定理的證明類似于冪等矩陣的有關(guān)性質(zhì)的證明 , 此 處略去 . 結(jié)束語 本文采用了直接證明的方式證明了冪等矩陣的伴隨矩陣是冪等的 . 采用數(shù)學(xué)歸納法證明了 若 A 是冪等矩陣 , 則 A 的 k 次冪 仍 是冪等矩陣 . 但在本文 中只討論了實(shí)數(shù)域內(nèi)的冪等矩陣的等價(jià)命題 , 還可以推廣到復(fù)數(shù)域 。 且 僅討論了 2 次冪等矩陣 , 推廣到 k 次會(huì)有更多更好的結(jié)果 . 20 參考文獻(xiàn) [1] 陳文華 . 冪等矩陣與對合矩陣的對角化 [J]. 臨滄師范高等?？茖W(xué)校 學(xué)報(bào) , , 18(2): 8283. [2] Jin Bai Kim, Hee Sik Kim, Seung Dong Kim. An adjoint matrix of real idempotent matrix [J]. of Math. Research amp。 Exposition, 1997, 17(3): 335339. [3] 張凱院 , 徐仲 , 陸全 . 矩陣論典型題解及自測題 [M]. 西北工業(yè)大學(xué)出版社 , : 228234. 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