【文章內(nèi)容簡介】 ，除了極 畢業(yè)設(shè)計 (論文 )報告紙 共 33 頁 第 13 頁 個別情況，通常是很困難的。于是只能根據(jù)具體情況給定的邊界條件和初始條件，用數(shù)值解法求其數(shù)值解，有限元法就是其中最為有效、應(yīng)用最廣的一種數(shù)值計算方法。 矢量磁勢和標量電勢 對于電磁場的計算 ，為了使問題得到簡化，通過定義兩個量來把電場和磁場變量分離開來，分別形成一個獨立的電場或磁場的偏微分方程，這樣便有利于數(shù)值求解。這兩個量一個是矢量磁勢 A（亦稱磁矢位），另一個是標量電勢 Φ ，它們的定義如下： 矢量磁勢定義為： AB ?? ??? (39) 也就是說磁勢的旋度等于磁通量密度。而標量電勢可按 (310)定義： ????E? (310) 電磁場偏微分方程 按 (39)和 (310)定義的矢量磁勢和標量電勢能自動地滿足法拉第電磁感應(yīng)定律和高斯磁通定律。然后再應(yīng)用到安培環(huán)路定律和高斯電通定律，經(jīng)過推導(dǎo)，分別得到了磁場偏微分方程 (311)和電場偏微分方程 (312)： JtAA ??? ??? ?????? 222 (311) ?????? ?????? 222t (312) μ和ε分別為介質(zhì)的磁導(dǎo)率和介電常數(shù)， ? 2為拉普拉斯算子： )( 2222222 zyx ?????????? (313) 很明顯式 (311)和 (312)具有相同的形式，是彼此對稱的，這意味著求解它們的方法相同。至此，我們可以對方程 (311)和 (312)進行數(shù)值求解，如采用有限元法，解得磁勢和電勢的場分布值，然后再經(jīng)過轉(zhuǎn)化（即后處理）可得到電磁場的各種物理量，如磁感應(yīng)強度、儲能。 電磁場中常見邊界條件 電磁場問題實際求解過程中，有各種各樣的邊界條件，但歸結(jié)起來可概括為三種：狄利克萊 (Dirichlet)邊界條件、諾依曼 (Neumann)邊界條件以及它們的組合。 狄利克萊邊界條件可表示為： )(| ??? g? (314) 畢業(yè)設(shè)計 (論文 )報告紙 共 33 頁 第 14 頁 其中 ? 為狄利克萊邊界， g( ? )是位置的函數(shù)，可以為常數(shù)和零。當(dāng)為零時稱此狄利克萊邊界條件為其次邊界條件，如平行電容器的一個極板電勢可假定為零，而另一個假定為常數(shù)，為零的邊界即為其次邊界條件。 諾依曼邊界條件可表示為： )(|)(| ?????? ?? hfn ?? (315) 其中 ? 為諾依曼邊界， n 為邊界 ? 的外法線矢量， )(?f 和 )(?h 為一般函數(shù)（可為常數(shù)和零）。當(dāng)為零時 為其次諾依曼條件。 實際上電磁場微分方程的求解中，只有在邊界條件和初始條件的限制時，電磁場才有確定解。鑒于此，通常稱求解此類問題為邊值問題和初值問題。 電磁場求解的有限元法 可以這樣描述有限元法：把求解的區(qū)域劃分成若干小區(qū)域，這些小區(qū)域稱為“單元”和“有限元”，從而采用線性（當(dāng)然也可以采用非線性）方法求解每個小區(qū)域，然后把各個小區(qū)域的結(jié)果總和便得到了整個區(qū)域的解。整體區(qū)域劃分成小區(qū)域后，在小區(qū)域上求解變得非常簡單，僅是一些代數(shù)運算，如在小區(qū)域內(nèi)應(yīng)用線性插值就得到小區(qū)域內(nèi)未知點的值，而區(qū)域積分變成了小區(qū) 域的求和。為了使有限元中的基本概念更加便于理解，下面以一維有限元法為例簡單介紹有限元法的基本原理。 一維有限元法 圖 31 為一個無限大平行板電容器，該電容器的兩極板間充有電荷密度 ??? 的自由電荷，并假設(shè)極板都接在電壓為 u 的電源上，極板距離為 2d。很明顯，電容器的激勵和幾何形狀都對稱于 y 軸，并且不難知道電場中電力線垂直穿過 y 軸，使電勢在對稱軸上沿 x 方向的變化率為零，于是這種對稱結(jié)構(gòu)可用齊次諾依曼邊界條件來表示。描述這個平行板電容器靜電場的微分方程為 (316)： 12 ???? x ),0( d? ux ??1|? 0| 0??? ?xn? (316) 這里 ? 實際上僅為 x 的一元函數(shù)，第一個方程右邊為 1 是因為激勵電荷密度 ??? 的結(jié) 畢業(yè)設(shè)計 (論文 )報告紙 共 33 頁 第 15 頁 果。 xyuud d0???n?圖 31 平行板電容器示意圖 下面結(jié)合上述平行板電容器的一維靜電場求解問題詳細介紹有限元法。將平行板電 容器的電勢分布問題簡化為如圖 31 所示的一維邊值問題，靜電場用式 (316)描述。有限元法求解的第一步式劃分單元，即把整體區(qū)域劃分成若干小區(qū)域（或單元）。這里我們把（ 0， d）區(qū)間分割成五單元，分別記為單元 e1， e2， e3， e4 和 e5。劃分過程中 2 和 3 單元較小，也就是說在這個區(qū)域內(nèi)單元較密，這也體現(xiàn)了劃分單元疏密適當(dāng)?shù)乃枷?。通常劃分的區(qū)域越多，則解的精度越高，當(dāng)然計算量也就越大，計算時間也越長。劃分單元的大小可以不同，視具體情況而定，如場分布比較密，那么采用較小的單元以更多的單元劃分密的區(qū)域。劃分后的區(qū)域 ，由不同的尺寸的四個單元和五個節(jié)點表示，如圖 32(a)。每個節(jié)點上的電勢值分別記為 4321 , ???? 和 5? 。而每個單元由相鄰兩個節(jié)點所限定，單元中的值采用單元節(jié)點值進行線性插值得到，如圖 32(b)。 d/100 d/5 2d/5 4d/51 2 3 4 5 61? 2? 3? 4? 5? 6? 1?iX iX 1?iX 2?iXi?1?i?e? (a) 區(qū)域和單元 (b) 有限元線性插值原理 圖 32 一維靜電場問題的區(qū)域和單元 最后計算結(jié)果為（具體過程可參見有關(guān)文獻 [12]）： 2020743521 dudu ????， 256435 22 dudu ???? 畢業(yè)設(shè)計 (論文 )報告紙 共 33 頁 第 16 頁 521523 dudu ????， 5075 24 dudu ???? 5025 du???， u?6? 注意結(jié)果中沒有考慮各個物理量的單位。從解得的近似節(jié)點電勢值，利用先前介紹的節(jié)點間線性插值，便可以得到（ 0， d）上各個點的電勢值，從而獲得方向上的電勢分布并進而可得到電場分布。另外，應(yīng)用問題的對稱性，就得到整個區(qū)域的解。 電磁場解后處理 上一節(jié)中，用有限元法求解出了節(jié)點電勢值（或磁勢值），而實際問題當(dāng)中，顯然僅僅知道電勢和磁勢的分布是遠遠不夠的，并且這對進一步的應(yīng)用提供的信息也是遠遠不足的。因此，我們還要得到許多其他物理量，如磁感應(yīng)強度（和磁通量強度）、電位移通量、電磁場能量、電磁場力及力矩、電感和電容等。當(dāng)然，以求得的電勢和磁勢為基礎(chǔ)，容易地導(dǎo)出這些物理量，導(dǎo)出這些物理量的過程就是電磁場解后處理，即有限元解后處理。這里僅以電磁場儲能簡單討論解后處理的基本思想和原理。 電場儲能 對于無源，電場中的儲能可表示如下： ?????? ?? ?? ddEDW 2||2121 ???? (317) 其中 W 為能量，其余符號意義同前。從能量的表達式可以看出，只要知道了電場的電勢分布，就可以得到儲能的大小。應(yīng)用前面介紹的有限元思想，同樣把整個區(qū)域 ? 劃分為若干個單元子區(qū)域 e? ，然后分別求出每個單元的能量后再總和就得到了整個區(qū)域的總能量大小，于是有（假設(shè)為二維靜電場，并設(shè)介電系數(shù)為常數(shù)）： ?????????? ? ?? ? ?? dyxdW ne e ])()[(2||2 1 222 ????? (318) 可以看出，從求出的電勢 ? 出發(fā)便可以計算出電場儲能。 磁場儲能 與電場類似，磁場的能量可表示為： 畢業(yè)設(shè)計 (論文 )報告紙 共 33 頁 第 17 頁 ???????????? ??? ??? dyAxAdBdHBW ne ])()[(121||12121 2212 ?? ??? (319) 同樣求出了磁勢 A 便可以根據(jù)上式得到磁場能量。 關(guān)于其他物理量的有限元后處理推導(dǎo)，可參看有關(guān)文獻。 第四章 電勵磁雙凸極電機模型的建立 建模工具的探討 Maxwell 以其在電磁場仿真領(lǐng)域中的卓越表現(xiàn)而著稱于世，電磁和機電元件的設(shè)計者依靠 Maxwell 提供的強大功能可以準確快速的達到設(shè)計目的。 當(dāng)今工業(yè)應(yīng)用中的電磁元件，如傳感器，調(diào)節(jié)器，電 動機，變壓器，以及其它工業(yè)控制系統(tǒng)比以往任何時候使用的都廣泛。由于設(shè)計者對性能和體積設(shè)計封裝的希望，先進而便于使用的數(shù)字場仿真技術(shù)的需求也顯著增長。在工程人員所關(guān)心的實用性和數(shù)字化功能方面，Maxwell 的產(chǎn)品有著突出的優(yōu)勢。 Maxwell 2D 包括交流 /直流磁場、靜電場，以及瞬態(tài)電磁場、溫度場分析，參數(shù)化分極，以及優(yōu)化功能，此外 Maxwell 2D 還能產(chǎn)生高精度的等效電路模型以供 Ansoft 的 SIMPLORER模塊和其它電路分析工具調(diào)用。本次畢業(yè)設(shè)計主要是利用其進行直流磁場的分析。 利用 Maxwell 2D 的直流磁場模塊可以分析由直流電流、永磁體以及外部激磁引起的磁場。它適用于激勵器、傳感器、電機以及永磁體等。分析的對象可包括非線性的 BH 曲線 (如鋼材、鐵氧體以及永磁體 )，材料的各向異性和隨位置變化等特性都包含其中。該模塊可自動計算力、轉(zhuǎn)矩、電感和儲能，而其它需要測量的物理量可利用后處理中集成的計算器從磁場計算結(jié)果中提取，此外，后處理還能繪制磁力線、 B 和 H 場分布、能量密度以及飽和程度圖。 電機模型的建立 電勵磁雙凸極電機模型的建立對其性能的研究有著非常重要的影響，因而模型的建立至關(guān)重要，本小節(jié)將詳細 敘述建模過程。 定轉(zhuǎn)子模型 考慮到在 Ansoft 中取點的復(fù)雜性，可以直接從 AutoCAD 中將模型導(dǎo)入，這首先應(yīng)確保模型在 AutoCAD 中處于同一圖層，然后進行導(dǎo)入，其具體步驟為：雙擊 Maxwell → PROJECTS → NEW...( 命名 ) → Define Model...(drawing model) → file → import... → 選擇所需圖形，即可。但由 于 AutoCAD 模型的不完善，在導(dǎo)入過程中出現(xiàn)了一些問題，通過仔細研究發(fā)現(xiàn)，主要是曲線不封閉，利用 AutoCAD 中的剪裁 ，拉伸等工具，可以對模型進行改進，從而達到要 畢業(yè)設(shè)計 (論文 )報告紙 共 33 頁 第 18 頁 求，如圖 41 所示。 圖 41 定轉(zhuǎn)子截面圖 繞組模型 繞組模型的建立應(yīng)該說花費了很長時間，主要問題是無法分相，通過反復(fù)研究嘗試，發(fā)現(xiàn)其原因是繞組連接處無結(jié)點，建模的具體步驟如下：在原有模型基礎(chǔ)上，點擊 Ed