【文章內(nèi)容簡介】 概率脫落概率是指碰撞粘附的礦粒又脫落的概率。邁克認為脫落概率與粒度的7/3次方成正比，后來伍德波恩提出脫落概率（1θ）與粒度L的關(guān)系式：1θ=(當(dāng)L≤Lmax)1θ=1 (當(dāng)L＞Lmax) (7) 式中 Lmax——在突然沖擊下，礦粒仍不脫落的最大粒度。一般估計的為400微米，所以1微米礦粒脫落的概率為104，這是很小的。上述碰撞粘附理論模型方程式，實際上僅模擬了礦化過程，而不完全表達整個浮選過程。分批浮選主要應(yīng)用于實驗室試驗，它的特點是一次投料，在浮選過程中，精礦連續(xù)地被刮出。由于分批浮選很難形成穩(wěn)定的泡沫層，因此絕大部分浮選模型都屬于單相浮選模型。 浮選速率模型浮選過程涉及的是氣泡與礦粒間的相互作用?；瘜W(xué)反應(yīng)涉及的是原子、分子、離子間的相互作用。就粒子間的相互作用來說，可以認為浮選過程與化學(xué)反應(yīng)是相似的，故浮選速率方程可從化學(xué)反應(yīng)速率方程類推。假定浮選過程中充氣速度和攪拌強度等影響浮選速率的各種變量保持恒定，則在自由浮選的條件下（即礦漿較?。∵x速率方程可表示為[59]：dCdt=KCn (8)式中 C——在t時刻，礦漿中欲浮礦物的濃度； K——速率常數(shù)，秒1或分1； n——浮選反應(yīng)級數(shù)。在（8）式中，若以精礦回收率E表示時，則礦漿中欲浮礦物的濃度用其回收率（E∞E）代替。此時（8）式可以寫為：dεdt=Kε∞εn （9）式中 ε∞——延長浮選時間后，欲浮礦物可能達到的最大回收率。純礦物浮選可取100% ε——在任何指定時刻t，被浮礦物的回收率。在（9）式中，當(dāng)時n=1時稱“一級反應(yīng)”，此時若以K1表示以及反應(yīng)速率常數(shù)，t=0,ε=0為初始條件，則積分可得：lnε∞ε∞ε=K1t (10)或ε=ε∞1eK1t (11)事實上，大多數(shù)浮選過程并不符合一級速率過程。經(jīng)許多學(xué)者的研究，反應(yīng)級數(shù)大致在0—6之間。n級浮選速率模型也僅僅是追求擬合度的改善，反應(yīng)級數(shù)并沒有明顯的物理意義，模型本身沒有揭露過程的實質(zhì)，也不能解釋為什么有的浮選過程符合一級速率過程，而有的卻不符合。上述模型認為浮選物料是以單一浮選速率浮出的。大量試驗觀察表明，浮選槽中的礦粒實際是以不同的速率被浮出的。除了礦粒的粒度外，影響浮選速率變化的因素還有很多：礦粒的解離度、表面特性、氧化程度、形狀比重以及礦漿濃度和藥劑濃度等等。這就是說，礦粒的浮選性質(zhì)是不均勻的。在試驗和生產(chǎn)中觀察到的浮選現(xiàn)象實際上是具有不同性質(zhì)礦粒的不同浮選行為的綜合結(jié)果。為了更精確地描述浮選過程，人們提出了速率常數(shù)分布模型。在一維分布的浮選速率分布模型中，只考察欲浮物料的一種特性，即可浮性，并用浮選速率常數(shù)k表示。這類模型是以下述三點基本假設(shè)為出發(fā)點的：1）各礦粒的浮選速率可能不同，即浮選速率常數(shù)是分布的或者說礦粒是呈品級分布的；2）各品級礦粒的浮選動力學(xué)遵循一級速率過程；3）各品級礦粒按其自身的浮選速率浮出，互不干涉。根據(jù)這三點基本假設(shè)，就可推導(dǎo)出浮選速率常數(shù)分布模型的基本公式。0kk k+dkf(k，t)用f（k，t）表示t時刻槽內(nèi)欲浮物料的浮選速率常數(shù)分布，則槽內(nèi)浮選速率常數(shù)為k到dk的物料濃度為C fk，tdk，如圖21所示。圖21 浮選速率常數(shù)分布圖 圖22 初始浮選速率常數(shù)分布圖0f(k，0)Kg (k,0)1ε∞ε∞這部分物料的浮選速率常數(shù)的值是單一的，為k，有上述的第二點假設(shè)，則有dC fk，tdkdt=kC fk，tdk (12)這就是速率常數(shù)分布模型的微分形式，其初始條件為C fk，tdk︳t=0=C0 fk，0dk 積分后得Cfk，t=C0fk，0ekt （13）為了得到t時刻槽內(nèi)剩余目的礦物的濃度C，由上述第三點假設(shè)，在式（13）兩邊分別對k求積分，則有0∞Cfk，tdk=0∞C0fk，0ektdk (14)由分布密度函數(shù)的性質(zhì)，可知0∞fk，tdk=1 (15)于是有C=C00∞fk，0ektdk (16)這就是浮選速率常數(shù)分布模型的積分形式，也是浮選速率常數(shù)分布模型的基本公式。由該式可知，只要知道浮選速率常數(shù)的初始分布fk，0和槽內(nèi)目的礦物的初始濃度C0，就可以計算出任何時刻槽內(nèi)剩余的目的礦物的濃度。由式（13），可知fk，t=C0Cfk，0ekt （17）將式（16）代入（17），得fk，t=fk，0ekt0∞fk，0ektdk （18）因此，只要知道浮選速率常數(shù)的初始分布密度函數(shù)，還能求出任何時刻槽內(nèi)目的礦物的速率常數(shù)密度分布函數(shù)。式（16）還可以寫成常用的回收率公式ε=1CC0=10∞fk，0ektdk (19)當(dāng)目的礦物中含有不可浮部分時，則最大回收率ε∞＜1（100%）。這時可以認為目的礦物的速率常數(shù)分布密度函數(shù)由兩部分構(gòu)成，如圖22所示，即fk，0=1ε∞δk （k=0）ε∞gk，0 （k0） （20）式中，δk是k的函數(shù)。上式在圖2中的幾何意義就是分布密度函數(shù)曲f(k，0)和橫坐標軸之間的面積，在k=0這點等于1ε∞，而在（0，+∞）區(qū)間則等于ε∞。其物理意義即不可浮部分占1ε∞，可浮部分占ε∞。將式（20）代入式（19），可得ε=ε∞10∞gk，0ektdk （21）事實上式（21）與式（19）并無本質(zhì)上的差別，只不過是多了一個待定系數(shù)ε∞。引入ε∞往往可是曲線擬合的更加滿意，并具有某些選礦上的物理意義。但重要的是區(qū)分低速率常數(shù)的物料和速率常數(shù)為零的物料。如果有用礦物的粒度均在可浮粒度范圍內(nèi)，則可能不存在不可浮的有用礦物，而僅有低速率常數(shù)的有用礦物，這時引入ε∞來改進模型的擬合就可能是不適宜的了。 常用浮選速率分布由前面可知，應(yīng)用浮選速率常數(shù)分布模型的關(guān)鍵在于如何得知速率常數(shù)初始密度分布函數(shù)fk，0。fk，0是各種因素作用的綜合結(jié)果，由于浮選過程的復(fù)雜性，這不可能從理論上根據(jù)浮選物料的性質(zhì)和浮選條件直接推導(dǎo)出fk，0。根據(jù)概率論的原理，從有限區(qū)間內(nèi)的有限個試驗點，不足以決定C/C0的形式，因而也不足以決定初始分布密度函數(shù)fk，0。因此在浮選模型的研究中，往往是先假定fk，0具備某一函數(shù)的形式，該函數(shù)包含一個到幾個待定參數(shù)，然后根據(jù)式（19）推導(dǎo)出ε的函數(shù)形式，再通過對試驗數(shù)據(jù)的擬合估計出fk，0中的未知參數(shù)。在長期的試驗研究中，人們提出了許多速率常數(shù)分布，它們可以分為兩大類：離散分布和連續(xù)分布[1]。離散分布將目的礦物分為n個品級，各品級的含量（重量分數(shù)）為fii=1，2，…，n；速率常數(shù)Kii=1，2，…，n；且i=1nfi=1。則有C=C0i=1nfieKit (22)或ε=1i=1nfieKit (22)連續(xù)分布則認為目的礦物的品級分布是連續(xù)的，因而其速率常數(shù)分布也是連續(xù)的。常用的分布有矩形分布，雙矩形分布，三角形分布，雙三角形分布，伽馬分布，雙峰伽馬分布貝塔分布等等。 εγ曲線模型 所謂εγ曲線是指以精礦的產(chǎn)率為橫坐標，以精礦中有用礦物的回收率為縱坐標所繪制的曲線。實際生產(chǎn)中總是希望εγ曲線能夠盡早地達到飽和，即在γ很小的時候，ε就已經(jīng)接近其最大值了。例如，在圖23的兩條曲線中(同一種礦石得到的兩條不同的εγ曲線)，曲線1代表的結(jié)果是優(yōu)于曲線2的。圖23 εγ曲線圖 圖24 初始浮選速率常數(shù)分布圖011εγ曲線2曲線1f(k，0)組份1組份2K組份3現(xiàn)在我們感興趣的問題是，在某些條件（主要是礦石的解離性質(zhì)，所用浮選藥劑的種類等）已經(jīng)確定的情況下，是否存在以及如何確定εγ的最優(yōu)形狀。為了解決這個問題，在浮選速率常數(shù)分布模型的基礎(chǔ)上作如下假設(shè)： 1）k值越大，它所對應(yīng)的微元組分的品位就越高，并且，若微元組分的品位越高，則該微元組分的k值也越大。在圖24中，組份1的品位高于組份2的品位。若令k=g1β，a0，a1，a2，… (23)式中，k為某一微元組分的浮選速率常數(shù)，β為該微元組份的品位，a0，a1，a2，…為該微元組分的其它性質(zhì)。品位是影響浮選速率常數(shù)的主要因素，為了便于研究，忽略其他次要因素，則式（23）可以寫為k=g2β (24)由上述假設(shè)可知g2是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，因此它存在反函數(shù)：β=gk=g21β (25)2）k值大的組份總是比k值小的組份先浮出來，在圖24中，組份1總是比組份2先浮起來。在第一條假設(shè)下，可以看到，在圖24中，當(dāng)產(chǎn)率為γ時，若浮起的物料為組份3，此時所對應(yīng)的回收率ε是所有情況中最大的一種。也就是說，對于給定的入選物料以及一定的分選條件，如果能確定該物料的初始浮選速率常數(shù)分布密度函數(shù)，基于上述兩條假設(shè)，就能確定一條εγ曲線，這條曲線總是優(yōu)于其它情況下得到的εγ曲線。 當(dāng)浮選速率常數(shù)為μ所對應(yīng)的物料浮出時，精礦的產(chǎn)率γ可以由以下公式計算得到。γ=10μfk，0dk0∞fk，0dk （26）將式（15）帶入到式（26）中得：γ=10μfk，0dk （27）回收率可以由以下公式得到。ε=10μfk，0βdk0∞fk，0βdk （28）將（25）式代入得ε=10μfk，0gkdk0∞fk，0gkdk （29）0∞ft，0gtdt其實就是入選物料的品位，是一個常數(shù)，將它記作α，則有：ε=10μfk，0gkdkα （30）對于品位和浮選速率常數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即函數(shù)β=gk的形式，我們將在后面的章節(jié)討論。只要確定β和k的關(guān)系，就能得到γ與k以及ε與k的函數(shù)關(guān)系式。最終也能確定ε與γ的關(guān)系。事實上，由于式（25）和式（27）中被積函數(shù)的形式問題，往往不能得到γ與k以及ε與k的解析函數(shù)關(guān)系式，即使能夠得到γ與k以及ε與k的解析函數(shù)關(guān)系式，要從中消去k，得到ε與γ的解析函數(shù)關(guān)系式也是極其困難甚至是不可能的。因此，需要借助數(shù)值分析的方法來解決。 數(shù)值分析數(shù)值分析是研究用計算機求解數(shù)學(xué)計算問題的數(shù)值計算方法及其理論的學(xué)科，是數(shù)學(xué)的一個分支，它以數(shù)字計算機求解數(shù)學(xué)問題的理論和方法為研究對象。在礦物加工過程中許多問題很難用解析的辦法進行求解，借助數(shù)值計算方法是一個非常必要的步驟。在本文中，主要運用的是數(shù)值積分。 數(shù)值積分數(shù)值積分可以用于計算解析定義的函數(shù)的積分，也可以計算以列表形式給出的函數(shù)的積分，其基本原理是采用多項式近似原函數(shù)，然后用該多項式的積分近似原函數(shù)的積分。下面，介紹幾種常用的數(shù)值積分方法。1）復(fù)合梯形公式積分法梯形公式法數(shù)值積分采用的梯形公式是最簡單的數(shù)值積分公式，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的梯形公式法數(shù)值積分表達式為：abf(x)dx≈ba2[fa+fb]由于用梯形公式來求積分十分粗糙，誤差也比較大，復(fù)合梯形公式法積分是將積分區(qū)間[a，b]劃分成n個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上應(yīng)用梯形公式，在求和得到積分結(jié)果，復(fù)合梯形公式如下：abf(x)dx≈h2[fa+2k=1n1[fxk+fb]其中xk=a+kh，h=ban。2）辛普森法數(shù)值積分辛普森法數(shù)值積分采用辛普森公式來計算，其積分公式為：abf(x)dx≈ba6[fa+4f(a+b2)+fb]與梯形公式一樣，也有復(fù)合辛普森公式：abf(x)dx≈h6k=1n1[fxk+fxk+12+fxk+1]其中，xk+12=xk+xk+12,h=ban。3）牛頓—科茨法數(shù)值積分牛頓—科茨法數(shù)值積分公式是通過在n個等距節(jié)點上用n1階多項式對被積函數(shù)進