【文章內(nèi)容簡介】 結(jié)。 北京航空航天大學(xué)學(xué)位論文 7 第二章 管道消聲的模態(tài)匹配法優(yōu)化設(shè)計(jì) 前言 隨著民用飛機(jī)的日趨普及，航空噪聲已成為一種重要的噪聲污染源，同時(shí)由于各國對軍機(jī)在聲隱身方面的要求越來越高，航空噪聲 已經(jīng)引起人們的普遍關(guān)注，并且成為檢驗(yàn)民用飛機(jī)適航性的重要指標(biāo)之一。西方國家相繼投入了大量人力、物力進(jìn)行航空噪聲研究，并取得了令人矚目的成就 ,如低噪聲技術(shù)已在 Boeing74 Boeing75 A300、 A310等大型客機(jī)上獲得了廣泛應(yīng)用。隨著我國新支線客機(jī)的研制和干線客機(jī)的研制逐步提到議事日程，降低飛機(jī)噪聲、確保飛機(jī)符合航空噪聲適航條例已成為迫在眉睫的問題。 本研究是在呂亞東工作的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，主要是校核程序的正確性并投入實(shí)際使用。在研究過程中發(fā)現(xiàn)呂亞東的文獻(xiàn)中對特征值方程的推導(dǎo)有一定的錯(cuò)誤；程序只能在低周向模態(tài)數(shù)下運(yùn)行，在高階周向模態(tài)數(shù)下運(yùn)行出錯(cuò)。針對以上問題本研究提出了完善方法，并通過和其他計(jì)算方法的校核驗(yàn)證了程序的正確性，使其最終能投入實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)工作中。 物理模型及計(jì)算方法 1）均勻流聲襯圓形管道聲傳播的邊界值問題 （ 1）微分方程 對有均勻流的無限長管道聲波滿足如下對流波動(dòng)方程： 22 0221 zDpp V pc D t t z????? ? ? ????? （ ） 在柱坐標(biāo)系中對流波動(dòng)方程可以通過采用分離變量法將其化為常微分方程 ,假設(shè)方程的一個(gè)特解為： ()( , , , ) ( ) ( ) zi k z trp r z t p r p e ???? ?? （ ） 北京航空航天大學(xué)學(xué)位論文 8 可得如下常微分方程組 [21]： 22222222 2 2 21( ) 0( 1 ) 2 ( ) 0rrrrz z rdpkpdd p dp kkpdr r dr rk M M k k k k???????? ? ? ?? ? ? ? ?????????? 式中 k 是自由空間波數(shù) 222k c?? ， rk 、 k? 、 zk 分別為徑向波數(shù)、周向波數(shù)和軸向波數(shù)。 由 ()及 p? 的周向周期性條件得到： exp()k imp im?? ?????? （ ） ()式可化為： 2222 0rr rd p d p mr k r ud r d r r??? ? ? ????? （ ） rk 是滿足邊界條件的特征值， z 向傳播波數(shù) zk 需要滿足（ ） ，這里規(guī)定流動(dòng)方向在 z軸正方向。 常微分方程（ ）為整數(shù)階的貝賽爾方程，它的通解為第一類和第二類貝賽爾函數(shù)： ( ) ( )r m r m rp AJ k r BY k r?? （ ） 園管時(shí)其解的形式中僅有第一類貝賽爾函數(shù)，即 B＝ 0。 （ 2）邊界條件 假設(shè)軟壁管道表面位移為： ? ?0 e xp ( )zi k z t? ? ??? () 這里 0? 實(shí)數(shù)， ? 是復(fù)數(shù)。說明軟壁管道呈行波的擾動(dòng)。 （ ） （ ） （ ） 北京航空航天大學(xué)學(xué)位論文 9 ? ?0 ( ) ex p ( )nzz z zdVVd t t zi k V i k z t? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? () 由管壁法向速度的動(dòng)量方程得到： 01n n nzd V V V pVd t t z r?? ? ?? ? ? ?? ? ? () ()式表示這里 nV 的正方向在向徑方向，即 r 的正方向。 將 ()代入后，得到， ? ?2 0 01( ) e x p ( )z z z pk V i k z t r? ? ? ? ?? ? ? ? () 這時(shí)引入無流動(dòng)情況下的聲導(dǎo)納率， 0001ncczpzcV????? ? ?無 流 動(dòng) () ? ?0 ex p ( )znV i i k z tt? ? ? ??? ? ? ??無 流 動(dòng) () 由 ()式說明 ?的正方向 也規(guī)定在 nV 的正方向，即 r 的正方向。將 ()代入()，得到： ? ?20 0 e x p ( )zc ik i k z tp?? ? ?? ? ? () 由 ()及 ()得到壁面邊界條件： 2(1 )zpkik M prk?? ? ? ?? () 這里 zk 通過 ()式與 rk 相關(guān)聯(lián)，它是求解特征值和特征函數(shù)的邊界條件。將 ()式代入，即可得到求解特征值 rk 的復(fù)超越方程。 （ 3）特征值問題的討論 由 ()和 ()園管道求解特征值 rk 的復(fù)超越方程： 2( ) (1 ) ( )zr m r D m r Dkk J k r ik M p J k rk?? ?? () 北京航空航天大學(xué)學(xué)位論文 10 令 rDkr?? 化簡得到如下的超越方程組： 2122 2 2( ) ( ) ( 1 ) ( )( 1 ) 2 0zm m mDDzzDmkJ J ik M Jr r kk M Mk k kr?? ? ? ???? ? ? ? ?????????? ? ? ? ??????????? () 求解這個(gè)超越方程組可得到徑向特征值 rDkr?? ，和軸向傳播波數(shù) zk 。 上式中除 ? 、 zk 及 ? 、 i 外其余都為實(shí)數(shù)，因此， ? 的共軛 ?? 是以下超越方程的根。 2122 2 2( ) ( ) ( 1 ) ( )( 1 ) 2 0zm m mDDzzDmkJ J ik M Jr r kk M Mk k kr?? ? ? ???? ? ?????? ?? ? ? ? ???? ????? ? ? ? ? ?????? ????? () 顯然 ()與 ()中的第二式形式相同，第一式形式不同，相差一個(gè)符號，這說明共軛根并不是滿足物理意義的解，但通過后面的討論可以知道它代表了另一種波動(dòng)表示形式的解。 由 ()式得到： 2221 ( 1 )( / )( 1 ) rz M M k kk M? ? ? ?? ? () 以上的推導(dǎo)中聲波是用傳播用因子 ? ?21e xp ( )zi k z z t???來表示，若規(guī)定 ? 為正值，亞音速條件下，聲波從 1z 傳播到 2z ，則要求： ? ?? ?2121e ( ) 0Im ( ) 0zzR k z zk z z???? ??? () 第一式表示行波的傳播方向，第二式表 示在傳播方向上波是衰減的。根據(jù) ()式選擇式 ()式中平方根的正負(fù)號，實(shí)際上根據(jù) ()的第二式確定正負(fù)號后，第一式可自動(dòng)滿足。 北京航空航天大學(xué)學(xué)位論文 11 當(dāng)聲波用與前一種情況共軛的傳播因子 ? ?21e xp ( )zi t k z z? ??來表示時(shí)，為保證波的正向傳播及在傳播方向是衰減的，仍需要滿足 ()，同時(shí)所有相應(yīng)的復(fù)參數(shù)將為上一種情況的共軛，即 軟壁管道表面位移為： ? ?0 e xp ( )zi k z t? ? ?? ? ? () 軟壁管道的 行波擾動(dòng)： ? ?0 ( ) e x p ( )n z z z zdV V i k V i k z td t t z? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? () ? ?2 0 01( ) e x p ( )z z z pk V i k z t r? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? () ? ?0 ex p ( )znV i i k z tt? ? ? ??? ? ? ? ??無 流 動(dòng) () ? ?0 0 e xp ( )zc i i k z tp?? ? ? ?? ? ? ? () 在這種情況下的導(dǎo)納是前一種情況的共軛。 2(1 )zpkik M prk?? ? ? ?? () 獲得的求解特征值的超越方程與前一種情況也是共軛方程，由于方程右端有虛數(shù)單位，因此共軛后相差一個(gè)負(fù)號，為： 2( ) ( 1 ) ( )zr m r D m r Dkk J k r ik M J k rk?? ? ? ? () 令 rDkr?? ,化簡得到如下的超越方程組： 2122 2 2( ) ( ) ( 1 ) ( )( 1 ) 2 0zm m mDDzzDmkJ J ik M Jr r kk M Mk k kr?? ? ? ???? ? ? ? ?????????? ? ? ? ???????????() ()與 ()的形式相同，說明它是前一種情況特征值方程的共軛方程。類似的方法可討論波傳播 用因子為 ? ?21e xp ( )zi k z z t???的情況，相應(yīng)的聲導(dǎo)納率和超越方程分別為： 北京航空航天大學(xué)學(xué)位論文 12 ? ?0 0 e xp ( )zc i i k z tp?? ? ? ?? ? ? () 2122 2 2( ) ( ) ( 1 ) ( )( 1 ) 2 0zm m mDDzzDmkJ J ik M Jr r kk M Mk k kr?? ? ? ???? ? ? ? ?????????? ? ? ? ??????????? () 這時(shí)的導(dǎo)納率也是第一種情況的共軛數(shù)，由于對不同的波傳播表示方法得到的導(dǎo)納率及特征方程不同，因此在與其它方法進(jìn)行比較時(shí)需要特別注意。 2）無限長軟壁管道的聲傳播的模態(tài)展開 在確定了特征值和傳播波數(shù)后可以將管道聲 場用聲模態(tài)展開： ? ?( , , , ) ( ) e x p ( )m n m m n z m nmnp r z t A J k r i k z m t? ? ?? ? ??? () 對硬壁管道徑向模態(tài)是正交的，可以方便地用正交展開的方法求解展開模態(tài)系數(shù)，對軟壁管道其徑向模態(tài)非正交，求解模態(tài)系數(shù)可首先正交化后求解，但對有限項(xiàng)近似展開可用保留交叉項(xiàng)的方法計(jì)算 [13],見附錄 A。 3）均勻流多段聲襯圓形管道聲傳播預(yù)測模型 對多段管道聲傳播問題可以近似為： 1)每段管道的聲場滿足無限長管道聲傳播的模態(tài)展開形式； 2)各段交界面滿足聲壓和聲質(zhì)點(diǎn)速度連續(xù)條件； 在 ()模態(tài)展開的 基礎(chǔ)上，在有前傳和后傳聲波情況下。在 j 段任意軸向位置 z的聲壓為： () 1()()( 1 ) ( )()( ) ( )( ) e( , , , ) e x p ( )( ) ejz m n jjz m n ji k z zjjm n m m ni k z zjjmnm n m m nA J k rp r z t i m tA J k r? ? ?? ???? ?? ? ? ???? ??? ???? ??????????? () ()( ) ( 1 ) e jzmni k Ljjmn mnAA ???? ? ? ??? () ()( 1 ) ( ) e jzm ni k Ljjm n m nAA ????? ? ? ??? () 這里我們以兩段管道為例，如圖 所示： 北京航空航天大學(xué)學(xué)位論文 13 （ 1）聲壓連續(xù)條 件： ( , ) ( , )jkp r z p r z? () 寫成矩陣形式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T