三角函數(shù)所有專業(yè)(編輯修改稿)
2025-06-26 17:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ； (2)、有兩個不相等的實數(shù)根時： 0430129)1()1( ????? ?ffaa 且有得 即 320,3200)23(3 ???????? aaaa 此時解為 .32043 ??? aaa 或的解為綜上所述： 5 三角函數(shù)式的化簡 化簡的意義 (1)、便于研究三角函數(shù)的性質(zhì)。如： )32c os ()32c os ()( xxf x ??? ??，如果直接判斷它的奇偶性、求它的周期、最值以及單調(diào)區(qū)間，把原函數(shù)化簡為 xfx 6sin21)( ?以后，問題就變得容易解決了。 (2)、便于畫出三角函數(shù)的圖象。如： (1)中的例子化簡后用“五點作圖法”就容易畫圖了。 (3)、便于計算三角函數(shù)式的值，這里有 兩種情況：一是化簡的結(jié)果正好是一個常數(shù)這就是所求的三角函數(shù)式的值；二是化簡以后函數(shù)容易求值。 (4)、便于證明三角恒等式。證明三角恒等式有時把等式較繁的一邊化簡，而化簡的結(jié)果通常是題目所規(guī)定的，即等式的另一邊；或者把等式的兩邊化簡，推出同一結(jié)果 。 化簡三角函數(shù)的一般要求 從化簡的目的意義出發(fā)，到最終的化簡一般都是出現(xiàn)兩種結(jié)果：一種是一元一次，即類似 kxAy ??? )sin ( ?? 的標準形式；另一種是一元二次，即類似 cBxAy ??? 2)(sin的標準形式。我們對化簡的結(jié)果 作如下要求 : (1)、能求出數(shù)值的要把數(shù)值求出來； (2)、函數(shù)的種類盡量少； (3)、函數(shù)的冪要盡量低； (4)、項數(shù)要盡量少； (5)、盡量使分母不含三角函數(shù)。這些要求，歸根結(jié)底，就是一個字：簡。 215s i n52s i n253s i n5s i n103c o s10c o s253s i n5s i n103s i n10c o s252c o s5c o s1?????????????????解：原式：化簡例 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxc o s11c o ss i nc o s1c o s)c o ss i n1(c o ss i n)c o s) ( s i nc o s( s i nc o s)c o ss i n1(c o ss i nc o ss i n22222222222222224????????????????解：原式：化簡例 ?????????????????????????????????t a nc o ss i n))2(4s i n ()]s i n ()[s i n ()c o s())2(5c o s ()s i n()c o s()s i n()29s i n ()s i n ()3s i n ()c o s ()211c o s ()2c o s ()c o s ()2s i n (3????????????????????????????解：原式：化簡例 )32s i n (22c o s32s i nc o ss i ns i n3)3s i n (c o s2c o ss i ns i n3)3s i n (c o s2522??????? ?????????? ???????????xxxxxxxxfxxxxxfxx輔助角公式降冪公式用三角公式展開解：：化簡函數(shù)例 6 三角函數(shù)中的幾個常見問題 根據(jù)三角函數(shù)知識可知，在直角坐標系中，在角 ? 終邊 上任取一點作 x 軸的垂線，得到的三角函數(shù)值不會隨所取點的位置的不同而不同，那么還要用單位圓上點的坐標來定義任意角的三角函數(shù)，這樣定義有什么樣的好處呢？好處有如下幾點： 好處 1：更簡潔、更清楚，而且更能突出正、余弦函數(shù)中自變量（角的弧度）與函數(shù)值（單位圓上點的橫坐標與縱坐標）的對應(yīng)關(guān)系。 好處 2：更方便，因為單位圓上點的坐標就是相應(yīng)角的三角函數(shù)，所以任意角的三角函數(shù)的代數(shù)形式都可以用圖象直觀地表達出來，使用單位圓能讓我們在求三角函數(shù)值、作三角函數(shù)圖象時更方便。 好處 3：數(shù)形結(jié)合更明顯，借助單位圓與三角函數(shù)線，我們能方便地利用數(shù)行結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、各三角函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導公式、三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性和最值。 用“奇變偶不變，符號看象限”概括了六組誘導公式，并且在運用口訣時要把 ?看成是一個銳角，但是這個 ? 難道不是一個任意角嗎？誘導公式確實是一個適用于任意角的公式，它揭示了任意角 ? 的三角形函數(shù)值與 ?????????? 2)(2 ??? 、kk 的三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系，從數(shù)形結(jié)合的角度來看，三角函數(shù)的誘導公式實質(zhì)上是圓的對稱性的“代數(shù)表現(xiàn)”即根據(jù)任意角 ? 的終邊與 ????????? 2)(2 ??? 、kk 的終邊之間的對稱關(guān)系求出三角函數(shù)值，這與角 ? 是否為銳角無關(guān)，而把 ? 看成是銳角，這只是一個記憶上的技巧。 我們通過先平移后伸縮與先伸縮后平移的方法， 對同一個函數(shù) )sin( ?? ?? xAy 進行圖象變化，得到了相同的函數(shù)，但兩次平移的長度卻不一樣。如：由函數(shù) xy sin? 的圖象得到函數(shù) )32sin( ??? xAy 的圖象。 第一種變化：先平移后伸縮。 )32s i n()3s i n(s i n 213 ??? ???????? ????????? ??? xyxyxy 橫坐標縮短為原來的個單位向右平移 第二種變化：先伸縮后平移。 )6(2s i ns i ns i n 621 ?? ??????? ????????? ??? xyxyxy 個單位向右平移橫坐標縮短為原來的 即 )62sin( ??? xy 以上兩種變換中，平移的長度是不一樣的，若先平移后伸縮，平移時變化元只 有 x，即圖象上的每個點的橫坐標都增加了3?個單位；伸縮變換時，變化元也只有 x ，伸縮變換后圖象上每個點的橫坐標都減少為原來的21；若先伸縮后平移，在平移前函數(shù)圖象上的每一個點的橫坐標都已經(jīng)減小為原來的21，因此平移時也只需平移3
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