【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1)ln(x＋ 1)－ ax， 于是不等式 f(x)≥ ax 成立即為 g(x)≥ g(0)成立． ?? 3 分 對(duì)函數(shù) g(x)求導(dǎo)數(shù)： g′(x)＝ ln(x＋ 1)＋ 1－ a 令 g′(x)＝ 0，解得 x＝ ea－ 1－ 1， ?? 6 分 當(dāng) x＞ ea－ 1－ 1 時(shí)， g′(x)＞ 0， g(x)為增函數(shù)， 當(dāng)－ 1＜ x＜ ea－ 1－ 1， g′(x)＜ 0， g(x)為減函數(shù)， ?? 9 分 所以要對(duì)所有 x≥ 0 都有 g(x)≥ g(0)充要條件為 ea－ 1－ 1≤ 0． 由此得 a≤ 1，即 a 的取值范圍是（－ ∞， 1]． ?? 12 分 21．解： (Ⅰ )由已知條件，得 F(0， 1)， λ＞ 0． 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)．由 AF→ ＝ λFB→ ， 即得 (－ x1， 1－ y)＝ λ(x2， y2－ 1)， ?????－ x1＝ λx2 ①1－ y1＝ λ(y2－ 1) ② 將①式兩邊平方并把 y1＝ 14x12， y2＝ 14x22代入得 y1＝ λ2y2 ③ 解②、③式得 y1＝ λ， y2＝ 1λ，且有 x1x2＝－ λx22＝－ 4λy2＝－ 4， 拋物線(xiàn)方程為 y＝ 14x2，求導(dǎo) 得 y′＝ 12x． 所以過(guò)拋物線(xiàn)上 A、 B 兩點(diǎn)的切線(xiàn)方程分別是 y＝ 12x1(x－ x1)＋ y1， y＝ 12x2(x－ x2)＋ y2， 即 y＝ 12x1x－ 14x12， y＝ 12x2x－ 14x22． 解出兩條切線(xiàn)的交點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x1＋ x22 ， x1x24 )＝ (x1＋ x22 ，－ 1)． ?? 4 分 所以 FM→ AB→ ＝ (x1＋ x22 ，－ 2)(x2－ x1， y2－ y1)＝ 12(x22－ x12)－ 2(14x22－ 14x12)＝ 0 所以 FM→ AB→ 為定值，其值為 0． ?? 7 分 (Ⅱ )由 (Ⅰ )知在△ ABM 中， FM⊥ AB，因而 S＝ 12|AB||FM|． |FM|＝ (x1＋ x22 )2＋ (－ 2)2＝ 14x12＋ 14x22＋ 12x1x2＋ 4 ＝ y1＋ y2＋ 12 (－ 4)＋ 4 ＝ λ＋ 1λ＋ 2＝ λ＋ 1λ． 因?yàn)?|AF|、 |BF|分別等于 A、 B 到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn) y＝－ 1 的距離，所以 |AB|＝ |AF|＋ |BF|＝ y1＋ y2＋ 2＝ λ＋ 1λ＋ 2＝ ( λ＋ 1λ)2． 于是 S＝ 12|AB||FM|＝ ( λ＋ 1λ)3， 由 λ＋ 1λ≥ 2 知 S≥ 4，且當(dāng) λ＝ 1 時(shí)， S 取得最小值 4． 22．解： (Ⅰ )當(dāng) n＝ 1 時(shí) ， x2－ a1x－ a1＝ 0 有一根為 S1－ 1＝ a1－ 1， 于是 (a1－ 1)2－ a1(a1－ 1)－ a1＝ 0，解得 a1＝ 12． 當(dāng) n＝ 2 時(shí)， x2－ a2x－ a2＝ 0 有一根為 S2－ 1＝ a2－ 12， 于是 (a2－ 12)2－ a2(a2－ 12)－ a2＝ 0，解得 a1＝ 16． (Ⅱ )由題設(shè) (Sn－ 1)2－ an(Sn－ 1)－ an＝ 0， 即 Sn2－ 2Sn＋ 1－ anSn＝ 0． 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1，代入上式得 Sn－ 1Sn－ 2Sn＋ 1＝ 0 ① 由 (Ⅰ )知 S1＝ a1＝ 12， S2＝ a1＋ a2＝ 12＋ 16＝ 23． 由①可得 S3＝ 34． 由此猜想 Sn＝ nn＋ 1， n＝ 1， 2， 3，?． ?? 8 分 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論． (i)n＝ 1 時(shí)已知結(jié)論成立． (ii)假設(shè) n＝ k 時(shí)結(jié)論成立，即 Sk＝ kk＋ 1， 當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)，由①得 Sk＋ 1＝ 12－ Sk， 即 Sk＋ 1＝ k＋ 1k＋ 2， 故 n＝ k＋ 1 時(shí)結(jié)論也成立． 綜上，由 (i)、 (ii)可知 Sn＝ nn＋ 1對(duì)所有正整數(shù) n 都成立． ?? 10 分 于是當(dāng) n≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ nn＋ 1－ n－ 1n ＝ 1n(n＋ 1)， 又 n＝ 1 時(shí)， a1＝ 12＝ 11 2，所以 ｛ an｝的通項(xiàng)公式 an＝ nn＋ 1， n＝ 1， 2， 3，?． ?? 12 分 2020 高考數(shù)學(xué)試題全國(guó) II 卷 理科試題 本試卷分第Ｉ卷（選擇題）和第ＩＩ卷（非選擇題）兩部分。第Ｉ卷１至２頁(yè)。第ＩＩ卷３至４頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第Ｉ卷 注意事項(xiàng) ： １．答題前，考生在答題卡上務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫(xiě)清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。 ２．每小題選出答案后，用２Ｂ鉛筆把答題 卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無(wú)效。 ３．本卷共１２小題，每小題５分，共６０分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 參考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B? ? ? 如果事件Ａ、Ｂ相互獨(dú)立，那么 ( . ) ( ). ( )P A B P A P B? 如果事件Ａ在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是Ｐ，那么 球的表面積公式 24SR?? 其中Ｒ表示球的半徑 球的體積公式 343VR?? 其中Ｒ表示球的半徑 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生 k 次的概率是 ( ) (1 )k k n knnP k C P P ??? 一．選擇題 （ 1）已知集合 ? ?2{ | 3 } , | l o g 1M x x N x x? ? ? ?，則 MN? (D) （ A） ? （ B） ? ?| 0 3xx?? （ C） ? ?|1 3xx?? （ D） ? ?| 2 3xx?? 解析 : ? ? ? ?2lo g 1 2N x x x x? ? ? ?,用數(shù)軸表示可得答案 D 考察知識(shí)點(diǎn)有對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 ,集合的交集 本題比較容易 . （ 2）函數(shù) sin 2 cos 2y x x? 的最小正周期是 (D) （ A） 2? （ B） 4? （ C） 4? （ D） 2? 解析 : 1s in 2 c o s 2 s in 42y x x x??所以最小正周期為 242T ????,故選 D 考察知識(shí)點(diǎn)有二倍角公式 ,最小正周期公式 本題比較容易 . （ 3）23(1 )i ??(A) （ A） 32i （ B） 32i? （ C） i （ D） i? 解析 :223 3 3 3 3(1 ) 2 2 2 2ii ii i i? ? ? ?? ? ? 故選 A 本題考察的知識(shí)點(diǎn)復(fù)數(shù)的運(yùn)算 ,(乘法和除法 ),比較簡(jiǎn)單 （ 4）過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為(A) （ A） 316 （ B） 916 （ C） 38 （ D） 932 解析 :設(shè)球的半徑為 R, 過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面 ,由勾股定理可得一個(gè)半徑為 32R 的 圓 ,所以 21223() 324 1 6RSSR? ???,故選 A 本題主要考察截面的形狀和球的表面積公式 ,難度中等 （ 5）已知 ABC? 的頂點(diǎn) B、 C在橢圓 2 2 13x y??上，頂點(diǎn) A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在 BC 邊上，則 ABC? 的周長(zhǎng)是 ( C) （ A） 23 （ B） 6 （ C） 43 （ D） 12 解析 (數(shù)形結(jié)合 )由橢圓的定義橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a,可得 ABC? 的周長(zhǎng)為 4a=43,所以選 C 本題主要考察數(shù)形結(jié)合的思想