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正文內(nèi)容

20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四川卷理含詳解(編輯修改稿)

2024-09-27 08:55 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 ? ? 在 Rt PFH? 中, 1 17t a n 2DDPFPFH F H F H? ? ? ? 故:二面角 P AE D??的大小為 17arctan 2 (Ⅲ)12 2 211 1 1 542 4 4 4N E P E C D PS S B C C D a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?矩 形 作 1DQ CD? ,交 1CD 于 Q ,由 11AD? 面 11CDDC 得 11AC DQ? ∴ DQ? 面 11BCDA ∴在 1Rt CDD? 中, 112255C D D D aaD Q aCD a? ?? ? ? ∴ 13P D E N D E N P N E PV V S D Q? ? ?? ? ?21 5 234 5aa??316a? 方法二:以 D 為原點(diǎn), 1,DA DC DD 所在直線分別為 x 軸, y 軸, z 軸,建立直角坐標(biāo)系,則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11, 0 , 0 , , 2 , 0 , 0 , 2 , 0 , , 0 , , 0 , 0 ,A a B a a C a A a a D a ∵ , , ,E PM N 分別是 1 1 1, , ,BC A D AE CD的中點(diǎn) ∴ 3, 2 , 0 , , 0 , , , , 0 , 0 , , ,2 2 4 2a a a aE a P a M a N a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ( Ⅰ) 3 , 0,42aMN a???????? 取 ? ?0,1,0n? ,顯然 n? 面 11ADDA 0MN n?? ,∴ MN n? 又 MN? 面 11ADDA ∴ //MN 面 11ADDA 第 9 頁 (Ⅱ)過 P 作 PH AE? ,交 AE 于 H ,取 AD 的中點(diǎn) F ,則 ,0,02aF??????∵ 設(shè) ? ?, ,0H x y ,則 , , , , , 022aaH P x y a H F x y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 又 , 2 , 02aAE a???????? 由 0AP AE??,及 H 在直線 AE 上,可得 : 2 204244aax ayx y a?? ? ? ???? ??? 解得 33 2,34 17x a y a?? ∴ 8 2 8 2, , , , , 01 7 1 7 1 7 1 7a a a aH P a H F? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ∴ 0HF AE?? 即 HF AE? ∴ HP 與 HF 所夾的角等于二面角 P AE D??的大小 2c o s , 21H P H FH P H FH P H F???? 故:二面角 P AE D??的大小為 2 21arccos 21 ( Ⅲ )設(shè) ? ?1 1 1 1,n x y z? 為平面 DEN 的法向量,則 11,n DE n DN?? 又 , 2 , 0 , 0 , , , , 0 ,2 2 2a a aD E a D N a D P a? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ∴ 1111202202a x ayayz? ?????? ???? 即 1142xyzy???? ??? ∴可取 ? ?1 4, 1,2n ?? ∴ P 點(diǎn)到平面 DEN 的距離為 1122 41 6 1 4 2 1D P n aa adn? ?? ? ??? ∵ 8c o s ,85D E D ND E D N D E D N????, 21sin ,85DE DN ? ∴ 21 2 1s i n ,28D E NS D E D N D E D N a? ? ? ? ? ∴ 321 1 2 1 43 3 8 621P D E N D E N aaV S d a??? ? ? ? ? ? ( 20)(本大題滿分 12 分) 已知數(shù)列 ??na ,其中 ? ?1 2 1 11 , 3 , 2 2n n na a a a a n??? ? ? ? ?,記數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ,數(shù)列 ? ?lnnS 的前 n 項(xiàng)和為 nU ( Ⅰ)求 nU ; 第 10 頁 (Ⅱ)設(shè) ? ?? ? ? ? ? ? ? ?239。2 10,2! nU nnn n kkeF x x x T x F xnn ?? ? ? ?,(其中 ??39。kFx為 ??kFx的導(dǎo)函數(shù)),計算 ? ?? ?1lim nnnTxTx?? ? 本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識,以及對數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的能力,同時考查分類討論的思想方法,滿分 12 分。 解:( Ⅰ )由題意, ??na 是首項(xiàng)為 1,公差為 2 的等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 ? ? 21 1 2 12n nS n n? ? ?? ? ?, 2ln ln 2 lnnS n n?? ? ? ? ?2 l n 1 l n 2 l n 2 l n !nU n n? ? ? ? ? ( Ⅱ ) ? ?? ? ? ?? ?2 22222! 22 ! 2 !nU nnnn nexF x x x nn n n n? ? ? ? ? ? ?39。 2 1nnF x x ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?2239。 2 111 2210111111nnnknkkk nxxxxT x F x x n xxxxx???? ?? ?????? ? ? ??? ?? ?? ???? ? ?? ?? ?? ?? ?22212221l i m 1 0 11l i m l i m 1 1111l i m 11nnnnnnnnnnxxxTx nxT x nxxxx???? ? ? ?????????? ? ?? ???? ? ????? ????????????????? ??? ( 21)(本大題滿分 14 分) 已知兩定點(diǎn) ? ? ? ?122 , 0 , 2 , 0FF?,滿足條件212PF PF??的點(diǎn) P 的軌跡是曲線 E ,直線1y kx??與曲線 E 交于 ,AB兩點(diǎn) ,如果 63AB? ,且曲線 E 上存在點(diǎn) C ,使 OA OB mOC?? ,求 m 的值和 ABC? 的面積 S? 本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分 12 分。 解:由雙曲線的定義可知,曲線 E 是以 ? ? ? ?122 , 0 , 2 , 0FF?為焦點(diǎn)的雙曲線的左支, 且 2, 1ca??,易知 1b? 故曲線 E 的方程為 ? ?2210x y x? ? ? 第 11 頁 設(shè) ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y,由題意建立方程組2211y kxxy???? ??? 消去 y ,得 ? ?221 2 2 0k x kx? ? ? ? 又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn) ,AB,有 ? ? ? ?22 212 212 2102 8 1 02 012 01kkkkxxkxxk? ???? ? ? ? ?????? ? ? ?? ?? ?? ??? ?? 解得 21k? ? ?? 又∵ 2 121AB k x x? ? ? ? ? ? 22 1 2 1 214k x x x x? ? ? ? ? 2222221411kk kk????? ? ? ? ?????? ?? ?? ?22221221kkk???? 依題意得 ? ?? ?? ?2222122 6 31kkk?? ?? 整理后得 422 8 5 5 2 5 0kk? ? ? ∴ 2 57k ? 或 2 54k ? 但 21k? ? ?? ∴ 52k?? 故直線 AB 的方程為 5 102 xy? ? ? 設(shè) ? ?,ccCx y ,由已知 OA OB mOC?? ,得 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2, , ,ccx y x y m x m y?? ∴ ? ? 1 2 1 2,cc x x y ym x m y mm????? ????, ? ?0m? 又12 22 451kxx k? ? ? ??, ? ? 21 2 1 2 222 2 811ky y k x x kk? ? ? ? ? ? ? ??? ∴ 點(diǎn) 4 5 8,Cmm??????? 將點(diǎn) C 的坐標(biāo)代入曲線 E 的方程,得2280 64 1mm?? 得 4m?? ,但當(dāng) 4m?? 時,所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上,不合題意 ∴ 4m? , C 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ? ?5,2? C 到 AB 的距離為? ?225 5 2 12 13512? ? ? ????????? ∴ ABC? 的面積 116 3 323S ? ? ? ? ( 22)(本大題滿分 14 分) 第 12 頁 已知函數(shù) ? ? ? ?2 2 l n 0f x x a x xx? ? ? ?, ??fx的導(dǎo)函數(shù)是 ??39。fx,對任意兩個不相等的正數(shù) 12,xx,證明: ( Ⅰ )當(dāng) 0a? 時, ? ? ? ?12 1222f x f x xxf? ???? ???? ( Ⅱ )當(dāng) 4a? 時, ? ? ? ?39。39。1 2 1 2f x f x x x? ? ? 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用,函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力,滿分 14 分。 證明:( Ⅰ )由 ? ? 2 2 lnf x x a xx? ? ? 得 ? ? ? ? ? ? ? ?12 221 2 1 2121 1 1 l n l n2 2 2f x f x ax x x xxx? ??? ? ? ? ? ????? ? ?22 121 2 1 2121 ln2 xxx x a x xxx?? ? ? ? 21 2 1 2 1 2124 ln2 2 2x x x x x xfa xx? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 而 ? ? ? ? 222 2 2 2 121 2 1 2 1 211 22 4 2xxx x x x x x ?????? ? ? ? ? ???? ?? ① 又 ? ? ? ?2 221 2 1 2 1 2 1 224x x x x x x x x? ? ? ? ? ∴ 121 2 1 24xxx x x x? ? ? ② ∵ 1212 2xxxx ?? ∴ 1212ln ln 2xxxx ?? ∵ 0a? ∴ 1212ln ln 2xxa x x a ?? ③ 由 ①、②、③得 ? ? 222 1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 1 214l n l n22x x x xx x a x x a x xx x x x?? ??? ? ? ? ? ??? ??? 即 ? ? ? ?12 1222f x f x xxf? ???? ???? ( Ⅱ )證法一:由 ? ? 2 2 lnf x x a xx? ? ?,得 ? ?39。222 af x x xx? ? ? ∴ ? ? ? ?39。39。1 2 1 2221 1 2 222 aaf x f x x xx x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1212 221 2 1 222 xx axx x x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1239。39。1 2 1 2 221 2 1 2221xx af x f x x x x x x x?? ? ? ? ? ? ? 下面證明對任意兩個不相等的正數(shù) 12,xx,有 ? ?12221 2 1 2221xx ax x x x?? ? ?恒成立 即證 ? ?1212 122 xxa x x xx???成立 第
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