【正文】 本小題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) f(x)＝ (x＋ 1)ln(x＋ 1)，若對(duì)所有的 x≥ 0，都有 f(x)≥ ax成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍． （ 21）（本小題滿分 14 分） 已知拋物線 x2＝ 4y的焦點(diǎn)為 F， A、 B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且 AF→ ＝ λFB→ （ λ＞ 0）．過(guò) A、B 兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為 Ｍ ． （Ⅰ）證明 FM→ AB→ 為定值； （Ⅱ）設(shè)△ ABM 的面積為 S，寫出 S＝ f(λ)的表達(dá)式，并求 S 的最小值． （ 22）（本小題滿分 12 分） 設(shè)數(shù)列｛ an｝的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且方程 x2－ anx－ an＝ 0 有一根為 Sn－ 1， n＝ 1， 2， 3，?． （Ⅰ）求 a1， a2； （Ⅱ）｛ an｝的通項(xiàng)公式． A B C D E A1 B1 C1 2020 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)試題（必修 ＋選修Ⅱ）參考答案和評(píng)分參考 評(píng)分說(shuō)明： 1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則． 2．對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分． 3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)． 4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù) — 選擇題和填空題不給中間分． 一、選擇題 ⑴ D ⑵ D ⑶ A ⑷ A ⑸ C ⑹ B ⑺ A ⑻ D ⑼ A ⑽ C ⑾ A ⑿ C 二、填空題 ⒀ 45 ⒁ 3 ⒂ 22 ⒃ 25 三、解答題 17．解：（Ⅰ）若 a⊥ b，則 sinθ＋ cosθ＝ 0，????? 2 分 由此得 tanθ＝－ 1(－ π2＜ θ＜ π2)，所以 θ＝－ π4；?????? 4 分 （Ⅱ）由 a＝ (sinθ， 1)， b＝ (1， cosθ)得 ｜ a＋ b｜＝ (sinθ＋ 1)2＋ (1＋ cosθ)2＝ 3＋ 2(sinθ＋ cosθ) ＝ 3＋ 2 2sin(θ＋ π4)，?????? 10 分 當(dāng) sin(θ＋ π4)＝ 1 時(shí)， |a＋ b|取得最大值，即當(dāng) θ＝ π4時(shí)， |a＋ b|最大值為 2＋ 1．?? 12 分 18．解：（Ⅰ） ξ 可能的取值為 0， 1， 2， 3． P(ξ ＝ 0)＝ C24C25C23C25＝ 18100＝ 950 P(ξ ＝ 1)＝ C14C25C23C25＋ C24C25C13C12C25＝ 1225 P(ξ ＝ 2)＝ C14C25C13C12C25＋ C24C25C22C25＝ 1550 P(ξ ＝ 3)＝ C14C25C22C25＝ 125． ?????? 8 分 ξ 的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 950 1225 1550 125 數(shù)學(xué)期望為 Eξ ＝ ． (Ⅱ )所求的概率 為 p＝ P(ξ ≥ 2)＝ P(ξ ＝ 2)＋ P(ξ ＝ 3)＝ 1550＋ 125＝ 1750 ????? 12 分 19．解法一： （Ⅰ）設(shè) O 為 AC 中點(diǎn)，連接 EO， BO，則 EO∥＝ 12C1C，又 C1C∥＝ B1B，所以 EO∥＝ DB，EOBD 為平行四邊形， ED∥ OB． ?? 2 分 ∵ AB＝ BC，∴ BO⊥ AC， 又平面 ABC⊥平面 ACC1A1， BO?面 ABC，故 BO⊥平面 ACC1A1， ∴ ED⊥平面 ACC1A1， BD⊥ AC1， ED⊥ CC1， ∴ ED⊥ BB1， ED 為異面直線 AC1 與 BB1 的公垂線．?? 6 分 （Ⅱ）連接 A1E，由 AA1＝ AC＝ 2AB 可知， A1ACC1為正方形， ∴ A1E⊥ AC1，又由 ED⊥平面 ACC1A1 和 ED?平面 ADC1知平面 ADC1⊥平面 A1ACC1，∴ A1E⊥平面 ADC1．作 EF⊥ AD，垂足為 F，連接 A1F，則 A1F⊥AD，∠ A1FE 為二面角 A1－ AD－ C1 的平面角． 不妨設(shè) AA1＝ 2，則 AC＝ 2， AB＝ 2ED＝ OB＝ 1， EF＝ AE EDAD ＝ 23， tan∠ A1FE＝ 3，∴∠ A1FE＝ 60176。 ． 所以二面角 A1－ AD－ C1 為 60176。 ． ??? 12 分 解法二： （Ⅰ）如圖，建立直角坐標(biāo)系 O－ xyz，其中原點(diǎn) O 為 AC 的中點(diǎn)． 設(shè) A(a， 0， 0)， B(0， b， 0)， B1(0， b， 2c)． 則 C(－ a， 0， 0)， C1(－ a， 0， 2c)， E(0， 0， c)， D(0， b， c)． ?? 3 分 ED→ ＝（ 0， b， 0）， BB1→ ＝ (0， 0， 2c)． ED→ BB1→ ＝ 0，∴ ED⊥ BB1． 又 AC1→ ＝ (－ 2a， 0， 2c)， ED→ AC1→ ＝ 0，∴ ED⊥ AC1， ?? 6 分 所以 ED 是異面直線 BB1 與 AC1 的公垂線． （Ⅱ）不妨設(shè) A(1， 0， 0)，則 B(0， 1， 0)， C(－ 1， 0， 0)， A1(1， 0， 2)， BC→ ＝ (－ 1，－ 1， 0)， AB→ ＝ (－ 1， 1， 0)， AA1→ ＝ (0， 0， 2)， BC→ AB→ ＝ 0， BC→ AA1→ ＝ 0，即 BC⊥ AB， BC⊥ AA1，又 AB∩ AA1＝ A， A B C D E A1 B1 C1 O F A B C D E A1 B1 C1 O z x y ∴ BC⊥平面 A1AD． 又 E(0， 0， 1)， D(0， 1， 1)， C(－ 1， 0， 1)， EC→ ＝ (－ 1， 0，－ 1)， AE→ ＝ (－ 1， 0， 1)， ED→ ＝ (0， 1， 0)， EC→ AE→ ＝ 0， EC→ ED→ ＝ 0，即 EC⊥ AE， EC⊥ ED，又 AE∩ ED＝ E， ∴ EC⊥面 C1AD． ?? 10 分 cos＜ EC→ ， BC→ ＞＝ EC→ BC→| EC→ || BC→ |＝ 12，即得 EC→ 和 BC→ 的夾角為 60176。 ． 所以二面角 A1－ AD－ C1 為 60176。 ． ??? 12 分 20．解法一： 令 g(x)＝ (x＋ 1)ln(x＋ 1)－ ax， 對(duì)函數(shù) g(x)求導(dǎo)數(shù)： g′(x)＝ ln(x＋ 1)＋ 1－ a 令 g′(x)＝ 0，解得 x＝ ea－ 1－ 1， ?? 5 分 (i)當(dāng) a≤ 1 時(shí)，對(duì)所有 x＞ 0， g′(x)＞ 0，所以 g(x)在 [0，＋ ∞)上是增函數(shù)， 又 g(0)＝ 0，所以對(duì) x≥ 0，都有 g(x)≥ g(0)， 即當(dāng) a≤ 1 時(shí)，對(duì)于所有 x≥ 0，都有 f(x)≥ ax． ?? 9 分 (ii)當(dāng) a＞ 1 時(shí)，對(duì)于 0＜ x＜ ea－ 1－ 1， g′(x)＜ 0，所以 g(x)在 (0， ea－ 1－ 1)是減函數(shù)， 又 g(0)＝ 0，所以對(duì) 0＜ x＜ ea－ 1－ 1，都有 g(x)＜ g(0)， 即當(dāng) a＞ 1 時(shí)，不是對(duì)所有的 x≥ 0，都有 f(x)≥ ax 成立． 綜上， a 的取值范圍是（－ ∞， 1]． ?? 12 分 解法二：令 g(x)＝ (x＋