【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2）得： △ N＝ △ F 浮 而 △ N＝ 10－ 3 △ F 浮 ＝ ρ 2gV－ ρ 1gV ∴ ρ 2gV－ ρ 1gV＝ 10－ 3 將空氣的密度 ρ 1 值和圓柱體的體積 V 代入得， CO2 的密度為 ρ 2＝ [練習(xí) 4] 小華用一只有頸圓柱形的塑料飲料瓶和一桶水、一把尺就巧妙地測(cè)出了食用油的密度。寫(xiě)出他的操作步驟，用字母代表測(cè)量量，推導(dǎo)出計(jì)算密度的公式。 分析與解： (1)剪去飲料瓶的上 部，保留中間的圓柱部分。 (2)瓶中放入幾個(gè)石塊和少量水，使水沒(méi)過(guò)石塊，將它放入桶中。使它浮在水面上，測(cè)量露出水面的瓶高 h1。 (3)在瓶?jī)?nèi)注入一些待測(cè)的食用油，測(cè)量瓶?jī)?nèi)水面上的油層厚度 H。 (4)再次將瓶放入桶中，測(cè)量露出水面的瓶高 h2。 瓶的直徑記為 D，水的密度記為 ρ 水 ，推導(dǎo)計(jì)算 ρ 油 的公式： 第一次放入桶中以后，排開(kāi)水的體積記為 V1，注入食用油后排開(kāi)水的體積記為 V2，于是 V2－ V1＝π /4 (h1－ h2)D2 根據(jù)阿基米德原理，食用油所受的重力為 ∶ mg＝ ρ水 (V2－ V1)g 食用油的質(zhì)量為 m ＝ ρ水 (V2－ V1)＝π /4 ρ水 (h1－ h2)D2 另一方面，食用油的體積為 24 HDV油 ?? 所以 ρ 油 ＝ m/V 油＝ (h1－ h2) ρ 水 /H [例 5]如圖，一木塊上面放一塊實(shí)心鐵塊 A，木塊頂部剛好與水面相齊，在同樣的木塊下面掛另一實(shí)心鐵塊 B，木決也剛好全部浸入水中，則 A、 B 兩鐵塊的體積比為多少 ? 分析與解：將 A 和木塊一起作好研究對(duì)象，整體受重力（ G＋ GA）和 浮力 F 作用，且處于平衡狀態(tài)，再將 B 和木塊也視為整體，受重力 （ G＋ GB）和浮力（ F＋ FB）作用，也處于平衡狀態(tài)。則： F＝ GA＋ G ????（ 1） F＋ FB＝ GB＋ G ??? （ 2） （ 2）－ (1)得 FB＝ GB－ GA 又 GA＝ MAg＝ ρ 鐵 gVA GB＝ MBg＝ ρ 鐵 gVB FB＝ ρ 水 gVB ∴ρ 水 gVB＝ρ 鐵 gVB－ρ 鐵 gVA ∴ ????? 鐵 水鐵 ? ??BAVV [練習(xí) 5]一塊冰內(nèi)有一小石塊，放入盛有水的量筒內(nèi)，正好懸浮于水中，此時(shí)量筒內(nèi)的水面升高了 ；當(dāng)冰熔化后，水面又下降了 ，已知量筒的橫截面積為 10cm2，求石塊的密度。 （ p 冰 ＝ 103kg／ m3）。 分析與解： V 冰＋ V 石＝ 46cm3 V 冰－ V 化水＝ V 冰 /V 化水＝ ρ水 /ρ冰＝ 10/9 故∶ V 冰＝ 44cm3 V 石＝ 2cm3 G 石＝ ρ水 gV 排 當(dāng)石塊沉底時(shí) ∶ V 石＝ V′排 V 排 － V′排 ＝ (ρ 石 gV 石 /ρ 水 g)－ V 石 ＝ 2cm3 ∴ ρ 石 ＝ 2ρ 水 ＝ 2 103kg/m3 [例 6]試分析：在平直公路上，通過(guò)的距離一定時(shí)，騎自行車(chē)比步行既省又省功的道理。 分析與解：在平直公路騎車(chē)時(shí)，人體的重心始終位于同一高度，且車(chē)前進(jìn)是靠車(chē)輪的滾動(dòng)。除空氣的阻力外，只需克服較 小的滾動(dòng)摩擦。而人走路時(shí)，后腳蹬地重心升高，步行者要克服重力做功，前腳落地重心降低，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為其它形式的能（如內(nèi)能）浪費(fèi)掉。雖然自行車(chē)的傳動(dòng)由于腳蹬地的力。又由于腳蹬踏板一周，車(chē)輪可向前滾動(dòng)幾周，同步行相比，若前進(jìn)的距離相等，騎自行車(chē)的人腿屬屈伸次數(shù)少得多。因此，騎自行車(chē)比步行既省力又省功。這個(gè)道理并不違背功的原理，因?yàn)轵T車(chē)與步行相比較的條件是平直公路上通過(guò)相同的路程，并非要完成相同的功。所以不能一遇到“既省力又省功”的說(shuō)法就不問(wèn)條件，也不具體分析，盲目認(rèn)為違背功的原理。 [練習(xí) 6] 某工地在冬季水利 建設(shè)中設(shè)計(jì)了一個(gè)提起重物的機(jī)械，是這個(gè)機(jī)械組成部分的示意圖。 OA 是鋼管，每米長(zhǎng)受重力為 30N； O 是轉(zhuǎn)動(dòng)軸，重物的質(zhì)量 m 為 150kg，掛在 B 處，m1?OB ；拉力 F 加在 A 點(diǎn)，豎直向上，取 g ＝ 10N/kg。為維持平衡，鋼管 OA 為多長(zhǎng)時(shí)所用的拉力最小？這個(gè)最小拉力是多少？ 分析與解 ：解：設(shè) bOBxOA ?? , ，每米長(zhǎng)鋼管重 為 N/m30?W ，根據(jù)杠桿平衡條件可列出方程： FxWxxbmg ??? 2 ，整理得 ( 1 ) 0222 ??? b m gFxWx 這個(gè)方程有解的條件是 0?? ，其中 WbmgF 8)2( 2 ???? ；由此解出 WbmgF 2? ，把數(shù)值代入得 ??300F ，這表示拉力的最小值為 300N。 從（ 1）式可以解出鋼管長(zhǎng)為： WFx 22 ??? 由于拉力最小時(shí) 0?? ，所以拉力最小時(shí)的鋼管為 1 0 mm303 0 0 ??? WFx。 參考答案中巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)中一元二次方程的解存在的條件 0?? 作為解題的突破口使問(wèn)題得到解決，如果充分利用數(shù)學(xué)知 識(shí)還可得到以下幾種解法： 方法 1：配方法。利用方程（ 1）可得：xbmgWxF ?? 21，整理、配方可得 . 方法 2：利用“兩正數(shù)積為常數(shù)，則兩數(shù)相等時(shí)，其和最小。” 方法 3：極值法。 當(dāng) Wb m gTTTx 24, ,2 2 ?? 即最小值時(shí) ， 在物理競(jìng)賽中，往往設(shè)計(jì)出一些需要用數(shù)學(xué)思想、方法及技巧處理物理問(wèn)題的考題，用來(lái)考查學(xué)生的智力和能力。 [例 7]一個(gè) 600N 重的成年人和一個(gè)小孩都過(guò)一道 5m 寬的水渠。成人從左岸到右岸，而小孩從水渠右岸到左岸，兩岸各有一塊 4m 長(zhǎng)的堅(jiān)實(shí)木板，請(qǐng)你想 出 一種方式過(guò)渠。并分析在忽略木板自身重量和木板疊交的距 離情況下，要使成年人和小孩都能平安過(guò)渠，小孩的體重不能 輕于多少牛 ? 分析與解： 方法如圖，小孩站在 B 處讓成年人先從木板上過(guò)水 渠，待成年人站在原小孩處，再讓小孩過(guò)水渠。把 AB 木板視為杠桿， A 為支點(diǎn)，成年人對(duì)木板壓力視為阻力， A’對(duì) B 的支持力視為動(dòng)力，那么阻力臂總小于動(dòng)力臂，所以，人在 A’時(shí)， A’對(duì) B 的支持力最大，最大值為 600N。把 A’B’視為杠桿， O 為支點(diǎn)，成年人對(duì) A’B’壓力視為阻力 F1，小孩對(duì)木板的壓力視為動(dòng)力 F2。則： F1 A’O＝ F2OB’ 而 OA’＝ 1m， OB’ ＝ 3m， F1＝ 600N ∴ F2＝ 200N 即小孩體重不能輕于 200N [練習(xí) 7] 一架不準(zhǔn)確的天平，是因?yàn)樗鼨M梁左右兩臂不等長(zhǎng)，雖然砝碼很準(zhǔn)確，但是通常的辦法卻不能稱得待測(cè)物體質(zhì)量的準(zhǔn)確值。你能想出什么好辦法用這架天平稱得物體質(zhì)量的準(zhǔn)確值嗎？說(shuō)出你的辦法。 分析與解： 天平的原理是利用杠桿平衡的條件 動(dòng)力動(dòng)力臂 ＝ 阻力阻力臂。當(dāng)兩個(gè)力臂相等，則被測(cè)物體的質(zhì)量等于砝碼的質(zhì)量。利用這種不準(zhǔn)確的天平，測(cè)物體質(zhì)量的準(zhǔn)確值的方法有三種。 第一種方法：替代法。先把要測(cè)量的物體放在天平的一 個(gè)盤(pán)上，在另一個(gè)盤(pán)子內(nèi)加小顆粒的物體（如砂子），直加到天平平衡為止，然后用砝碼替代被測(cè)物體，重新使天平平衡，這時(shí)砝碼的質(zhì)量就是物體的質(zhì)量。 第二種方法：恒載量法。選擇一個(gè)比被測(cè)物體質(zhì)量大些的物體，放在天平的一只盤(pán)上，在另一只盤(pán)里加砝碼，直到平衡。然后把被稱物體放在盛砝碼的那只盤(pán)內(nèi)，天平失去平衡，再?gòu)捻来a盤(pán)內(nèi)取下一部分砝碼，直到天平再度平衡。數(shù)一數(shù)拿下的砝碼就知道被測(cè)物的質(zhì)量。 第三種方法：復(fù)稱法。把被測(cè)物體先后放在兩只盤(pán)內(nèi)，測(cè)量?jī)纱危褍纱螠y(cè)量結(jié)果相乘再開(kāi)方，便可得到被測(cè)物的準(zhǔn)確質(zhì)量： 21 mmm? [例 8]在如圖所示的裝置中 OC＝ 1m， OD＝ 1． 5m， A、 B 為兩鐵塊，當(dāng) A 全部浸沒(méi)在水中時(shí)，杠桿恰好平衡。求 A、 B 兩鐵塊的體積比 VA／ VB是多少 (桿和滑輪的質(zhì)量不計(jì)，ρ 鐵 ＝ 103kg／ m３ ρ 水 ＝ 103kg／ m３ ) 分析與解 ：設(shè) A、 B 兩鐵塊的體積分別 VA、 VB，三段繩中的拉力分別為 FC、 FD 、 F 對(duì) A列平衡方程有： FC＝ GB＝ ρ 鐵 gVB 又由杠桿平衡條件有： OCFODF cD ??? 得 FD＝BgV鐵?32 又由動(dòng)滑輪省力的特殊得 F＝DF21 即 BgVF 鐵?31? 對(duì) A 列平衡方程有： F＋ F 浮 ＝ GA 其中， AgVF 水浮 ?? AA gVG 鐵?? 則AAB gVgVgV 鐵水鐵 ??? ??31 3413)(3 )(3 ?????? 水鐵 鐵 ?? ?BAVV [練習(xí) 8]某人站在岸上，利用滑輪組通過(guò)拉繩使停泊在水中的船勻速靠岸。已知 滑輪組是由兩個(gè)定滑輪和兩個(gè)動(dòng)滑輪組成（滑輪組的自重忽略不計(jì)），船重 105N，船移動(dòng)時(shí)受到水的阻力是船重的 倍。船受到滑輪組的拉力始終沿水平方向。此人水平拉繩的力為240N，船靠岸的速度是 。 求： (1)滑輪組的機(jī)械效率。 (2)人拉繩的功率。 分析與解 ：解決滑輪組的問(wèn)題，一定要判斷其連接方式。本題要求人在岸上拉繩，也就是繩索最后通過(guò)動(dòng)滑輪，才能確定有 5 根繩子拉船。若題目改為人站在船上拉，則繩索最后通過(guò)的是定滑輪，為用 4 根繩拉船前進(jìn)。 （ 1）人拉繩的力為 F＝ 240N，設(shè)繩前進(jìn) S m，人做的總功∶ W 總 ＝ F s＝ 240s J 船前進(jìn)克服阻力做功是有用功。阻力為船重的 倍 即 f＝ ＝ 105N＝ 103N。 船前進(jìn)的距離是繩索端前進(jìn)距離的 1/5,當(dāng)繩被岸上人拉過(guò) s 時(shí) ,船前進(jìn) s/5 米。有用功為： W有用 ＝ 1020N s/5＝ 204s J 滑輪組的機(jī)械效率η＝ W 有用 /W 總 ＝ 204s/240s＝ 即η ＝ 85%。 (2)人拉繩的功率為 P＝ W/t＝ Fs/t＝ F s/t。船前進(jìn)的距離是繩端前進(jìn)的距離的 1/5，速度也是繩端前進(jìn)速度的 1/5，即 s/t＝ 5v 由船靠近岸的速度 v ＝ ＝ ，得 s/t＝ 5v ＝ 1m/s。 人拉繩的功率為 P＝ 240N 1m/s＝ 240w。 [例 9]某工人利用一滑輪組，把重量 G 為 300N 的物體從深 10m 的井底勻速地拉到井口。如圖，若滑輪組的效率是 75％，重物上升的速度為 V＝ 1m／ s，求人所消耗的功率。 分析與解 ：有用功為 W 有＝ Gh＝ 30010＝ 3000J 又總有WW?? JWW ???? ?有總 做功所有的時(shí)間為： sVht 10110 ??? 故人所消耗的功率 WtW 4 0 0104 0 0 0 ??? 總? [練習(xí) 9] “ 一個(gè)和尚挑水吃，兩個(gè)和尚抬水吃，三個(gè)和尚沒(méi)水吃 ” ， 這是民間流傳的一個(gè)故事，現(xiàn)給你兩根長(zhǎng)度相同且自重忽略不計(jì)的扁擔(dān)和一只水桶，請(qǐng)你幫他們想出一個(gè)辦法來(lái)，使甲、乙、丙三個(gè)小和尚共抬一桶水且各自承受的壓力相同。要求畫(huà)出簡(jiǎn)要示意圖，并算出水桶的懸掛位置。 分析與解： 如圖所示，使一根扁擔(dān)的一端置于另一扁擔(dān)中點(diǎn) B 處 (可用細(xì)繩固定 )，水桶懸掛在 E 點(diǎn)，三個(gè)和尚分別在 A、 C、 D 三點(diǎn)抬水。 設(shè)桶及水重為 G，扁擔(dān)長(zhǎng)為 L，根據(jù)杠桿平衡條件 F 動(dòng) L 動(dòng) ＝ F 阻 L 阻 得到： 當(dāng) F 甲 ＝ F 乙 時(shí)， LBC＝ LBD＝ L／ 2 此時(shí)： F 甲 ＝ F 乙 ＝ FB／ 2 若要 F 丙 ＝ F 甲 ＝ F 乙 ＝ FB／ 2，則 LAB＝ 2LBE。 所以水桶應(yīng)懸掛于離 A 點(diǎn) 2／ 3L 處 [例 10]用同種材料制成的物體 A 和 B，分別掛在如圖所示的杠桿的兩端，且 GAGB，此時(shí)杠桿平衡（圖甲）若物體全部浸沒(méi)在水中（圖乙）杠桿是否還能平衡（桿重不計(jì)）？ 分析與解 ：對(duì)甲圖，杠桿是否平衡， 杠桿處于平衡狀態(tài) . 則 FAL1＝ FBL2 ∴ABAB GGFFLL ??21 設(shè)物體的密度為ρ，當(dāng)物體全部浸沒(méi)在水中時(shí)，物體受浮力作用，因此圖乙中 C 點(diǎn)受到的作用力為： F’A＝ GA－ F 浮 A＝ GA－ρ 水 gVA＝ )1(???? 水水 ??? AAA GgGgG 設(shè)乙中杠桿仍平衡，則 F’AL1＝ F’BL2 即：?????? 水水水 ???????? 1()1()1(39。F 2121B BAABAA GGGGGLLFLL） B 物在浸沒(méi)在水中，使 D 點(diǎn)實(shí)際受力 FD 為： FD＝ GB－ F 浮 B＝ GB－ ρ 水 gVB＝ )1(???? 水水 ???? BBB GgGgG 可見(jiàn)， F’B＝ FD, 即杠桿仍能平衡。 [練習(xí) 10]在天平的兩邊分 別掛一塊鉛和鋁，質(zhì)量均為 ，若鉛浸沒(méi)在煤油里，鋁浸沒(méi)在水里，平衡是否破壞 ?( ρ 鋁 ＝ ／ cm３ ρ 鉛 ＝ ／ cm３ ρ 煤 ＝ ／ cm３ ρ 水 ＝ 1g／cm３ ) 分析與解： 天平是等臂杠桿，只要鋁塊和鉛塊對(duì)天平的拉力相等，天平就能平衡。開(kāi)始時(shí)天平是平衡的，原將鉛塊和鋁塊分別浸沒(méi)在煤油和水中后，若兩物受的浮力也相等，則天平仍平衡。 鉛塊和鋁塊和體積分別為： （１） V 鉛 ＝ 9 cm 3