高考理科數(shù)學直線與圓錐曲線的位置關系復習資料(編輯修改稿)
2025-09-25 14:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ． ② 當 l 不與 x 軸垂直時，設直線 l 的方程為 y － 2 ＝ k ( x－ 1 ) ，代入雙曲線 C 的方程中，并整理得： ( 2 － k2) x2＋ 2 ( k2－ 2 k ) x － k2＋ 4 k － 6 ＝ 0. ( * ) 當 k2＝ 2 ，即 k ＝ 177。 2 時 ( * ) 為一次方程，顯然只有一解； 當 k2≠ 2 時， Δ ＝ 4 ( k2－ 2 k )2－ 4 ( 2 － k2)( － k2＋ 4 k － 6 ) ＝ 48 － 32 k . 令 Δ ＝ 0 ，可解得 k ＝32； 20 令 Δ ＞ 0 ，即 48 － 32 k ＞ 0 ，此時 k ＜32； 令 Δ ＜ 0 ，即 48 － 32 k ＜ 0 ，此時 k ＞32. 所以當 k ＝ 177。 2 或 k ＝32或 k 不存在時， l 與 C 只有一個公共點； 當 k ＜－ 2 或－ 2 ＜ k ＜ 2 或 2 ＜ k ＜32時， l 與 C 有兩個交點； 當 k ＞32時， l 與 C 沒有交點 ． 21 參考題? 1. 過橢圓 (ab0)的右焦點 F，作斜率 ? 為 1的直線 l交橢圓于 A、 B兩點， O為原點 . ? 已知 與向量 a=(3， 1)共線 . ? (1)求橢圓的離心率； ? (2)設 M為橢圓上任意一點 ,且 ? (λ,μ∈ R),證明： λ2+μ2為定值 . ? 解： (1)設點 F(c,0),則直線 l的方程為 y=xc. ? 代入橢圓方程 ,整理得 (a2+b2)x22a2cx+a2c2a2b2=0. 2222 1xyab??O A O B?O M O A O B????22 ? 設點 A(x1， y1)， B(x2， y2)， ? 則 ? 因為 與 a＝ (3， 1)共線， ? 所以 3(y1+y2)+(x1+x2)=0， ? 即 3(x1+x22c)+(x1+x2)=0. ? 所以 于是 解得 a2=3b2. ? 所以 ? (2)因為 a2=3b2,所以橢圓方程可化為 x2+3y2=3b2. 2 2 2 2 21 2 1 22 2 2 22,.a c a c a bx x x xa b a b? ? ???123 ,2cxx?? 22223 ,2a c cab ??2261 .3cbeaa? ? ?OA OB?23 ? 由題設 =(λx1+μx2， λy1+μy2). ? 因為點 M在橢圓上， ? 所以 (λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2， ? 即 λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+ ? 2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2. ? 因為 A、 B兩點在橢圓上， ? 所以 x12+3y12=3b2， x22+3y22=3b2. ? 又 x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1c)(x2c) ? =4x1x23(x1+x2)c+3c2 OM24 ? 所以 λ23 b2+μ23 b2=3b2, ? 即 λ2+μ2=1,為定值 . 2 2 2 2 2 222 2 2 22 2 2 2 2 2222 2 2 2 2 22264 3 4 33 2 4 3 3 20.a c a b a cca b a ba c a b b cabb b b b b bab? ? ??????? ? ? ? ????25 ? ? 算機上模擬航天器變軌返 ? 回實驗，設計方案如右圖 . ? 航天器運行 (按順時針方向 ) ? 的軌跡方程為 ? 變軌 (即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€ ) ? 后返回的軌跡是以 y軸為對稱軸， M(0， )為 ? 頂點的拋物線的實線部分，降落點為 D(8， 0)， ? 觀測點 A(4， 0)， B(6， 0)同時跟蹤航天器 . 647221,1 0 0 2 5xy??26 ? (1)求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程； ? (2)試問：航天器在 x軸上方時，觀測點 A、 B測得離航天器的距離分別為多少時，應向航天器發(fā)出變軌指令？ ? 解 : (1)設拋物線方程為 易得 所以曲線的方程為 ? (2)設變軌點為 C(x， y).根據(jù)題意可知 ? ① ? ② ， 2 64 ,7y ax??1.7a ?21 64.77yx??22211 0 0 2 51 6 477xyyx??????? ????27 ? 易得 4y27y36=0， ? 解得 y=4或 y= (不合題意 ,舍去 ),所以 y=4, ? 所以得 x=6或 x=6(不合題意，舍去 ).
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