【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ) , ] l i m [ ( ) ( ) ] .( 1 ) ! d n nnzzf z z z z f znz ??????0z )(zf如果 為 的 級(jí)極點(diǎn) , 取正整數(shù)m法則 ,nm?例 考慮函數(shù) 51 cos( ) .zfz z??設(shè)5( ) 1 c o s , ( ) .P z z Q z z? ? ?顯然 , z=0是 Q(z)的 5級(jí)零點(diǎn) . 因?yàn)? 0 ) ( 0 ) 0 , ( 0 ) 1 0 ,P P P? ??? ? ? ?所以 , z=0是 P(z)的 2級(jí)零點(diǎn) . 故 z=0是 f (z)的 3級(jí)極點(diǎn) . 不是 5級(jí)極點(diǎn)中取 nm來(lái)計(jì)算更為方便 . 例 求 在 z=0處的留數(shù) . 51 c os() zfz z??根據(jù) 可知 , z=0是 f (z)的 3級(jí)極點(diǎn) , 在 法則 n=5, 則 ( 4 )011R e s [ ( ) , 0 ] lim ( 1 c o s ) .4 ! 2 4zf z z?? ? ? ?如果在法則 n=3, 那么計(jì)算就要麻煩得多 . 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語(yǔ)句 . symsz。 f=(1cos(z))/z^5。 r=limit(diff(f*z^5,z,4)/prod(1:4),z,0)r =1/24例 計(jì)算積分 4 d,1Cz zz ?? 其中 C是 2z ?的正向 . 4() 1zfzz? ?的 1級(jí)極點(diǎn)，并且都在 C的內(nèi)部 . 所以 41( ) d 2 Re s [ ( ) , ]kkCf z z i f z z??? ??44421112 2 0.( 1 ) 4kkk kzzziizz???? ?? ? ?????根據(jù) 和 , 定理 (留數(shù)基本定理 ) 設(shè)函數(shù) f ( z )在區(qū)域 D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn) 12, , , nz z z外處處解析 , C 是 D內(nèi)包含所有奇點(diǎn)在其內(nèi)部的分段光滑正向 Jor dan曲線 , 則1( ) d 2 R e ( ) , .n kkC f z z i s f z z? ?? ??????根據(jù)留數(shù)基本定理 , 函數(shù)在閉曲線 f ( z )上的積分可歸結(jié)為函數(shù)在曲線內(nèi)部各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算問(wèn)題 . 法則 設(shè) ,)( )()( zQ zPzf ? )(zP 及 )(zQ 在 0z 都解析 .如果 0 0 0( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 ,P z Q z Q z?? ? ?那么 0z 為 f (z)的 1級(jí)極點(diǎn) , 并且 .)( )(]),(R e s [000 zQ zPzzf ?? 顯然 是函數(shù) 1 2 3 41 , , 1 , z z i z z i? ? ? ? ? ?解 如果函數(shù) f (z)是有理函數(shù)的形式 , 即()( ) ,()PzfzQz?其中 P(z)和 Q(z)都是多項(xiàng)式 , 那么使用命令[R,p,k]=residue(P,Q) 得到 f (z)的部分分式展開(kāi) , 從而求出在極點(diǎn)處的留數(shù) . 在上面的命令中 , P與 Q分別是分子多項(xiàng)式 P(z)和分母多項(xiàng)式 Q(z)按降冪排列的多項(xiàng)式系數(shù)向量 , 計(jì)算結(jié)果中 R表示部分分式真分式的分子 , 即留數(shù)極點(diǎn) z=3在 的外部 . 2z ?分別是 f (z)的 3級(jí)和 1級(jí)極點(diǎn) , 都在 的內(nèi)部 . 而 2z ?012R e s [ ( ) , 0] li m2 ! ( 1 ) ( 3 )zzfzzz????? ?? ??????例 計(jì)算積分 32 d,( 1 ) ( 3 )Cz zz z z???? 其中 C 是 的正向 . 2z ? 記 3 2( ) ,( 1 ) ( 3 )zfz z z z?? ??顯然 z=0和 z=1 解 顯然被積函數(shù)有 3級(jí)極點(diǎn) z=0和 1級(jí)極點(diǎn) z=1在圓周 的內(nèi)部 ,所以由留數(shù)基本定理就得積分值 .2z? symsz。 f=(z2)/(z^3*(z1)*(z3))。 2*pi*i*(limit(diff(z^3*f,z,2)/prod(1:2),z,0)+limit((z1)*f,z,1))ans=1/27*i*pi3301 1 1 14l i m .2 ( 1 ) ( 3 ) 27z zz???? ? ? ???????11R e s [ ( ) , 1 ] lim [ ( 1 ) ( ) ] .2zf z z f z?? ? ?于是，根據(jù)留數(shù)基本定理 322 14 1d 2 .( 1 ) ( 3 ) 27 2 27zz z i iz z z???? ??? ? ? ? ????? ???01 1 1lim4 1 3z zz?????????????例 求 在 z=0處的留數(shù)，并求 12() zf z z e?( )d ,Cf z z? 其中 C是 的正向 . 1z ?解 易見(jiàn) z=0是函數(shù) f (z)的本性奇點(diǎn)，并且 ( )122 1( ) 0 .2 ! 3 ! 4 !zzf z z z z??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此 ? ? 1R e s ( ) , 0 .3!fz ?于是，根據(jù)留數(shù)基本定理 ( ) d .3Cf z z i???例 求 在 z=0處的留數(shù) . 1() z zf z e ??解 因?yàn)? 11() z zzzf z e e e???所以 101 1 1Re s [ ( ) , 0] .0 ! 1 ! 1 ! 2 ! ! ( 1 ) !nf z c nn???? ? ? ? ? ??( )00 0 ,!!nnnnzz znn?????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???1 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì) 2 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 167。 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì) 如果函數(shù) f (z)在 ?點(diǎn)的去心鄰域 Rz? ? ??內(nèi)解析，則稱 z=?是 f (z)的孤立奇點(diǎn) . 如果令 則 在去心鄰域 1 ,z ??1() fj?????????10R???( 或當(dāng) R=0 時(shí)， )內(nèi)解析 , 即 0 ?? ? ??0? ? 是 的孤立奇點(diǎn) . ()j? 類似地可以定義 z=? 為 f (z)的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)或本性奇點(diǎn) . Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 ( ) .nnnf z c z??? ? ?? ?定義 設(shè) f (z)在 內(nèi)解析，且其 Rz? ? ??如果展開(kāi)式中不含有 z的正冪項(xiàng)，則稱 z=? 是 f (z) 的可去奇點(diǎn) 。 如果展開(kāi)式中含有 z 的有限個(gè)正冪項(xiàng) (至少含有一項(xiàng) ), 且最高次冪為 m, 則稱 z=?是 f (z)的 m級(jí)極點(diǎn) 。 如果展開(kāi)式中含有 z 的無(wú)窮多個(gè)正冪項(xiàng)， 則稱 z=? 是 f (z)的本性奇點(diǎn) . 類似地可以得到以下結(jié)論 . 定理 設(shè) f (z)在 內(nèi)解析，則 Rz? ? ??(1) z=? 是 f (z)的可去奇點(diǎn)充分必要條件是 存在極限 0l i m ( ) ,z f z c?? ?其中 c0是有限復(fù)常數(shù) . (2) z=? 是 f (z)的極點(diǎn)充分必要條件是 l i m ( ) ,z fz?? ??即 l i m ( ) ,z fz?? ? ? ?(3) z=? 是 f (z)的本性奇點(diǎn)充分必要條件是 lim ( )z fz?? 不存在有限與無(wú)窮的極限 . 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 定義 設(shè) z=?是 f (z)的孤立奇點(diǎn) , 即 f (z) 在 z=?的去心鄰域 內(nèi)解析 , 稱積分 Rz? ? ??1 ( ) d2 C f z zi? ??為 f (z)在 z=?的留數(shù)，并記做 其中 R e s [ ( ) , ] ,fz ?C?表示圓周 的負(fù)向 (即順時(shí)針?lè)较?). ( ) z r r R??1R e s [ ( ) , ] .f z c ?? ? ?易見(jiàn) f (z)在 Rz? ? ??內(nèi) Laurent展開(kāi)式 項(xiàng)的系數(shù) 11cz??定理 設(shè)函數(shù) f (z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限 個(gè)孤立奇點(diǎn) 1 2 1, , , , ,NNz z z z? ??則 f (z)在所有各孤 立奇點(diǎn)留數(shù)的總和等于零，即 1Re s [ ( ) , ] 0 .Nkkf z z???證明 取充分大的正數(shù) r , 使得 在 1 2 1, , , Nz z z ?圓周 的內(nèi)部區(qū)域 . zr? 根據(jù) , 定理 (留數(shù)基本定理 ) 設(shè)函數(shù) f ( z )在區(qū)域 D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn) 12, , , nz z z外處處解析 , C 是 D內(nèi)包含所有奇點(diǎn)在其內(nèi)部的分段光滑正向 Jor dan曲線 , 則1( ) d 2 R e s ( ) , .n kkC f z z i f z z? ?? ??????根據(jù)留數(shù)基本定理 , 函數(shù)在閉曲線 f ( z )上的積分可歸結(jié)為函數(shù)在曲線內(nèi)部各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算問(wèn)題 . 11( ) d 2 R e s [ ( ) , ] .Nkkzrf z z i f z z????? ??于是 111R e s [ ( ) , ] ( ) d 0.2Nkk zrf z z f z zi??? ???? ?根據(jù)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義 , 1R e s [ ( ) , ] ( ) d ,2N zrf z z f z zi? ??? ?所以 1Re s [ ( , ) ] 0.Nkkf z z???下面介紹求無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的方法 . ?法則 設(shè) f (z)在 內(nèi)解析，則 Rz? ? ??211R e s [ ( ) , ] R e s , 0 .f z fzz????? ? ?????????證明 設(shè) f (z)在 R|z|?內(nèi)的 Laurent展開(kāi)式為 ( ) ,nnnf z c z?? ? ?? ?于是 所以 2211 .nnnf c zzz???? ? ??? ????? ?1211R e s , 0 R e s [ ( ) , ] .f c f zzz ????? ? ? ? ?????????例 計(jì)算積分 152 2 4 34d.( 1 ) ( 2 )zzIzzz?? ???解 記 則由 152 2 4 3( ) .( 1 ) ( 2 )zfzzz? ???法則 設(shè) f (z )在 內(nèi)解析，則Rz? ? ?? 211R e s [ ( ) , ] R e s , 0 .f z f zz????? ? ? ????????211R e s [ ( ) , ] R e s , 0f z fzz????? ? ?????????2 2 4 31R e s , 0 1.( 1 ) ( 1 2 )z z z??? ? ? ???????4( ) d 2 R e s [ ( ) , ] 2 .zf z z i f z i???? ? ? ??因此， ?法則 設(shè) 是有理分式 , 且多項(xiàng)式 ()() ()Pzfz Qz?Q(z)的次數(shù)比 P(z)的次數(shù)至少高 2次，則 R e s [ ( ) , ] 0 .fz ??證明 由條件可知 存在有限的極限 , 2li m ( )z z f z??故存在 R0, M