【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 點(diǎn)內(nèi)容講解 計(jì)算重力加速度 1 在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，可用萬(wàn)有引力定律來(lái)計(jì)算。 G=G = _ =(m/ )= 即在地球表面附近，物體的重力加速度g=。這一結(jié)果表明，在重力作用下，物體加速度大小與物體質(zhì)量無(wú)關(guān)。 2 即算地球上空距地面h處的重力加速度g’。有萬(wàn)有引力定律可得： g’= 又g= ，∴ = ，∴g’= g 3 計(jì)算任意天體表面的重力加速度g’。有萬(wàn)有引力定律得： g’= (M’為星球質(zhì)量，R’衛(wèi)星球的半徑)，又g= ， ∴ = 。 星體運(yùn)行的基本公式 在宇宙空間，行星和衛(wèi)星運(yùn)行所需的向心力，均來(lái)自于中心天體的萬(wàn)有引力。因此萬(wàn)有引力即為行星或衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。因此可的以下幾個(gè)基本公式。 1 向心力的六個(gè)基本公式，設(shè)中心天體的質(zhì)量為M，行星(或衛(wèi)星)的圓軌道半徑為r，則向心力可以表示為： =G =ma=m =mr =mr =mr =m v。 2 五個(gè)比例關(guān)系。利用上述計(jì)算關(guān)系，可以導(dǎo)出與r相應(yīng)的比例關(guān)系。 向心力： =G ，F(xiàn)∝ 。 向心加速度：a=G , a∝ 。 線速度：v= ，v∝ 。 角速度： = ， ∝ 。 周期：T=2 ，T∝ 。 3 v與 的關(guān)系。在r一定時(shí)，v=r ,v∝ 。在r變化時(shí)，如衛(wèi)星繞一螺旋軌道遠(yuǎn)離或靠近中心天體時(shí)，r不斷變化，v、 也隨之變化。根據(jù)，v∝ 和 ∝ ，這時(shí)v與 為非線性關(guān)系，而不是正比關(guān)系。 一個(gè)重要物理常量的意義 根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律可得：G =mr ∴ .這實(shí)際上是開(kāi)普勒第三定律。它表明 是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的物理量，它僅僅取決于中心天體的質(zhì)量。在實(shí)際做題時(shí)，它具有重要的物理意義和廣泛的應(yīng)用。它同樣適用于人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，在處理人造衛(wèi)星問(wèn)題時(shí)，只要圍繞同一星球運(yùn)轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，均可使用該公式。 估算中心天體的質(zhì)量和密度 1 中心天體的質(zhì)量，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力表達(dá)式可得：G =mr ，∴M= 2 中心天體的密度 方法一：中心天體的密度表達(dá)式ρ= ，V= (R為中心天體的半徑)，根據(jù)前面M的表達(dá)式可得：ρ= 。當(dāng)r=R即行星或衛(wèi)星沿中心天體表面運(yùn)行時(shí)，ρ= 。此時(shí)表面只要用一個(gè)計(jì)時(shí)工具，測(cè)出行星或衛(wèi)星繞中心天體表面附近運(yùn)行一周的時(shí)間，周期T，就可簡(jiǎn)捷的估算出中心天體的平均密度。 方法二：由g= ,M= 進(jìn)行估算，ρ= ，∴ρ= (三)常考模型規(guī)律示例總結(jié) 1. 對(duì)萬(wàn)有引力定律的理解 (1)萬(wàn)有引力定律：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的，引力的大小跟這兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比，兩物體間引力的方向沿著二者的連線。 (2)公式表示：F= 。 (3)引力常量G：①適用于任何兩物體。 ②意義：它在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的物體(可看成質(zhì)點(diǎn))相距1m時(shí)的相互作用力。 ③G的通常取值為G=6。671011Nm2/kg2。是英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許用實(shí)驗(yàn)測(cè)得。 (4)適用條件：①萬(wàn)有引力定律只適用于質(zhì)點(diǎn)間引力大小的計(jì)算。當(dāng)兩物體間的距離遠(yuǎn)大于每個(gè)物體的尺寸時(shí)，物體可看成質(zhì)點(diǎn)，直接使用萬(wàn)有引力定律計(jì)算。 ②當(dāng)兩物體是質(zhì)量均勻分布的球體時(shí)，它們間的引力也可以直接用公式計(jì)算，但式中的r是指兩球心間的距離。 ③當(dāng)所研究物體不能看成質(zhì)點(diǎn)時(shí)，可以把物體假想分割成無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，求出兩個(gè)物體上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)與另一物體上所有質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力，然后求合力。(此方法僅給學(xué)生提供一種思路) (5)萬(wàn)有引力具有以下三個(gè)特性： ①普遍性：萬(wàn)有引力是普遍存在于宇宙中的任何有質(zhì)量的物體(大到天體小到微觀粒子)間的相互吸引力，它是自然界的物體間的基本相互作用之一。 ②相互性：兩個(gè)物體相互作用的引力是一對(duì)作用力和反作用力，符合牛頓第三定律。 ③宏觀性：通常情況下，萬(wàn)有引力非常小，只在質(zhì)量巨大的天體間或天體與物體間它的存在才有宏觀的物理意義，在微觀世界中，粒子的質(zhì)量都非常小，粒子間的萬(wàn)有引力可以忽略不計(jì)。 〖例1〗設(shè)地球的質(zhì)量為M，地球的半徑為R，物體的質(zhì)量為m，關(guān)于物體與地球間的萬(wàn)有引力的說(shuō)法，正確的是： A、地球?qū)ξ矬w的引力大于物體對(duì)地球的引力。 物體距地面的高度為h時(shí)，物體與地球間的萬(wàn)有引力為F= 。 物體放在地心處，因r=0，所受引力無(wú)窮大。 D、物體離地面的高度為R時(shí)，則引力為F= 〖答案〗D 〖總結(jié)〗(1)矯揉造作配地球之間的吸引是相互的，由牛頓第三定律，物體對(duì)地球與地球?qū)ξ矬w的引力大小相等。 (2)F= 。中的r是兩相互作用的物體質(zhì)心間的距離，不能誤認(rèn)為是兩物體表面間的距離。 (3)F= 適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，如果把物體放在地心處，顯然地球已不能看為質(zhì)點(diǎn)，故選項(xiàng)C的推理是錯(cuò)誤的。 〖變式訓(xùn)練1〗對(duì)于萬(wàn)有引力定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式F= ，下列說(shuō)法正確的是： A、公式中G為引力常數(shù)，是人為規(guī)定的。 B、r趨近于零時(shí)，萬(wàn)有引力趨于無(wú)窮大。 C、mm2之間的引力總是大小相等，與mm2的質(zhì)量是否相等無(wú)關(guān)。 D、mm2之間的萬(wàn)有引力總是大小相等，方向相反，是一對(duì)平衡力。 〖答案〗C 2. 計(jì)算中心天體的質(zhì)量 解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，通常把一個(gè)天體繞另一個(gè)天體的運(yùn)動(dòng)看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，處在圓心的天體稱(chēng)作中心天體，繞中心天體運(yùn)動(dòng)的天體稱(chēng)作運(yùn)動(dòng)天體，運(yùn)動(dòng)天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由中心天體對(duì)運(yùn)動(dòng)天體的萬(wàn)有引力來(lái)提供。 式中M為中心天體的質(zhì)量,Sm為運(yùn)動(dòng)天體的質(zhì)量,a為運(yùn)動(dòng)天體的向心加速度,ω為運(yùn)動(dòng)天體的角速度,T為運(yùn)動(dòng)天體的周期,r為運(yùn)動(dòng)天體的軌道半徑. (1)天體質(zhì)量的估算 通過(guò)測(cè)量天體或衛(wèi)星運(yùn)行的周期T及軌道半徑r,有 ,得 注意:用萬(wàn)有引力定律計(jì)算求得的質(zhì)量M是位于圓心的天體質(zhì)量(一般是質(zhì)量相對(duì)較大的天體),而不是繞它做圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的m,二者不能混淆. 用上述方法求得了天體的質(zhì)量M后,如果知道天體的半徑R,利用天體的體積 ,進(jìn)而還可求得天體的密度. 如果衛(wèi)星在天體表面運(yùn)行,則r=R,則上式可簡(jiǎn)化為 規(guī)律總結(jié): 掌握測(cè)天體質(zhì)量的原理,行星(或衛(wèi)星)繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由萬(wàn)有引力來(lái)提供的. 物體在天體表面受到的重力也等于萬(wàn)有引力. 注意挖掘題中的隱含條件:飛船靠近星球表面運(yùn)行,運(yùn)行半徑等于星球半徑. (2)行星運(yùn)行的速度、周期隨軌道半徑的變化規(guī)律 研究行星(或衛(wèi)星)運(yùn)動(dòng)的一般方法為：把行星(或衛(wèi)星)運(yùn)動(dòng)當(dāng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力來(lái)源于萬(wàn)有引力，即： 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況選用恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行計(jì)算，必要時(shí)還須考慮物體在天體表面所受的萬(wàn)有引力等于重力，即 (3)利用萬(wàn)有引力定律發(fā)現(xiàn)海王星和冥王星 〖例2〗已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)周期T和軌道半徑r，地球半徑為R求(1)地球的質(zhì)量?(2)地球的平均密度? 〖思路分析〗 設(shè)月球質(zhì)量為m，月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 則： ， (2)地球平均密度為 答案： 。 總結(jié)：①已知運(yùn)動(dòng)天體周期T和軌道半徑r，利用萬(wàn)有引力定律求中心天體的質(zhì)量。 ②求中心天體的密度時(shí)，求體積應(yīng)用中心天體的半徑R來(lái)計(jì)算。 〖變式訓(xùn)練2〗人類(lèi)發(fā)射的空間探測(cè)器進(jìn)入某行星的引力范圍后，繞該行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知該行星的半徑為R，探測(cè)器運(yùn)行軌道在其表面上空高為h處，運(yùn)行周期為T(mén)。 (1)該行星的質(zhì)量和平均密度?(2)探測(cè)器靠近行星表面飛行時(shí)，測(cè)得運(yùn)行周期為T(mén)1，則行星平均密度為多少? 答案：(1) 。 (2) 3. 地球的同步衛(wèi)星(通訊衛(wèi)星) 同步衛(wèi)星：相對(duì)地球靜止，跟地球自轉(zhuǎn)同步的衛(wèi)星叫做同步衛(wèi)星，周期T=24h，同步衛(wèi)星又叫做通訊衛(wèi)星。 同步衛(wèi)星必定點(diǎn)于赤道正上方，且離地高度h，運(yùn)行速率v是確定的。 設(shè)地球質(zhì)量為 ，地球的半徑為 ，衛(wèi)星的質(zhì)量為 ，根據(jù)牛頓第二定律 設(shè)地球表面的重力加速度 ，則 以上兩式聯(lián)立解得： 同步衛(wèi)星距離地面的高度為 同步衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同 注意：赤道上隨地球做圓周運(yùn)動(dòng)的物體與繞地球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的區(qū)別 在有的問(wèn)題中，涉及到地球表面赤道上的物體和地球衛(wèi)星的比較，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心與近地衛(wèi)星的圓心都在地心，而且兩者做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑均可看作為地球的R，因此，有些同學(xué)就把兩者混為一談，實(shí)際上兩者有著非常顯著的區(qū)別。 地球上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由萬(wàn)有引力提供，但由于地球自轉(zhuǎn)角速度不大，萬(wàn)有引力并沒(méi)有全部充當(dāng)向心力，向心力只占萬(wàn)有引力的一小部分，萬(wàn)有引力的另一分力是我們通常所說(shuō)的物體所受的重力(請(qǐng)同學(xué)們思考：若地球自轉(zhuǎn)角速度逐漸變大，將會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象?)而圍繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，萬(wàn)有引力全部充當(dāng)向心力。 赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)由于與地球保持相對(duì)靜止，因此它做圓周運(yùn)動(dòng)的周期應(yīng)與