最全高中數(shù)學(xué)解題思想方法匯編：類比思想(編輯修改稿)
2025-04-05 06:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 拋物線，點，拋物線上的點 ，過點B作直線AP的垂線，垂足為Q. (1)求直線AP斜率的取值范圍 （2）求的最大值 。 解：（1）設(shè)直線AP的斜率為K. ，因為，所以直線AP斜率的取值范圍為。（2）常規(guī)解法：設(shè)直線AP的方程：，則由消得：，則。由題意得，所以直線：，聯(lián)立方程，解得, 因為 ， ,所 以 。令，因為 ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當時，取得最大值。當然我們也可以利用不等式的性質(zhì)直接求解： ，當時等號成立。有沒有其他的解決途徑呢？重新審視已知條件，直線AP的垂線及所求的量有沒有什么內(nèi)在的聯(lián)系？垂足與已知點之間有沒有特殊的關(guān)系呢？如果我們能發(fā)現(xiàn)就是在直線AP上的射影的話，那么就可直接轉(zhuǎn)化為，于是問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標運算。解法2：兩線段積類比向量數(shù)量積的幾何意義 設(shè)，則 （ * ）對于（*）式 我們可以直接展開得 ，下面可求導(dǎo)計算（過程同上）。解法3：類比于已解決的問題已知直線AB 與拋物線交于點A,B,點M為AB 的中點，C為拋物線上一個動點，若滿足,則下列一定成立的是（ B ） ,其中是拋物線過 的切線 分析：設(shè)AB的中點為M，由于若線段AB為定值，則當以M為圓心的圓與拋物線相切時（切點為）滿足，此時圓與拋物線在處有共同的切線。如果在考場上我們能夠回憶起這樣一個解題經(jīng)歷，或者能深層地發(fā)現(xiàn)本問題中蘊含的幾何位置關(guān)系，那么下面的解法應(yīng)該是水到渠成的。設(shè)AB的中點為D，則, 由于 ，如圖當圓D與拋物線相切于點P時值最小，此時DP與過P的拋物線的切線垂直。設(shè) 則 化簡得 即， 。故時最大值為。評析：上面的多維度解析讓我們感受了數(shù)學(xué)問題的解決是多方面的，類比思想體現(xiàn)在數(shù)算，形態(tài)，及解題策略方面的互通。配套練習(xí)：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－
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