福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)系列五(解析幾何存在問(wèn)題及應(yīng)對(duì)策略)(編輯修改稿)
2025-04-03 03:34 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 方程為．（2）如圖所示，連接，由橢圓的定義，，從而由，有．又由，知，因此，得．從而．由，知，因此．【評(píng)析】問(wèn)題歸結(jié)——利用橢圓的定義求其方程和離心率的定義；策略突破——利用橢圓的定義，構(gòu)建三角形，轉(zhuǎn)化為求的值或齊次方程，從而求方程和離心率．歸納：1．定義是事物本質(zhì)屬性的概括和反映，圓錐曲線許多性質(zhì)都是由定義派生出來(lái)的．對(duì)某些圓錐曲線問(wèn)題，采用“回歸定義”的策略，把定量的計(jì)算和定性的分析有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，則往往能獲得題目所固有的本質(zhì)屬性，達(dá)到準(zhǔn)確判斷、合理運(yùn)算、靈活解題的目的．2．求圓錐曲線方程常用的方法有直接法、定義法、待定系數(shù)法、參數(shù)法等．用待定系數(shù)法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要“先定型，后計(jì)算”．所謂“定型”，是指確定類(lèi)型，也就是確定橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸，拋物線的焦點(diǎn)是在x軸的正半軸、負(fù)半軸，還是y軸的正半軸、負(fù)半軸，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；“計(jì)算”就是指運(yùn)用方程思想、利用待定系數(shù)法求出方程中的abp的值（基本量法），最后代入橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．求橢圓或雙曲線的離心率時(shí)，應(yīng)該尋求三角形中的邊角之間的關(guān)系，從而建立a、c的齊次方程（求值）或者齊次不等式（求范圍）．（二）弄清幾何問(wèn)題，選擇代數(shù)方法，合理轉(zhuǎn)化解析幾何就是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，即：幾何問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→代數(shù)結(jié)論→幾何結(jié)論．所以，它的兩大任務(wù)是：（1）把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，（2）研究代數(shù)問(wèn)題，得出代數(shù)結(jié)論．怎樣將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題？（1）要主動(dòng)去理解幾何對(duì)象的本質(zhì)特征；（2）善于將幾何條件、幾何性質(zhì)用代數(shù)的形式表達(dá)出來(lái)；（3）恰當(dāng)選擇代數(shù)化的形式，這點(diǎn)是關(guān)鍵：一要研究具體的幾何對(duì)象具有什么樣的幾何特征（如果幾何特征不清楚，就不可能準(zhǔn)確將其代數(shù)化），這就要在審題上下功夫；二是選擇最簡(jiǎn)潔的代數(shù)形式（方便后續(xù)的代數(shù)研究），這需要大局觀；（4）注意等價(jià)轉(zhuǎn)化．【例12】（2018全國(guó)卷Ⅰ理21）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于,兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1) 當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；(2) 設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【解析】(1)由已知得，的方程為．由已知可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．所以的方程為或．（2）本題目標(biāo)要研究的幾何對(duì)象為角，這需要在圖形中挖掘這兩個(gè)角的幾何特征或這個(gè)角的等價(jià)幾何關(guān)系．特例情況當(dāng)與軸重合時(shí)．①；②當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以．當(dāng)與軸不重合也不垂直時(shí)，將代數(shù)化，即角相等的證明可以有兩個(gè)思路，即從數(shù)量關(guān)系或幾何關(guān)系來(lái)思考．為此，不妨設(shè)．思路1：從圖形中直線的傾斜角直接切入，由位置特征，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為；思路2：從數(shù)量關(guān)系角度看，通過(guò)向量運(yùn)算去獲取，淡化幾何特征，直接采取坐標(biāo)運(yùn)算，即證；思路3：從幾何角度看，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為運(yùn)用角平分線定理，現(xiàn)坐標(biāo)化，即證；思路4:從幾何角度看，在坐標(biāo)幾何中，構(gòu)造直角三角形相似來(lái)證．思路5：從幾何角度看，視為角平分線，用點(diǎn)到兩邊的距離進(jìn)行代數(shù)化．思路6：角平分線具有對(duì)稱性，故可證明點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線BM上．這么多的思路，如何代數(shù)化，要不要求坐標(biāo)？程序化（算術(shù)化）：即設(shè)直線方程，遵循不斷求出的思路進(jìn)行運(yùn)算，求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，后再計(jì)算；結(jié)構(gòu)化（關(guān)系化）：即設(shè)直線方程，找出A，B坐標(biāo)關(guān)系（這里的策略就是通常所說(shuō)的“設(shè)而不求”，再對(duì)要證的結(jié)構(gòu)關(guān)系進(jìn)行推演．事實(shí)上，程序化和結(jié)構(gòu)化的代數(shù)思維沒(méi)有特別的優(yōu)劣，它都是代數(shù)思維的重要特征，它是一個(gè)不斷螺旋上升的過(guò)程，只是大家目前都喜歡用結(jié)構(gòu)化的思維，忽視程序化的思維，這是不對(duì)的，對(duì)結(jié)構(gòu)化思維的形成與培養(yǎng)也不利．另外，即便用結(jié)構(gòu)化思維進(jìn)行推演，在設(shè)方程上也有此許的差別，如設(shè)的方程為或設(shè)，還是有講究的．【評(píng)析】解析法的過(guò)程，充滿著概念與思辯，需要大家細(xì)細(xì)品味！絕不是機(jī)械模仿能達(dá)到的．（三）增強(qiáng)幾何意識(shí)，配合解析工具，巧妙轉(zhuǎn)化解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量．?dāng)?shù)學(xué)試題中很多圖形性質(zhì)就和“平幾”知識(shí)相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時(shí)引用，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解．提高學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力——實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，陌生問(wèn)題熟悉化．例如：①?zèng)]有圖形，不妨畫(huà)個(gè)圖形，以便直觀思考；②“設(shè)—列—驗(yàn)”是求軌跡的通法；③消元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)（方程），判別式，韋達(dá)定理，中點(diǎn)，弦長(zhǎng)公式等要把握好；④多感悟“設(shè)—列—解”，“設(shè)”：設(shè)什么？坐標(biāo)、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量關(guān)系，“解”：解就是轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)、變形，向目標(biāo)靠攏；⑤緊扣題意，聯(lián)系圖形，數(shù)形結(jié)合；⑥一旦與自己熟悉的問(wèn)題接軌立即入位．【例11】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C：，點(diǎn)A是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的取值范圍為 ．分析：?jiǎn)栴}歸結(jié)——定直線上的動(dòng)點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離問(wèn)題；策略突破——解直角三角形，化歸為圓心到直線的距離．求解過(guò)程分析：首先要明確目標(biāo)所在三角形及與圓的相關(guān)幾何特性：根據(jù)圓的垂徑定理，在等腰與中，；接著結(jié)合解三角形，問(wèn)題溯源，選定較為直觀的幾何變量，構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)解析式：；最后回歸題意確定變量的范圍，計(jì)算求解，又，所以，因此線段長(zhǎng)的取值范圍為．歸納：直線與圓的三種位置關(guān)系：相切，相交，相離．解決直線與圓的問(wèn)題時(shí)，一方面，要運(yùn)用解析幾何的一般方法，即代數(shù)化方法，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系非常緊密，因此，準(zhǔn)確地作出圖形，挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識(shí)使問(wèn)題較為簡(jiǎn)捷地得到解決．【例12】如圖所示，過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，射線OA和OB分別和圓交于D、E兩點(diǎn)，若，則的最小值等于A． B． C． D． 【分析】問(wèn)題歸結(jié)——求面積之比，需要
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