【文章內容簡介】 ?? ???2 55 b， 2 55 b ， ∴ 由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為 2 55 b2 55 b＝ 4， ∴ b2＝ 5， ∴ a2＝ 4b2＝ 20. ∴ 橢圓 C 的方程為 x220＋ y25 ＝ 1. [答案 ] D [類題通法 ] 1．圓錐曲線的定義： (1)橢圓： |PF1|＋ |PF2|＝ 2a(2a|F1F2|)； (2)雙曲線： ||PF1|－ |PF2||＝ 2a(2a|F1F2|)； (3)拋物線： |PF|＝ d. 2．求解圓錐曲線標準方程的方法是 “先定型，后計算 ”．所謂 “定型 ”，就是指確定類型，也就是確定橢圓、雙曲線的焦點所 在的坐標軸是 x 軸還是 y 軸，拋物線的焦點是在 x 軸的正半軸、負半軸上，還是在 y 軸的正半軸、負半軸上，從而設出相應的標準方程的形式；所謂 “計算 ”，就是指利用待定系數法求出方程中的 a2， b2， p 的值，最后代入寫出橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程． [沖關集訓 ] 1． (2022唐山統(tǒng)考 )已知雙曲線的漸近線為 y＝ 177。 3x，焦點坐標為 (－ 4,0)， (4,0)，則雙曲線方程為 ( ) － y212＝ 1 － y24 ＝ 1 － y28 ＝ 1 － y224＝ 1 解析：選 A 由題意可設雙曲線方程為 x2a2－ y2b2＝ 1(a0， b0)，由已知條件可得：????? ba＝ 3，c＝ 4，即????? ba＝ 3，a2＋ b2＝ 42， 則????? a2＝ 4，b2＝ 12. 故雙曲線方程為x24 －y212＝ 1. 2． (2022四川高考 )已知拋物線關于 x 軸對稱，它的頂點在坐標原點 O，并且經過點 M(2，y0)．若點 M 到該拋物線焦點的距離為 3，則 |OM|＝ ( ) A． 2 2 B． 2 3 C． 4 D． 2 5 解析：選 B 依題意，設拋物線方程是 y2＝ 2px(p0)， 則有 2＋ p2＝ 3，得 p＝ 2，故拋物線方程是 y2＝ 4x，點 M 的坐標是 (2， 177。2 2)， |OM|＝ 22＋ 8＝ 2 3. 3．已知 F1， F2 為橢圓 x212＋ y23 ＝ 1 的兩個焦點，點 P 在橢圓上，如果線段 PF1 的中點在 y 軸上，且 |PF1|＝ t|PF2|，則 t 的值為 ( ) A． 3 B． 4 C． 5 D． 7 解析：選 D 設 N 為 PF1 的中點，則 NO∥ PF2， 故 PF2⊥ x 軸，故 |PF2|＝ b2a ＝ 32 ， 而 |PF1|＋ |PF2|＝ 2a＝ 4 3， 所以 |PF1|＝ 7 32 ， t＝ 7. [考情分析 ] 圓錐曲線的簡單幾何性質是圓錐曲線的重點內容，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，試題一般以圓錐曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等為主進行命題． [例 2] (2022新課標全國卷 )等軸雙曲線 C 的中心在原點，焦點在 x 軸上， C 與拋物線 y2＝ 16x 的準線交于 A， B 兩點 ， |AB|＝ 4 3，則 C 的實軸長為 ( ) A. 2 B． 2 2 C． 4 D． 8 [思路點撥 ] 利用拋物線及雙曲線的對稱性可求 A， B 的坐標，問題便可求解． [解析 ] 設 C： x2a2－ y2a2＝ 1.∵ 拋物線 y2＝ 16x 的準線為 x＝－ 4，聯(lián)立 x2a2－ y2a2＝ 1 和 x＝－ 4得 A(－ 4， 16－ a2)， B(－ 4，－ 16－ a2)， ∴ |AB|＝ 2 16－ a2＝ 4 3， ∴ a＝ 2， ∴ 2a＝ 4. ∴ C 的實軸長為 4. [答案 ] C [類題通法 ] (1)求橢圓、雙曲線的離心率，關鍵是根據已知條件確定 a， b， c 的等量關系，然后把 b 用a， c 代換，求 ca的值；在雙曲線中由于 e2＝ 1＋ ??? ???ba 2，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關． (2)研究圓錐曲線時，應明確圓錐曲線的對稱性． [沖關集訓 ] 4． (2022安徽名校模擬 )過雙曲線 x2a2－ y2b2＝ 1(a0， b0)的右焦點 F，作圓 x2＋ y2＝ a2 的切線 FM 交 y 軸于點 P，切圓于點 M,2 OM ＝ OF ＋ OP ，則雙曲線的離心率是 ( ) A. 2 B. 3 C． 2 D. 5 解析：選 A 由已知條件知，點 M 為直角三角形 OFP 斜邊 PF 的中點，故 OF＝ 2OM，即 c＝ 2a，所以雙曲線的離心率為 2. 5． (2022天津高考 )已知雙曲線 C1： x2a2－ y2b2＝ 1(a0， b0)與雙曲線 C2： x24 － y216＝ 1 有相同的漸近線，且 C1 的右焦點為 F( 5， 0)，則 a＝ ________b＝ ________. 解析：雙曲線 x24 － y216＝ 1 的漸近線為 y＝ 177。2x，則 ba＝ 2，即 b＝ 2a，又因為 c＝ 5， a2＋ b2＝ c2，所以 a＝ 1， b＝ 2. 答案： 1 2 6.(2022陜西高考 )如圖所示是拋物線形拱橋，當水面在 l 時，拱頂離水面 2 m，水面寬 4 m．水位下降 1 m 后，水面寬 ________m. 解析： 建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線方程為 x2＝－ 2py(p0)，則 A(2，－ 2)，將其坐標代入 x2＝－ 2py，得 p＝ 1. 故 x2＝－ 2y. 當水面下降 1 m，得 D(x0，－ 3)(x00)， 將其坐標代入 x2＝－ 2y，得 x20＝ 6， 則 x0＝ |CD|＝ 2 6 m. 答案： 2 6 [考情分析 ] 關于此類問題，高考主要考查直線與橢圓、拋物線相交，涉及求弦長、范圍 (最值 )、定點、定值的問題，試題多以解答題的形式出現，一般難度較大． [例 3] (2022北京東城區(qū)綜合練習 )已知橢圓 x2a2＋ y2b2＝ 1(ab0)的一個頂點為 M(0,1)，離心率 e＝ 63 . (1)求橢圓的方程； (2)設直線 l 與橢圓交于 A， B 兩點，坐標原點 O 到直線 l 的距離為 32 ，求 △ AOB 面積的最大值． [思路點撥 ] (1)利用頂點坐標和離心率可求出 b，進而求 a，從而求得方程； (2)設出直線方程，表示出 △ AOB 的面積，借助不等式求解，注意直線 l 斜率存在性的討論． [解 ] (1)依題意得 b＝ 1， e＝ ca＝ a2－ b2a ＝ 63 ，即 a2－ 1a ＝ 63 ，解得 a＝ 3，所以橢圓的方程為 x23 ＋ y2＝ 1. (2)① 當直線 l 的斜率不存在時， l 的方程為 x＝ 177。 32 ，將 x＝ 177。 32 代入橢圓方程 x23 ＋ y2＝ 1，得 y＝ 177。 32 ，故此時 |AB|＝ 3. ② 當直線 l 的斜率存在且不為零時，設直線 l 的方程為 y＝ kx＋ m， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由已知可得 |m|1＋ k2＝ 32 ，整理得： m2＝ 34(k2＋ 1)， 把 y＝ kx＋ m 代入橢圓方程，整理得 (3k2＋ 1)x2＋ 6kmx＋ 3m2－ 3＝ 0， 于是 x1＋ x2＝ － 6km3k2＋ 1， x1x2＝ 3 m2－ 13k2＋ 1 ， 故 |AB|2＝ (1＋ k2)(x2－ x1)2＝ (1＋ k2)??? 36k2m23k2＋ 1 2－ ???12 m2－ 13k2＋ 1 ＝ 12 1＋ k2 3k2＋ 1－ m23k2＋ 1 2 ＝ 3 k2＋ 1 9k2＋ 13k2＋ 1 2 ＝ 3＋12k29k4＋ 6k2＋ 1＝ 3＋129k2＋ 1k2＋ 6≤3＋ 1223＋ 6＝ 4. 當且僅當 9k2＝ 1k2，即 k＝ 177。 33 時，等號成立 ， 故 |AB|max＝ 2. ③ 當直線 l 的斜率為零時， l 的方程為 y＝ 177。 32 ， 將 y＝ 177。 32 代入橢圓方程得 x＝ 177。 32 ， 故此時 |AB|＝ 3. 綜上： |AB|max＝ 2， 所以 △ AOB 面積的最大值 S＝ 12|AB|max 32 ＝ 32 . [類題通法 ] 在涉及直線與二次曲線的兩個交點坐標時，一般不是求出這兩個 點的坐標，而是設出這兩個點的坐標，根據直線方程和曲線方程聯(lián)立后所得方程的根情況，使用根與系數的關系進行整體代入，這種設而不求的思想是解析幾何中處理直線和二次曲線相交問題的最基本方法． [沖關集訓 ] 7． (2022重慶高考 )設 P 為直線 y＝ b3ax 與雙曲線 x2a2－ y2b2＝ 1(a0， b0)左支的交點， F1 是左焦點， PF1 垂直于 x 軸，則雙曲線的離心率 e＝ ________. 解析：由 PF1⊥ x 軸且 P 點在雙曲線的左 支上，可得 P??? ???－ c，－ b2a .又因為點 P 在直線 y＝ b3ax 上，所以－ b2a ＝ b3a(－ c)，整理得 c＝ 3b，根據 c2＝ a2＋ b2 得 a＝ 2 2b，所以雙曲線的離心率 e＝ ca＝ 3b2 2b＝ 3 24 . 答案： 3 24 8． (2022安徽名校模擬 )已知橢圓 C1： x24 ＋ y2b2＝ 1(0b2)的離心率為 32 ，拋物線 C2： x2＝ 2py(p0)的焦點是橢圓的頂點． (1)求拋物線 C2 的方程； (2)過點 M(－ 1,0)的直線 l 與拋物線 C2 交于 E， F 兩點，過 E， F 作拋物線 C2 的切線 l1， l2，當 l1⊥ l2 時，求直線 l 的方程． 解： (1)∵ 橢圓 C1 的長半軸長 a＝ 2，半焦距 c＝ 4－ e＝ ca＝ 4－ b22 ＝ 32 得 b2＝ 1， ∴ 橢圓 C1 的上頂點為 (0,1)， ∴ 拋物線 C2 的焦點為 (0,1)， ∴ 拋物線 C2 的方程為 x2＝ 4y. (2)由已知可得直線 l 的斜率必存在，設直線 l 的方程為 y＝ k(x＋ 1)， E(x1， y1)， F(x2，y2)． 由 x2＝ 4y 得 y＝ 14x2， ∴ y′＝ 12x. ∴ 切線 l1， l2 的斜率分別為 12x1， 12x2. 當 l1⊥ l2 時， 12x112x2＝－ 1，即 x1x2＝－ 4. 由????? y＝ k x＋ 1 ，x2＝ 4y 得 x2－ 4kx－ 4k＝ 0， ∴ Δ＝ (4k)2－ 4(－ 4k)0，解得 k－ 1 或 k0， ① 且 x1x2＝－ 4k＝－ 4，即 k＝ 1，滿足 ① 式， ∴ 直線 l 的方程為 x－ y＋ 1＝ 0. 細解離心率問題 離心率是圓錐曲線重要的幾何性質，在圓錐曲線的基礎類試題中占有較大的比重，是高考考查圓錐曲線幾何性質中的重要題目類型． 關于橢圓、雙曲線的離心率問題，主要有兩類試題．一類是求解離心率的值，一類是求解離心率的取值范圍．基本的解題思路 是建立橢圓和雙曲線中關于 a， b， c 的關系式，求值問題就是建立關于 a， b， c 的等式，求取值范圍問題就是建立關于 a， b， c 的不等式． [典例 ] 已知點 F 是雙曲線 x2a2－ y2b2＝ 1(a0， b0)的左焦點，點 E 是該雙曲線的右頂點，過點 F 且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于 A， B 兩點， △ ABE 是銳角三角形，則該雙曲線的離心率 e 的取值范圍是 ( ) A． (1，＋ ∞) B． (1,2) C． (1,1＋ 2) D． (2,1＋ 2) [思路點撥 ] [解析 ] 由 AB⊥ x 軸，可知 △ ABE 為等腰三角形，又 △ ABE 是銳角三角形，所以 ∠ AEB 為銳角，即 ∠ AEF45176。，于是 |AF||EF|， b2aa＋ c，于是 c2－ a2a2＋ ac，即 e2－ e－ 20，解得－ 1e e1，從而 1e2. [答案 ] B [名師支招 ] 離心率是圓錐曲線的重要幾何性質，求解橢圓或者雙曲線的離心率的關鍵是建立一個關于a， b， c 的方程 (不等式 )，通過這個方程 (不等式 )和 b 與 a， c 的關系消掉 b 后，建立 a， c之間的方程 (不等式 )，只要能通過這個方程求出 ca即可，不一定具體求出 a， c 的數值． [高考預測 ] 1．若雙曲線 x2a2－ y2b2＝ 1(a0， b0)的離心率為 3，則橢圓 x2a2＋ y2b2＝ 1 的離心率為 ( ) B. 22 C. 33 D. 32 解析：選 B 由題意 a2＋ b2a2 ＝ ( 3)2， 化簡，得 a2＋ b2＝ 3a2，即 b2＝ 2a2，故 ba0. 所以 e＝ b2－ a2b ＝ 1－ a2b2＝ 1－ 12＝ 22 . 2．設 F1， F2 分別是橢圓 x2a2＋ y2b2＝ 1(ab0)的左、右焦點，若在直線 x＝ a2c 上存在 P，使線段 PF1 的中垂線過點 F2，則橢圓離心率的取值范圍是 ( ) A.??? ???0， 22 B.??? ???0， 33 C.??? ???22 ， 1