【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?? ???2 55 b， 2 55 b ， ∴ 由圓錐曲線的對(duì)稱性得四邊形在第一象限部分的面積為 2 55 b2 55 b＝ 4， ∴ b2＝ 5， ∴ a2＝ 4b2＝ 20. ∴ 橢圓 C 的方程為 x220＋ y25 ＝ 1. [答案 ] D [類題通法 ] 1．圓錐曲線的定義： (1)橢圓： |PF1|＋ |PF2|＝ 2a(2a|F1F2|)； (2)雙曲線： ||PF1|－ |PF2||＝ 2a(2a|F1F2|)； (3)拋物線： |PF|＝ d. 2．求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是 “先定型，后計(jì)算 ”．所謂 “定型 ”，就是指確定類型，也就是確定橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)所 在的坐標(biāo)軸是 x 軸還是 y 軸，拋物線的焦點(diǎn)是在 x 軸的正半軸、負(fù)半軸上，還是在 y 軸的正半軸、負(fù)半軸上，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；所謂 “計(jì)算 ”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的 a2， b2， p 的值，最后代入寫(xiě)出橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． [沖關(guān)集訓(xùn) ] 1． (2022唐山統(tǒng)考 )已知雙曲線的漸近線為 y＝ 177。 3x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (－ 4,0)， (4,0)，則雙曲線方程為 ( ) － y212＝ 1 － y24 ＝ 1 － y28 ＝ 1 － y224＝ 1 解析：選 A 由題意可設(shè)雙曲線方程為 x2a2－ y2b2＝ 1(a0， b0)，由已知條件可得：????? ba＝ 3，c＝ 4，即????? ba＝ 3，a2＋ b2＝ 42， 則????? a2＝ 4，b2＝ 12. 故雙曲線方程為x24 －y212＝ 1. 2． (2022四川高考 )已知拋物線關(guān)于 x 軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) O，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn) M(2，y0)．若點(diǎn) M 到該拋物線焦點(diǎn)的距離為 3，則 |OM|＝ ( ) A． 2 2 B． 2 3 C． 4 D． 2 5 解析：選 B 依題意，設(shè)拋物線方程是 y2＝ 2px(p0)， 則有 2＋ p2＝ 3，得 p＝ 2，故拋物線方程是 y2＝ 4x，點(diǎn) M 的坐標(biāo)是 (2， 177。2 2)， |OM|＝ 22＋ 8＝ 2 3. 3．已知 F1， F2 為橢圓 x212＋ y23 ＝ 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在橢圓上，如果線段 PF1 的中點(diǎn)在 y 軸上，且 |PF1|＝ t|PF2|，則 t 的值為 ( ) A． 3 B． 4 C． 5 D． 7 解析：選 D 設(shè) N 為 PF1 的中點(diǎn)，則 NO∥ PF2， 故 PF2⊥ x 軸，故 |PF2|＝ b2a ＝ 32 ， 而 |PF1|＋ |PF2|＝ 2a＝ 4 3， 所以 |PF1|＝ 7 32 ， t＝ 7. [考情分析 ] 圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，試題一般以圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等為主進(jìn)行命題． [例 2] (2022新課標(biāo)全國(guó)卷 )等軸雙曲線 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上， C 與拋物線 y2＝ 16x 的準(zhǔn)線交于 A， B 兩點(diǎn) ， |AB|＝ 4 3，則 C 的實(shí)軸長(zhǎng)為 ( ) A. 2 B． 2 2 C． 4 D． 8 [思路點(diǎn)撥 ] 利用拋物線及雙曲線的對(duì)稱性可求 A， B 的坐標(biāo)，問(wèn)題便可求解． [解析 ] 設(shè) C： x2a2－ y2a2＝ 1.∵ 拋物線 y2＝ 16x 的準(zhǔn)線為 x＝－ 4，聯(lián)立 x2a2－ y2a2＝ 1 和 x＝－ 4得 A(－ 4， 16－ a2)， B(－ 4，－ 16－ a2)， ∴ |AB|＝ 2 16－ a2＝ 4 3， ∴ a＝ 2， ∴ 2a＝ 4. ∴ C 的實(shí)軸長(zhǎng)為 4. [答案 ] C [類題通法 ] (1)求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定 a， b， c 的等量關(guān)系，然后把 b 用a， c 代換，求 ca的值；在雙曲線中由于 e2＝ 1＋ ??? ???ba 2，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)． (2)研究圓錐曲線時(shí)，應(yīng)明確圓錐曲線的對(duì)稱性． [沖關(guān)集訓(xùn) ] 4． (2022安徽名校模擬 )過(guò)雙曲線 x2a2－ y2b2＝ 1(a0， b0)的右焦點(diǎn) F，作圓 x2＋ y2＝ a2 的切線 FM 交 y 軸于點(diǎn) P，切圓于點(diǎn) M,2 OM ＝ OF ＋ OP ，則雙曲線的離心率是 ( ) A. 2 B. 3 C． 2 D. 5 解析：選 A 由已知條件知，點(diǎn) M 為直角三角形 OFP 斜邊 PF 的中點(diǎn)，故 OF＝ 2OM，即 c＝ 2a，所以雙曲線的離心率為 2. 5． (2022天津高考 )已知雙曲線 C1： x2a2－ y2b2＝ 1(a0， b0)與雙曲線 C2： x24 － y216＝ 1 有相同的漸近線，且 C1 的右焦點(diǎn)為 F( 5， 0)，則 a＝ ________b＝ ________. 解析：雙曲線 x24 － y216＝ 1 的漸近線為 y＝ 177。2x，則 ba＝ 2，即 b＝ 2a，又因?yàn)?c＝ 5， a2＋ b2＝ c2，所以 a＝ 1， b＝ 2. 答案： 1 2 6.(2022陜西高考 )如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離水面 2 m，水面寬 4 m．水位下降 1 m 后，水面寬 ________m. 解析： 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為 x2＝－ 2py(p0)，則 A(2，－ 2)，將其坐標(biāo)代入 x2＝－ 2py，得 p＝ 1. 故 x2＝－ 2y. 當(dāng)水面下降 1 m，得 D(x0，－ 3)(x00)， 將其坐標(biāo)代入 x2＝－ 2y，得 x20＝ 6， 則 x0＝ |CD|＝ 2 6 m. 答案： 2 6 [考情分析 ] 關(guān)于此類問(wèn)題，高考主要考查直線與橢圓、拋物線相交，涉及求弦長(zhǎng)、范圍 (最值 )、定點(diǎn)、定值的問(wèn)題，試題多以解答題的形式出現(xiàn)，一般難度較大． [例 3] (2022北京東城區(qū)綜合練習(xí) )已知橢圓 x2a2＋ y2b2＝ 1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為 M(0,1)，離心率 e＝ 63 . (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)直線 l 與橢圓交于 A， B 兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) O 到直線 l 的距離為 32 ，求 △ AOB 面積的最大值． [思路點(diǎn)撥 ] (1)利用頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率可求出 b，進(jìn)而求 a，從而求得方程； (2)設(shè)出直線方程，表示出 △ AOB 的面積，借助不等式求解，注意直線 l 斜率存在性的討論． [解 ] (1)依題意得 b＝ 1， e＝ ca＝ a2－ b2a ＝ 63 ，即 a2－ 1a ＝ 63 ，解得 a＝ 3，所以橢圓的方程為 x23 ＋ y2＝ 1. (2)① 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)， l 的方程為 x＝ 177。 32 ，將 x＝ 177。 32 代入橢圓方程 x23 ＋ y2＝ 1，得 y＝ 177。 32 ，故此時(shí) |AB|＝ 3. ② 當(dāng)直線 l 的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線 l 的方程為 y＝ kx＋ m， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由已知可得 |m|1＋ k2＝ 32 ，整理得： m2＝ 34(k2＋ 1)， 把 y＝ kx＋ m 代入橢圓方程，整理得 (3k2＋ 1)x2＋ 6kmx＋ 3m2－ 3＝ 0， 于是 x1＋ x2＝ － 6km3k2＋ 1， x1x2＝ 3 m2－ 13k2＋ 1 ， 故 |AB|2＝ (1＋ k2)(x2－ x1)2＝ (1＋ k2)??? 36k2m23k2＋ 1 2－ ???12 m2－ 13k2＋ 1 ＝ 12 1＋ k2 3k2＋ 1－ m23k2＋ 1 2 ＝ 3 k2＋ 1 9k2＋ 13k2＋ 1 2 ＝ 3＋12k29k4＋ 6k2＋ 1＝ 3＋129k2＋ 1k2＋ 6≤3＋ 1223＋ 6＝ 4. 當(dāng)且僅當(dāng) 9k2＝ 1k2，即 k＝ 177。 33 時(shí)，等號(hào)成立 ， 故 |AB|max＝ 2. ③ 當(dāng)直線 l 的斜率為零時(shí)， l 的方程為 y＝ 177。 32 ， 將 y＝ 177。 32 代入橢圓方程得 x＝ 177。 32 ， 故此時(shí) |AB|＝ 3. 綜上： |AB|max＝ 2， 所以 △ AOB 面積的最大值 S＝ 12|AB|max 32 ＝ 32 . [類題通法 ] 在涉及直線與二次曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，一般不是求出這兩個(gè) 點(diǎn)的坐標(biāo)，而是設(shè)出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線方程和曲線方程聯(lián)立后所得方程的根情況，使用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代入，這種設(shè)而不求的思想是解析幾何中處理直線和二次曲線相交問(wèn)題的最基本方法． [沖關(guān)集訓(xùn) ] 7． (2022重慶高考 )設(shè) P 為直線 y＝ b3ax 與雙曲線 x2a2－ y2b2＝ 1(a0， b0)左支的交點(diǎn)， F1 是左焦點(diǎn)， PF1 垂直于 x 軸，則雙曲線的離心率 e＝ ________. 解析：由 PF1⊥ x 軸且 P 點(diǎn)在雙曲線的左 支上，可得 P??? ???－ c，－ b2a .又因?yàn)辄c(diǎn) P 在直線 y＝ b3ax 上，所以－ b2a ＝ b3a(－ c)，整理得 c＝ 3b，根據(jù) c2＝ a2＋ b2 得 a＝ 2 2b，所以雙曲線的離心率 e＝ ca＝ 3b2 2b＝ 3 24 . 答案： 3 24 8． (2022安徽名校模擬 )已知橢圓 C1： x24 ＋ y2b2＝ 1(0b2)的離心率為 32 ，拋物線 C2： x2＝ 2py(p0)的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)． (1)求拋物線 C2 的方程； (2)過(guò)點(diǎn) M(－ 1,0)的直線 l 與拋物線 C2 交于 E， F 兩點(diǎn)，過(guò) E， F 作拋物線 C2 的切線 l1， l2，當(dāng) l1⊥ l2 時(shí)，求直線 l 的方程． 解： (1)∵ 橢圓 C1 的長(zhǎng)半軸長(zhǎng) a＝ 2，半焦距 c＝ 4－ e＝ ca＝ 4－ b22 ＝ 32 得 b2＝ 1， ∴ 橢圓 C1 的上頂點(diǎn)為 (0,1)， ∴ 拋物線 C2 的焦點(diǎn)為 (0,1)， ∴ 拋物線 C2 的方程為 x2＝ 4y. (2)由已知可得直線 l 的斜率必存在，設(shè)直線 l 的方程為 y＝ k(x＋ 1)， E(x1， y1)， F(x2，y2)． 由 x2＝ 4y 得 y＝ 14x2， ∴ y′＝ 12x. ∴ 切線 l1， l2 的斜率分別為 12x1， 12x2. 當(dāng) l1⊥ l2 時(shí)， 12x112x2＝－ 1，即 x1x2＝－ 4. 由????? y＝ k x＋ 1 ，x2＝ 4y 得 x2－ 4kx－ 4k＝ 0， ∴ Δ＝ (4k)2－ 4(－ 4k)0，解得 k－ 1 或 k0， ① 且 x1x2＝－ 4k＝－ 4，即 k＝ 1，滿足 ① 式， ∴ 直線 l 的方程為 x－ y＋ 1＝ 0. 細(xì)解離心率問(wèn)題 離心率是圓錐曲線重要的幾何性質(zhì)，在圓錐曲線的基礎(chǔ)類試題中占有較大的比重，是高考考查圓錐曲線幾何性質(zhì)中的重要題目類型． 關(guān)于橢圓、雙曲線的離心率問(wèn)題，主要有兩類試題．一類是求解離心率的值，一類是求解離心率的取值范圍．基本的解題思路 是建立橢圓和雙曲線中關(guān)于 a， b， c 的關(guān)系式，求值問(wèn)題就是建立關(guān)于 a， b， c 的等式，求取值范圍問(wèn)題就是建立關(guān)于 a， b， c 的不等式． [典例 ] 已知點(diǎn) F 是雙曲線 x2a2－ y2b2＝ 1(a0， b0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn) E 是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F 且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于 A， B 兩點(diǎn)， △ ABE 是銳角三角形，則該雙曲線的離心率 e 的取值范圍是 ( ) A． (1，＋ ∞) B． (1,2) C． (1,1＋ 2) D． (2,1＋ 2) [思路點(diǎn)撥 ] [解析 ] 由 AB⊥ x 軸，可知 △ ABE 為等腰三角形，又 △ ABE 是銳角三角形，所以 ∠ AEB 為銳角，即 ∠ AEF45176。，于是 |AF||EF|， b2aa＋ c，于是 c2－ a2a2＋ ac，即 e2－ e－ 20，解得－ 1e e1，從而 1e2. [答案 ] B [名師支招 ] 離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，求解橢圓或者雙曲線的離心率的關(guān)鍵是建立一個(gè)關(guān)于a， b， c 的方程 (不等式 )，通過(guò)這個(gè)方程 (不等式 )和 b 與 a， c 的關(guān)系消掉 b 后，建立 a， c之間的方程 (不等式 )，只要能通過(guò)這個(gè)方程求出 ca即可，不一定具體求出 a， c 的數(shù)值． [高考預(yù)測(cè) ] 1．若雙曲線 x2a2－ y2b2＝ 1(a0， b0)的離心率為 3，則橢圓 x2a2＋ y2b2＝ 1 的離心率為 ( ) B. 22 C. 33 D. 32 解析：選 B 由題意 a2＋ b2a2 ＝ ( 3)2， 化簡(jiǎn)，得 a2＋ b2＝ 3a2，即 b2＝ 2a2，故 ba0. 所以 e＝ b2－ a2b ＝ 1－ a2b2＝ 1－ 12＝ 22 . 2．設(shè) F1， F2 分別是橢圓 x2a2＋ y2b2＝ 1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線 x＝ a2c 上存在 P，使線段 PF1 的中垂線過(guò)點(diǎn) F2，則橢圓離心率的取值范圍是 ( ) A.??? ???0， 22 B.??? ???0， 33 C.??? ???22 ， 1