20xx屆安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)高三下學期第23屆聯(lián)考數(shù)學(理)試題(解析版)(編輯修改稿)
2025-04-03 03:15 本頁面
【文章內容簡介】 橡膠七面體模具能作為圖（2）中哪種異形瓶的瓶塞？答：___________.(寫出所有滿足條件的編號).【答案】①②⑤【分析】分別畫出用一個平面去截模具得到的截面情況，逐一比照即可得解【詳解】解：如圖所示截面中，所對應的圖形為①；過正方體側棱的中點，作平行于底面的截面，如下圖所示：則，所對應的圖形為②；連接正方體三條面對角線的中點與底面的一個頂點，得到如下所示截面：則，所對應的圖形為⑤；對于圖形③，是邊長為的正方形，正方體的面對角線為，顯然在圖中找不到邊長為的正方形，故③錯誤；對于圖形④，兩腰長為為正方體的面對角線，則過正方體的兩條面對角線的截面與幾何體的零一條交線也為面對角線，即長度也為，故④也不符合題意；故答案為：①②⑤三、解答題17．設等比數(shù)列的前項和為，已知，且，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用基本量代換求出首項和公比，寫出通項公式；（2）利用把化為，利用裂項相消法求和.【詳解】解析（1）設等比數(shù)列的公比是，由得，解得.∵，成等差數(shù)列，∴，解得.∴.（2）∵數(shù)列是以1為首項，以3為公比的等比數(shù)列，∴.∵，∴.【點睛】(1) 等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換和靈活運用性質；(2)數(shù)列求和的方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法．18．如圖所示，在四棱錐中，底面，，與交于點，點在線段上，且.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）要證明線面平行，需先證明線線平行，根據(jù)比例關系證明；（2）根據(jù)垂直關系，以直線為軸，直線為軸，過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系如圖所示，分別求平面和平面的法向量，再根據(jù)公式求二面角的余弦值.【詳解】解析（1）由已知可得，∴且為的中點，由，得，∴，∴，又平面，平面，∴平面.（2）以直線為軸，直線為軸，過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，.∴，.設平面的法向量，則，令，得.設平面的法向量，則，令，得.∴，∵二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.【點睛】方法點睛：求二面角的方法通常有兩個思路：一是利用空間向量，建立坐標系，求得對應平面的法向量之間夾角的余弦值，再判斷銳二面角或鈍二面角，確定結果，這種方法優(yōu)點是思路清晰、方法明確，但是計算量較大；二是傳統(tǒng)方法，利用垂直關系和二面角的定義，找到二面角對應的平面角，再求出二面角平面角的大小，這種解法的關鍵是找到平面角.19．已知橢圓：，為橢圓的右頂點，為坐標原點，過點的直線，與橢圓的另外一個交點分別為，線段的中點為，線段的中點為.（1）若直線的斜率為，求直線的方程；（2）若，證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設直線：，聯(lián)立方程組，求得，得出的坐標，結合斜率公式，列出方程，即可求解；（2）①當直線的斜率不存在時，設，由，結合橢圓的方程，的方程；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的
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