20xx屆安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)高三下學(xué)期第23屆聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)(編輯修改稿)
2025-04-03 03:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 橡膠七面體模具能作為圖（2）中哪種異形瓶的瓶塞？答：___________.(寫出所有滿足條件的編號(hào)).【答案】①②⑤【分析】分別畫出用一個(gè)平面去截模具得到的截面情況，逐一比照即可得解【詳解】解：如圖所示截面中，所對(duì)應(yīng)的圖形為①；過正方體側(cè)棱的中點(diǎn)，作平行于底面的截面，如下圖所示：則，所對(duì)應(yīng)的圖形為②；連接正方體三條面對(duì)角線的中點(diǎn)與底面的一個(gè)頂點(diǎn)，得到如下所示截面：則，所對(duì)應(yīng)的圖形為⑤；對(duì)于圖形③，是邊長為的正方形，正方體的面對(duì)角線為，顯然在圖中找不到邊長為的正方形，故③錯(cuò)誤；對(duì)于圖形④，兩腰長為為正方體的面對(duì)角線，則過正方體的兩條面對(duì)角線的截面與幾何體的零一條交線也為面對(duì)角線，即長度也為，故④也不符合題意；故答案為：①②⑤三、解答題17．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用基本量代換求出首項(xiàng)和公比，寫出通項(xiàng)公式；（2）利用把化為，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解析（1）設(shè)等比數(shù)列的公比是，由得，解得.∵，成等差數(shù)列，∴，解得.∴.（2）∵數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，∴.∵，∴.【點(diǎn)睛】(1) 等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換和靈活運(yùn)用性質(zhì)；(2)數(shù)列求和的方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法．18．如圖所示，在四棱錐中，底面，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）要證明線面平行，需先證明線線平行，根據(jù)比例關(guān)系證明；（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以直線為軸，直線為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，分別求平面和平面的法向量，再根據(jù)公式求二面角的余弦值.【詳解】解析（1）由已知可得，∴且為的中點(diǎn)，由，得，∴，∴，又平面，平面，∴平面.（2）以直線為軸，直線為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，.∴，.設(shè)平面的法向量，則，令，得.設(shè)平面的法向量，則，令，得.∴，∵二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二面角的方法通常有兩個(gè)思路：一是利用空間向量，建立坐標(biāo)系，求得對(duì)應(yīng)平面的法向量之間夾角的余弦值，再判斷銳二面角或鈍二面角，確定結(jié)果，這種方法優(yōu)點(diǎn)是思路清晰、方法明確，但是計(jì)算量較大；二是傳統(tǒng)方法，利用垂直關(guān)系和二面角的定義，找到二面角對(duì)應(yīng)的平面角，再求出二面角平面角的大小，這種解法的關(guān)鍵是找到平面角.19．已知橢圓：，為橢圓的右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線，與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為.（1）若直線的斜率為，求直線的方程；（2）若，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，求得，得出的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式，列出方程，即可求解；（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，由，結(jié)合橢圓的方程，的方程；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的
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