20xx屆二輪復(fù)習(xí)--方法技巧導(dǎo)數(shù)破解疑難優(yōu)質(zhì)課不等式恒成立與有解問題-學(xué)案(編輯修改稿)
2025-04-03 02:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)或“右減左”的函數(shù)u(x)＝g(x)－f(x)，進而只需滿足h(x)min≥0或u(x)max≤0，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值的問題，適用范圍較廣，但是往往需要對參數(shù)進行分類討論. (2020合肥六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a為常數(shù)．(1)當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若對任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)因為a＝2，所以f(x)＝(x＋1)ex，所以f(0)＝1，f′(x)＝(x＋2)ex，所以f′(0)＝2，所以所求切線方程為2x－y＋1＝0.(2)令h(x)＝f(x)－g(x)，由題意得h(x)min≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，因為h(x)＝(x＋a－1)ex－x2－ax，所以h′(x)＝(x＋a)(ex－1)．①若a≥0，則當(dāng)x∈[0，＋∞)時，h′(x)≥0，所以函數(shù)h(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(0)＝a－1，則a－1≥0，得a≥1.②若a0，則當(dāng)x∈[0，－a)時，h′(x)≤0；當(dāng)x∈(－a，＋∞)時，h′(x)0，所以函數(shù)h(x)在[0，－a)上單調(diào)遞減，在(－a，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(－a)，又因為h(－a)h(0)＝a－10，所以不合題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)．【例3】 (2020河南鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝(ex－2a)ex，g(x)＝4a2x.(1)設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)，試討論h(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象的上方，求a的取值范圍．【解】 (1)h(x)＝ex(ex－2a)－4ax，所以h′(x)＝2e2x－2aex－4a2＝2(ex＋a)(ex－2a)，①當(dāng)a＝0時，h′(x)0恒成立，故函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)a0時，ex＋a0，令h′(x)＝0，解得x＝ln2a，當(dāng)xln2a時，h′(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xln2a時，h′(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；③當(dāng)a0時，ex－2a0，令h′(x)＝0，解得x＝ln(－a)，當(dāng)xln(－a)時，h′(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)
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