高中含參不等式的恒成立問題整理版(編輯修改稿)
2025-04-22 05:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 三、變更主元法在解含參不等式時(shí)，有時(shí)若能換一個(gè)角度，變參數(shù)為主元，可以得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決。一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù). 用一次函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)于一次函數(shù)有：例題1：已知不等式對(duì)任意的都成立，求的取值范圍.解：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，原不等式可化為令是關(guān)于m的一次函數(shù)。由題意知解得∴x的取值范圍是關(guān)鍵點(diǎn)撥：利用函數(shù)思想，變換主元，通過直線方程的性質(zhì)求解。評(píng)注：此類問題常因思維定勢，學(xué)生易把它看成關(guān)于的不等式討論，從而因計(jì)算繁瑣出錯(cuò)或者中途夭折；若轉(zhuǎn)換一下思路，把待求的x為參數(shù)，以為變量，令則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）的值在內(nèi)恒為負(fù)的問題，再來求解參數(shù)應(yīng)滿足的條件這樣問題就輕而易舉的得到解決了例2．對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。當(dāng)時(shí)，可得，不合題意。當(dāng)時(shí)，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。例3 已知對(duì)于任意的a∈[1,1]，函數(shù)f(x)=ax2+(2a4)x+3a0 恒成立，求x的取值范圍.解析 本題按常規(guī)思路是分a=0時(shí)f(x)是一次函數(shù)，a≠0時(shí)是二次函數(shù)兩種情況討論，不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a(bǔ)看成常參數(shù)，我們可以通過變量轉(zhuǎn)換，把a(bǔ)看成變量，x看成常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)化一次函數(shù)問題，問題就變得容易求解。令g(a)=(x2+2x1)a4x+3在a∈[1,1]時(shí)，g(a)0恒成立，則，得.點(diǎn)評(píng) 對(duì)于含有兩個(gè)參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。例4 對(duì)于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)變量：x、P,并且是給出了p的范圍要求x的相應(yīng)范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思維把 p看作自變量，x看成參變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在[2，2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)
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