20xx屆二輪復(fù)習(xí)---解答題規(guī)范踩點(diǎn)多得分-導(dǎo)數(shù)-----學(xué)案(全國(guó)通用)(編輯修改稿)
2025-04-03 02:19 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 上單調(diào)遞減，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又f′(1)＝－10，f′(2)＝ln 2－＝0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又當(dāng)xx0時(shí)，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xx0時(shí)，f′(x)0，f(x)單調(diào)遞增，因此，f(x)存在唯一的極值點(diǎn)．(2)由(1)，知f(x0)f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－30，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)內(nèi)存在唯一根x＝α.由αx01，得1x0.又f＝ln －－1＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)內(nèi)的唯一根．綜上，f(x)＝0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．熱點(diǎn)3 利用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問(wèn)題1．若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在最大值f(x)max和最小值f(x)min，則：(1)不等式f(x)a(≥a)在區(qū)間D上恒成立?f(x)mina(≥a)；(2)不等式f(x)b(≤b)在區(qū)間D上恒成立?f(x)maxb(≤b)．2．若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上不存在最大(小)值，且值域?yàn)?m，n)，則：(1)不等式f(x)a(≥a)在區(qū)間D上恒成立?m≥a；(2)不等式f(x)b(≤b)在區(qū)間D上恒成立?n≤b.(2017安徽銅陵一中期末)已知函數(shù)f(x)＝x－1－aln x.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，…＜m，求m的最小值．解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，①若a≤0，因?yàn)閒＝－＋aln 2＜0，所以不滿(mǎn)足題意．②若a＞0，由f′(x)＝1－＝，知當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．故x＝a是f(x)在(0，＋∞)上的唯一最小值點(diǎn)．因?yàn)閒(1)＝0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)≥0，故a＝1.(2)由(1)，知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，x－1－ln x＞0.令x＝1＋，得ln ＜，從而ln ＋ln ＋…＋ln ＜＋＋…＋＝1－＜1.故…＜e.而＞2，所以m的最小值為3.構(gòu)造輔助函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式．構(gòu)造輔助函數(shù)的一般方法及解題步驟如下：(1)移項(xiàng)(有時(shí)需要作簡(jiǎn)單的恒等變形)，使不等式的一端為0，另一端即為所作的輔助函數(shù)f(x)；(2)求f′(x)，并驗(yàn)證f(x)在指定區(qū)間上的增減性；(3)求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值(或最值)，作比較即得所證．(2020天津北京朝陽(yáng)期末)設(shè)函數(shù)f(x)＝excosx，g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x∈時(shí)，證明f(x)＋g(x)≥0；(3)設(shè)xn為函數(shù)u(x)＝f(x)－1在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中n∈N，證明2nπ＋－xn.解 (1)由已知，有f′(x)＝ex(cosx－sinx)．因此，當(dāng)x∈(k∈Z)時(shí)，有sinxcosx，得f′(x)0，則f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(k∈Z)時(shí)，有sinxcosx，得f′(x)0，則f(x)單調(diào)遞增．所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z
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