【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 K=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如圖3中，點(diǎn)P在線段AO上，延長(zhǎng)EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30176。，∠EKF=60176。，∴EK=2FK=4，OF=EK=2，∵△OPF是等腰三角形，觀察圖形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2﹣，∴OP=.如圖4中，點(diǎn)P在線段OC上，當(dāng)PO=PF時(shí)，∠POF=∠PFO=30176。，∴∠BOP=90176。，∴OP=OE=，綜上所述：OP的長(zhǎng)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.6．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD⊥DB，垂足為點(diǎn)D，將平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，點(diǎn)C落在點(diǎn)G的位置，折痕為EF，EF交對(duì)角線BD于點(diǎn)P．（1）連結(jié)CG，請(qǐng)判斷四邊形DBCG的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度數(shù)．【答案】（1）四邊形BCGD是矩形，理由詳見(jiàn)解析；（2）∠EDF＝120176。．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及矩形的判定解答即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）四邊形BCGD是矩形，理由如下，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折疊可知，BC＝DG，∴四邊形BCGD是平行四邊形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90176。，∴四邊形BCGD是矩形；（2）由折疊可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜邊上的中線，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等邊三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60176。，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60176。，∴∠EDF＝120176。．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度7．已知AD是△ABC的中線P是線段AD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），連接PB、PC，E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn)，AD與EF交于點(diǎn)M；（1）如圖1，當(dāng)AB＝AC時(shí)，求證：四邊形EGHF是矩形；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，在不添加任何輔助線的條件下，寫(xiě)出所有與△BPE面積相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】（1）由三角形中位線定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=BC，GH∥BC，GH=BC，推出EF∥GH，EF=GH，證得四邊形EGHF是平行四邊形，證得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出結(jié)論；（2）由△APE與△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE與△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF與△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，證得△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，推出S△PGH=S△AEF=S△APF，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn)，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝BC，GH∥BC，GH＝BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四邊形EGHF是平行四邊形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四邊形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中線，∴△APE與△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中線，∴△APE與△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S△APF＝S△BPE，∵PF是△APC的中線，∴△APF與△CPF的底AF＝CF，又等高，∴S△APF＝S△CPF，∴S△CPF＝S△BPE，∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn)，∴△AEF底邊EF上的高等于△ABC底邊BC上高的一半，△PGH底邊GH上的高等于△PBC底邊BC上高的一半，∴△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，∵GH＝EF，∴S△PGH＝S△AEF＝S△APF，綜上所述，與△BPE面積相等的三角形為：△APE、△APF、△CPF、△PGH．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．如圖所示，矩形ABCD中，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，使CE＝AC，連接AE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接BF、DF，求證：BF⊥DF．【答案】見(jiàn)解析.【解析】【分析】延長(zhǎng)BF，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接BD，進(jìn)而求證△AFM≌△EFB，得AM=BE，F(xiàn)B=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，進(jìn)而求得BD=BM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求證BF⊥DF．【詳解】延長(zhǎng)BF，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接BD．∵四邊形ABCD是矩形，∴MD∥BC，∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，∴△AFM≌△EFB，∴AM=BE，F(xiàn)B=FM．∵矩形ABCD中，∴AC=BD，AD=BC，∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD．∵CE=AC，∴AC=CE= BD =DM．∵FB=FM，∴BF⊥DF．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，本題中求證DB=DM是解題的關(guān)鍵．9．如圖，現(xiàn)將平行四邊形ABCD沿其對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．AB′與CD交于點(diǎn)E．（1）求證：△AED≌△CEB′；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交AB于點(diǎn)F，連接CF，判斷四邊形AECF的形狀并給予證明．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意可得AD=BC=B39。C，∠B=∠D=∠B39。，且∠AED=∠CEB39。，利用AAS證明全等，則結(jié)論可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，則可證四邊形AECF是菱形．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四邊形ABCD沿其對(duì)角線AC折疊∴BC＝B39。C，∠B＝∠B39?！唷螪＝∠B39。，AD＝B39。C且∠DEA＝∠B39。EC∴△ADE≌△B39。EC（2）四邊形AECF是菱形∵△ADE≌△B39。EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四邊形AECF是菱形【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．問(wèn)題情境在四邊形ABCD中，BA＝BC，DC⊥AC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，M是邊AD的中點(diǎn)，連接MB，ME.