【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 點(diǎn)，∴AD=BC=，∵四邊形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=，∵BE=AB=2，∴BE=AF，故答案為BE=AF；（2）無變化；如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45176。，∴sin∠ABC=，在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45176。，在Rt△CEF中，sin∠FEC=，∴，∵∠FCE=∠ACB=45176。，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，∴線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系無變化；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AF上時(shí)，如圖2，由（1）知，CF=EF=CD=，在Rt△BCF中，CF=，BC=2，根據(jù)勾股定理得，BF=，∴BE=BF﹣EF=﹣，由（2）知，BE=AF，∴AF=﹣1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BF的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45176。，∴sin∠ABC=，在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45176。，在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，∴ ，∵∠FCE=∠ACB=45176。，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，由（1）知，CF=EF=CD=，在Rt△BCF中，CF=，BC=2，根據(jù)勾股定理得，BF=，∴BE=BF+EF=+，由（2）知，BE=AF，∴AF=+1．即：當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)候，線段AF的長(zhǎng)為﹣1或+1．8．如圖所示，矩形ABCD中，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，使CE＝AC，連接AE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接BF、DF，求證：BF⊥DF．【答案】見解析.【解析】【分析】延長(zhǎng)BF，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接BD，進(jìn)而求證△AFM≌△EFB，得AM=BE，F(xiàn)B=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，進(jìn)而求得BD=BM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求證BF⊥DF．【詳解】延長(zhǎng)BF，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接BD．∵四邊形ABCD是矩形，∴MD∥BC，∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，∴△AFM≌△EFB，∴AM=BE，F(xiàn)B=FM．∵矩形ABCD中，∴AC=BD，AD=BC，∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD．∵CE=AC，∴AC=CE= BD =DM．∵FB=FM，∴BF⊥DF．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，本題中求證DB=DM是解題的關(guān)鍵．9．在中，于點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．如圖，求證：四邊形是矩形；如圖，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接、在不添加任何輔助線和字母的條件下，請(qǐng)直接寫出圖中所有的平行四邊形（不包括矩形）．【答案】(1) 證明見解析；（2）四邊形、四邊形、四邊形、四邊形、四邊形都是平行四邊形．【解析】【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF=DE，又AE=EC，推出四邊形ADCF是平行四邊形，只要證明∠ADC=90176。，即可推出四邊形ADCF是矩形．（2）四邊形ABDF、四邊形AGEF、四邊形GBDE、四邊形AGDE、四邊形GDCE都是平行四邊形．【詳解】證明：∵，∴，∵是中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形．∵線段、線段、線段都是的中位線，又，∴，，∴四邊形、四邊形、四邊形、四邊形、四邊形都是平行四邊形．【點(diǎn)睛】考查平行四邊形的判定、矩形的判定、三角形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確尋找全等三角形解決問題是解題的關(guān)鍵.10．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，在Rt△PFE中，∠EPF=90176。，點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上．（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合：①求證：AF=DE；②若正方形的邊長(zhǎng)為2，當(dāng)∠DOE=15176。時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；（2）如圖2，若Rt△PFE的頂點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)（不與點(diǎn)O、B重合），當(dāng)BD=3BP時(shí)，證明：PE=2PF．【答案】（1）①證明見解析，②；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得：△AOF≌△DOE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；②作OG⊥AB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求值即可；（2）首先過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45176。，∠AOD=90176。，∴∠AOE+∠DOE=90176。，∵∠EPF=90176。，∴∠AOF+∠AOE=90176。，∴∠DOE=∠AOF，在△AOF和△DOE中，∴△AOF≌△DOE，∴AF=DE；②解：過點(diǎn)O作OG⊥AB于G，∵正方形的邊長(zhǎng)為2，∴OG=BC=，∵∠DOE=15176。，△AOF≌△DOE，∴∠AOF=15176。，∴∠FOG=45176。15176。=30176。，∴OF==2，∴EF=；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90176。，∴HP=BP，∵BD=3BP，∴PD=2BP，∴PD=2HP，又∵∠HPF+∠HPE=90176。，∠DPE+∠HPE=90176。，∴∠HPF=∠DPE，又∵∠BHP=∠EDP=45176。，∴△PHF∽△PDE，∴，∴PE=2PF．【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．11．問題探究（1）如圖①，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4．點(diǎn)M和N分別是邊BC、CD上兩點(diǎn)，且BM＝CN，連接AM和BN，交于點(diǎn)P．猜想AM與BN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖②，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4．點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動(dòng)．連接AM和BN，交于點(diǎn)P，求△APB周長(zhǎng)的最大值；問題解決（3）如圖③，AC為邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD的對(duì)角線，∠ABC＝60176。．點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)．連接AM和BN，交于點(diǎn)P．求△APB周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）AM⊥BN，證明見解析；（2）△APB周長(zhǎng)的最大值4+4；（3）△PAB的周長(zhǎng)最大值=2+4．【解析】試題分析：根據(jù)全等三角形的判定SAS證明△ABM≌△BCN，即可證得AM⊥BN；（2）如圖②，以AB為斜邊向外作等腰直角△AEB，∠AEB=90176。，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，連接EP，證明P