【文章內容簡介】 21) 【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了待定系數法，一次函數的應用，二次函數的性質等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，學會構建一次函數解決實際問題，屬于中考壓軸題．.7．已知點A（﹣1，2）、B（3，6）在拋物線y=ax2+bx上(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點F的坐標為（0，m）（m＞2），直線AF交拋物線于另一點G，過點G作x軸的垂線，垂足為H．設拋物線與x軸的正半軸交于點E，連接FH、AE，求證：FH∥AE；(3)如圖2，直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點．點P從點C出發(fā)，沿射線CD方向勻速運動，速度為每秒個單位長度；同時點Q從原點O出發(fā)，沿x軸正方向勻速運動，速度為每秒1個單位長度．點M是直線PQ與拋物線的一個交點，當運動到t秒時，QM=2PM，直接寫出t的值．【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣x；(2)證明見解析；(3)當運動時間為或秒時，QM=2PM．【解析】【分析】（1）（1）A，B的坐標代入拋物線y=ax2+bx中確定解析式；（2）把A點坐標代入所設的AF的解析式，與拋物線的解析式構成方程組，解得G點坐標，再通過證明三角形相似，得到同位角相等，兩直線平行；（3）具體見詳解.【詳解】．解：（1）將點A（﹣1，2）、B（3，6）代入中， ，解得： ，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x． （2）證明：設直線AF的解析式為y=kx+m，將點A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，∴k=m﹣2，∴直線AF的解析式為y=（m﹣2）x+m．聯立直線AF和拋物線解析式成方程組， ，解得： 或 ，∴點G的坐標為（m，m2﹣m）．∵GH⊥x軸，∴點H的坐標為（m，0）．∵拋物線的解析式為y=x2﹣x=x（x﹣1），∴點E的坐標為（1，0）．過點A作AA′⊥x軸，垂足為點A′，如圖1所示．∵點A（﹣1，2），∴A′（﹣1，0），∴AE=2，AA′=2．∴ =1， = =1，∴= ，∵∠AA′E=∠FOH，∴△AA′E∽△FOH，∴∠AEA′=∠FHO，∴FH∥AE． （3）設直線AB的解析式為y=k0x+b0，將A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得 ，解得： ，∴直線AB的解析式為y=x+3，當運動時間為t秒時，點P的坐標為（t﹣3，t），點Q的坐標為（t，0）．當點M在線段PQ上時，過點P作PP′⊥x軸于點P′，過點M作MM′⊥x軸于點M′，則△PQP′∽△MQM′，如圖2所示，∵QM=2PM，∴ =，∴QM′=QP39。=2，MM′=PP39。=t，∴點M的坐標為（t﹣2， t）．又∵點M在拋物線y=x2﹣x上，∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），解得：t=；當點M在線段QP的延長線上時，同理可得出點M的坐標為（t﹣6，2t），∵點M在拋物線y=x2﹣x上，∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），解得：t=．綜上所述：當運動時間秒 或 時，QM=2PM． 【點睛】本題考查二次函數綜合運用，綜合能力是解題關鍵.8．已知拋物線上有兩點M(m+1，a)、N(m，b).(1)當a＝－1，m＝1時，求拋物線的解析式；(2)用含a、m的代數式表示b和c；(3)當a＜0時，拋物線滿足，，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）b=am，c=am；（3）【解析】【分析】（1）根據題意得到M(2，－1)、N(1，b)，代入拋物線解析式即可求出b、c；（2）將點M(m+1，a)、N(m，b)代入拋物線，可得，化簡即可得出；（3）把，代入可得，把，代入可得，然后根據m的取值范圍可得a的取值范圍.【詳解】解：(1)∵a＝－1，m＝1，∴M(2，－1)、N(1，b)由題意，得，解，得 (2) ∵點M(m+1，a)、N(m，b)在拋物線上①－②得，∴ 把代入②，得 (3)把，代入得，把，代入得， ，當時，隨m的增大而增大 即【點睛】本題考查待定系數法求函數解析式以及二次函數的圖像和性質，由函數圖像上點的坐標特征求出，是解題關鍵.9．如圖甲，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．（1）求該拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C，P，M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）當0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E點坐標為（，）時，△CBE的面積最大．【解析】試題分析：（1）由直線解析式可求得B、C坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得P點坐標及對稱軸，可設出M點坐標，表示出MC、MP和PC的長，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，可分別得到關于M點坐標的方程，可求得M點的坐標；（3）過E作EF⊥x軸，交直線BC于點F，交x軸于點D，可設出E點坐標，表示出F點的坐標，表示出EF的長，進一步可表示出△CBE的面積，利用二次函數的性質可求得其取得最大值時E點的坐標．試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐標代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線對稱軸為x=2，P（2，﹣1），設M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM為等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，①當MC=MP時，則有=|t+1|，解得t=，此時M（2，）；②當MC=PC時，則有=2，解得t=﹣1（與P點重合，舍去）或t=7，此時M（2，7）；③當MP=PC時，則有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此時M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；綜上可知存在滿足條件的點M，其坐標為（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如圖，過E作EF⊥x軸，交BC于點F，交x軸于點D，設E（x，x2﹣4x+3），則F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）