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正文內(nèi)容

九年級(jí)數(shù)學(xué)二次函數(shù)的專項(xiàng)培優(yōu)-易錯(cuò)-難題練習(xí)題(含答案)(編輯修改稿)

2025-03-31 22:01 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 形FOCE.直角梯形FOCE中,F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值,EF為E的縱坐標(biāo),已知C的縱坐標(biāo),就知道了OC的長(zhǎng).在△BFE中,BF=BO﹣OF,因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長(zhǎng).如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo),然后代入上面的線段中,即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對(duì)應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值.即可求出此時(shí)E的坐標(biāo).【詳解】(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(﹣3,0),∴,解得:.∴所求拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;(2)如答圖1,∵拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3,∴其對(duì)稱軸為x==﹣1,∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,a),當(dāng)x=0時(shí),y=3,∴C(0,3),M(﹣1,0)∴當(dāng)CP=PM時(shí),(﹣1)2+(3﹣a)2=a2,解得a=,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:P1(﹣1,);∴當(dāng)CM=PM時(shí),(﹣1)2+32=a2,解得a=177。,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:P2(﹣1,)或P3(﹣1,﹣);∴當(dāng)CM=CP時(shí),由勾股定理得:(﹣1)2+32=(﹣1)2+(3﹣a)2,解得a=6,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:P4(﹣1,6).綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為P(﹣1,)或P(﹣1,﹣)或P(﹣1,6)或P(﹣1,);(3)存在,Q(﹣1,2),理由如下:如答圖2,點(diǎn)C(0,3)關(guān)于對(duì)稱軸x=﹣1的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)是(﹣2,3),連接AC′,直線AC′與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q.設(shè)直線AC′函數(shù)關(guān)系式為:y=kx+t(k≠0).將點(diǎn)A(1,0),C′(﹣2,3)代入,得,解得,所以,直線AC′函數(shù)關(guān)系式為:y=﹣x+1.將x=﹣1代入,得y=2,即:Q(﹣1,2);(4)過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,設(shè)E(a,﹣a2﹣2a+3)(﹣3<a<0)∴EF=﹣a2﹣2a+3,BF=a+3,OF=﹣a∴S四邊形BOCE=BF?EF+(OC+EF)?OF=(a+3)?(﹣a2﹣2a+3)+(﹣a2﹣2a+6)?(﹣a)=﹣a2﹣a+=﹣(a+)2+,∴當(dāng)a=﹣時(shí),S四邊形BOCE最大,且最大值為.此時(shí),點(diǎn)E坐標(biāo)為(﹣ ,).【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí),要注意的是(2)中,不確定等腰三角形哪條邊是底邊的情況下,要分類進(jìn)行求解,不要漏解.7.已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△PAB的面積有最大值?(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線,交線段AB于點(diǎn)D,再過點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E,連結(jié)DE,請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6;(2)當(dāng)t=3時(shí),△PAB的面積有最大值;(3)點(diǎn)P(4,6).【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得;(2)作PM⊥OB與點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N,作AG⊥PM,先求出直線AB解析式為y=﹣x+6,設(shè)P(t,﹣t2+2t+6),則N(t,﹣t+6),由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?OB列出關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得;(3)由PH⊥OB知DH∥AO,據(jù)此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45176。,結(jié)合∠DPE=90176。知若△PDE為等腰直角三角形,則∠EDP=45176。,從而得出點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,求出y=6時(shí)x的值即可得出答案.【詳解】(1)∵拋物線過點(diǎn)B(6,0)、C(﹣2,0),∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣6)(x+2),將點(diǎn)A(0,6)代入,得:﹣12a=6,解得:a=﹣,所以拋物線解析式為y=﹣(x﹣6)(x+2)=﹣x2+2x+6;(2)如圖1,過點(diǎn)P作PM⊥OB與點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N,作AG⊥PM于點(diǎn)G,設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A(0,6)、B(6,0)代入,得:,解得:,則直線AB解析式為y=﹣x+6,設(shè)P(t,﹣t2+2t+6)其中0<t<6,則N(t,﹣t+6),∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t,∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?(AG+BM)=PN?OB=(﹣t2+3t)6=﹣t2+9t=﹣(t﹣3)2+,∴當(dāng)t=3時(shí),△PAB的面積有最大值;(3)如圖2,∵PH⊥OB于H,∴∠DHB=∠AOB=90176。,∴DH∥AO,∵OA=OB=6,∴∠BDH=∠BAO=45176。,∵PE∥x軸、PD⊥x軸,∴∠DPE=90176。,若△PDE為等腰直角三角形,則∠EDP=45176。,∴∠EDP與∠BDH互為對(duì)頂角,即點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,則當(dāng)y=6時(shí),﹣x2+2x+6=6,解得:x=0(舍)或x=4,即點(diǎn)P(4,6).【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題,涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等,熟練掌握和靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵.8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B為x軸上兩點(diǎn),C、D為y軸上的兩點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線,我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”.已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,),點(diǎn)M是拋物線C2:(<0)的頂點(diǎn).(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出△PBC面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由;(3)當(dāng)△BDM為直角三角形時(shí),求的值.【答案】(1)A(,0)、B(3,0).(2)存在.S△PBC最大值為 (3)或時(shí),△BDM為直角三角形.【解析】【分析】(1)在中令y=0,即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).(2)先用待定系數(shù)法得到拋物線C1的解析式,由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面積的表達(dá)式,根據(jù)二次函數(shù)最值原理求出最大值.(3)先表示出DM2,BD2,MB2,再分兩種情況:①∠BMD=90176。時(shí);②∠BDM=90176。時(shí),討論即可求得m的值.【詳解】解:(1)令y=0,則,∵m<0,∴,解得:,.∴A(,0)、B(3,0).(2)存在.理由如下:∵設(shè)拋物線C1的表達(dá)式為(),把C(0,)代入可得,.∴C1的表達(dá)式為:,即.設(shè)P(p,),∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=.∵0,∴當(dāng)時(shí),S△PBC最大值為.(3)由C2可知: B(3,0),D(0,),M(1,),∴BD2=,BM2=,DM2=.∵∠MBD90176。, ∴討論∠BMD=90176。和∠BDM=90176。兩種情況:當(dāng)∠BMD=90176。時(shí),BM2+ DM2= BD2,即+=,解得:,(舍去).當(dāng)∠BDM=90176。時(shí),BD2+ DM2= BM2,即+=,解得:,(舍去) .綜上所述,或時(shí),△BDM為直角三角形.9.如圖所示拋物線過點(diǎn),點(diǎn),且(1)求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸;(2)
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