【文章內容簡介】 ，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點P在y軸上，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1，①當CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當PB=PC時，OP=OB=3，∴P3（0，3）；③當BP=BC時，∵OC=OB=3∴此時P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．7．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為（2，0），且經過點（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）知F（x0，y0）為平面內一定點，M（m，n）為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點P的坐標為（，﹣1）．（3）定點F的坐標為（2，1）．【解析】分析：（1）由拋物線的頂點坐標為（2，0），可設拋物線的解析式為y=a（x2）2，由拋物線過點（4，1），利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）聯立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點A、B的坐標，作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值，根據點B的坐標可得出點B′的坐標，根據點A、B′的坐標利用待定系數法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標；（3）由點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結合二次函數圖象上點的坐標特征，即可得出（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0，由m的任意性可得出關于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點F的坐標．詳解：（1）∵拋物線的頂點坐標為（2，0），設拋物線的解析式為y=a（x2）2．∵該拋物線經過點（4，1），∴1=4a，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=（x2）2=x2x+1．（2）聯立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：，解得：，∴點A的坐標為（1，），點B的坐標為（4，1）．作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值（如圖1所示）．∵點B（4，1），直線l為y=1，∴點B′的坐標為（4，3）．設直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（1，）、B′（4，3）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=x+，當y=1時，有x+=1，解得：x=，∴點P的坐標為（，1）．（3）∵點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，∴（mx0）2+（ny0）2=（n+1）2，∴m22x0m+x022y0n+y02=2n+1．∵M（m，n）為拋物線上一動點，∴n=m2m+1，∴m22x0m+x022y0（m2m+1）+y02=2（m2m+1）+1，整理得：（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0．∵m為任意值，∴，∴，∴定點F的坐標為（2，1）．點睛：本題考查了待定系數法求二次（一次）函數解析式、二次（一次）函數圖象上點的坐標特征、軸對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數法求出二次函數解析式；（2）利用兩點之間線段最短找出點P的位置；（3）根據點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結合二次函數圖象上點的坐標特征，找出關于x0、y0的方程組．8．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標為（﹣1，0），點O為坐標原點，OC=3OA，拋物線C1的頂點為G．（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點G的坐標；（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線C2，設C2與x軸的交點為A′、B′，頂點為G′，當△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線CC2于P、Q兩點，試探究在直線y=﹣1上是否存在點N，使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的坐標：若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3，點G的坐標為（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由點A的坐標及OC=3OA得點C坐標，將A、C坐標代入解析式求解可得；（2）設拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x軸于點D，設BD′=m，由等邊三角形性質知點B′的坐標為（m+1，0），點G′的坐標為（1，m），代入所設解析式求解可得；（3）設M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根據PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均為鈍角知△AOQ≌△PQN，延長PQ交直線y=﹣1于點H，證△OQM≌△QNH，根據對應邊相等建立關于x的方程，解之求得x的值從而進一步求解即可．【詳解】（1）∵點A的坐標為（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴點C的坐標為（0，3），將A、C坐標代入y=ax2﹣2ax+c，得：，解得：，∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以點G的坐標為（1，4）；（2）設拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，過點G′作G′D⊥x軸于點D，設BD′=m，∵△A′B′G′為等邊三角形，∴G′D=B′D=m，則點B′的坐標為（m+1，0），點G′的坐標為（1，m），將點B′、G′的坐標代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：，解得：（舍），∴k=1；（3）設M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ、∠PQN均為鈍角，∴△AOQ≌△PQN，如圖2，延長PQ交直線y=﹣1于點H，則∠QHN=∠OMQ=90176。，又∵△AOQ≌△PQN，∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，∴∠MOQ=∠HQN，∴△OQM≌△QNH（AAS），∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，解得：x=（負值舍去），當x=時，HN=QM=﹣x2+2x+2=，點M（，0），∴點N坐標為（+，﹣1），即（，﹣1）；或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；如圖3，同理可得△OQM≌△PNH，∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，當x=4時，點M的坐標為（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2