【文章內(nèi)容簡介】 F=90176。即可得到AE⊥EF；（2）連接BB′，通過折疊，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中點，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，從而可證△BB′C為直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可將OB，BB′的長求出，在Rt△BB′C中，根據(jù)勾股定理可將B′C的值求出.【詳解】（1）由折線法及點E是BC的中點，∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′，∴△B39。EC是等腰三角形，又∵EF⊥B′C∴EF為∠B39。EC的角平分線，即∠B′EF＝∠FEC，∴∠AEF＝180176。﹣（∠AEB+∠CEF）＝90176。，即∠AEF＝90176。，即AE⊥EF；（2）連接BB39。交AE于點O，由折線法及點E是BC的中點，∴EB＝EB′＝EC，∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C；又∵△BB39。C三內(nèi)角之和為180176。，∴∠BB39。C＝90176。；∵點B′是點B關(guān)于直線AE的對稱點，∴AE垂直平分BB′；在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2將AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，∴AO＝ cm，∴BO＝＝cm，∴BB′＝2BO＝cm，∴在Rt△BB39。C中，B′C＝＝cm，由題意可知四邊形OEFB′是矩形，∴EF＝OB′＝，∴S△B′EC＝．【點睛】考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理勾股定理的和矩形的性質(zhì)綜合運用．關(guān)鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．9．如圖，點O是正方形ABCD兩條對角線的交點，分別延長CO到點G，OC到點E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG．（1）如圖1，若正方形OEFG的對角線交點為M，求證：四邊形CDME是平行四邊形．（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，如圖2，連接AG′，DE′，求證：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的條件下，正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊相交于點N，如圖3，設旋轉(zhuǎn)角為α（0176。＜α＜180176。），若△AON是等腰三角形，請直接寫出α的值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）176。或45176。176。或135176。176。．【解析】【分析】（1）由四邊形OEFG是正方形，得到ME=GE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CD∥GE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到結(jié)論；（2）如圖2，延長E′D交AG′于H，由四邊形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90176。，由四邊形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90176。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到結(jié)論；（3）分類討論，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形OEFG是正方形，∴ME=GE，∵OG=2OD、OE=2OC，∴CD∥GE，CD=GE，∴CD=GE，∴四邊形CDME是平行四邊形；（2）證明：如圖2，延長E′D交AG′于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90176。，∵四邊形OEFG是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90176。，∵將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，∴∠G′OD=∠E′OC，∴∠AOG′=∠COE′，在△AG′O與△ODE′中，∴△AG′O≌△ODE′∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，∵∠1=∠2，∴∠G′HD=∠G′OE′=90176。，∴AG′⊥DE′；（3）①正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AD相交于點N，如圖3，Ⅰ、當AN=AO時，∵∠OAN=45176。，∴∠ANO=∠AON=176。，∵∠ADO=45176。，∴α=∠ANO∠ADO=176。；Ⅱ、當AN=ON時，∴∠NAO=∠AON=45176。，∴∠ANO=90176。，∴α=90176。45176。=45176。；②正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AB相交于點N，如圖4，Ⅰ、當AN=AO時，∵∠OAN=45176。，∴∠ANO=∠AON=176。，∵∠ADO=45176。，∴α=∠ANO+90176。=176。；Ⅱ、當AN=ON時，∴∠NAO=∠AON=45176。，∴∠ANO=90176。，∴α=90176。+45176。=135176。，Ⅲ、當AN=AO時，旋轉(zhuǎn)角a=∠ANO+90176。=+90=176。，綜上所述：若△AON是等腰三角形時，176?；?5176。176。或135176。176。．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運用，有一定的綜合性，分類討論當△AON是等腰三角形時，求α的度數(shù)是本題的難點．10．如圖1，在正方形ABCD中，AD=6，點P是對角線BD上任意一點，連接PA，PC過點P作PE⊥PC交直線AB于E．（1） 求證：PC=PE。（2） 延長AP交直線CD于點F.①如圖2，若點F是CD的中點，求△APE的面積；②若ΔAPE的面積是，則DF的長為 （3） 如圖3，點E在邊AB上，連接EC交BD于點M,作點E關(guān)于BD的對稱點Q，連接PQ，MQ，過點P作PN∥CD交EC于點N，連接QN，若PQ=5，MN=，則△MNQ的面積是 【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）【解析】【分析】（1）利用正方形每個角都是90176。，對角線平分對角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，等角對等邊等性質(zhì)容易得證。（2）作出△ADP和△DFP的高，△PAE的底和高，通過面積法列出方程求解即可。（3）根據(jù)已經(jīng)條件證出△MNQ是直角三角形，計算直角邊乘積的一半可得其面積.【詳解】(1) 證明：∵點P在對角線BD上，∴△ADP≌△CDP,∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90176。,∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45176。+90176?！螧PC=135176。∠BPC,∵∠PAE=90176?！螪AP＝90176。∠DCP,∠DCP=∠BPC∠PDC=∠BPC45176。,∴∠PAE=90176。(∠BPC45176。)= 135176。∠BPC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE。（2）①如圖2，過點P分別作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分別為H、.∵四邊形ABCD是正方形，P在對角線上，∴四邊形HPGD是正方形，∴PH=PG,PM⊥AB,設PH=PG=a,∵F是CD中點，AD＝6，則FD=3,=9,∵==,∴,解得a=2,∴AM=HP=2,MP=MGPG=62=4,又∵PA=PE, ∴AM=EM,AE=4,∵=,②設HP＝b,由①可得AE=2b,MP=6b,∴=,解得b=,∵==,∴,∴當b=，DF=4；當b＝，DF＝9,即DF的長為4或9。（3）如圖，∵E、Q關(guān)于BP對稱，PN∥CD,∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC