【正文】 單的每期期末支付 1 的生存年金的給付現(xiàn)值隨機(jī)變量，已知 10xa? ， 2 6xa? ， 124i? ，求 Y 的方差。 4． 已知 62 62 374 , 164 , 6% ,P q i P? ? ? 求。 ] 8. 2020 : 40 20 : 4010 00 7. 00 , 16 .7 2 , 15 .7 2 , 10 00xP a a P? ? ? 計 算 。 且 1 : , , , x nxnA A A i?? ? ? ?，保額 b 以萬元為單位，求保險費(fèi)率函數(shù) R(b)。 7． 一種完全離散型 2 年期兩全保險保單的生存給付為 1000 元，每年的死亡給付為 1000 元加上該年年末的純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金，且利率 i=6% ， ? ?? （ k=0， 1）。 14． 一 種完全連續(xù)型 20 年期的 1 單位生存年金，已知死亡服從分布：75xlx??(０≤ x≤ 75)，利率 0i? ，且保費(fèi)連續(xù)支付 20 年。 設(shè) ? ?k k xCV V A? ，分別按繳清保險與展期保險給出剛改變后的保險的未來損失方差與原保險在時間 k 的未來損失方差之比。設(shè): 2 xtx t n tAA????，用 b ，1 :xtntA?? 及 nt xtE??表示 f 。 2. 在例 中將保證利率改為：前 3 年為 8% ， 3 年以后為 4% ，重新計算表 、表 和表 。 6. 某保險公司有如下的現(xiàn)金流支付模型，試計算包含報酬率。 13． 設(shè)盈余過程中的理賠 過程 S（ t）為復(fù)合泊松分布，其中泊松參數(shù)為 ? ，個別理賠額 C 服從參數(shù)為 1?? 的指數(shù)分布， C = 4 ，又設(shè) L 為最大聚合損失， ?為初始資金并且滿足 ? ?PL?? = ，試確定 ? 。228。 單 位：元 保單年度 基金 現(xiàn)金價值 現(xiàn)值 0 10 000 9 500 9 500 1 110 800 10 260 9 679 2 11 664 11 197 9 965 3 12 597 12 219 10 259 4 13 101 12 839 10 170 重新計算表 后的值。228。 9. 某建筑物價值為 a，在一定時期內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的概率為 。 4. 考慮固定保費(fèi)變額壽險，其設(shè)計是公平設(shè)計且具有下列性質(zhì) : 男性： 35 歲； AIR=4%；最大允許評估利率： 6%；面值 (即保額 )： 10 000元；在第 5 保單年度的實際現(xiàn)金價值為 6 238 元；在第 5 保單年度的表格現(xiàn)金價值為 5 316 元。 證明：決定自動墊繳保費(fèi)貸款期長短的方程可寫成 H(t)＝ 0，其中 ? ? 11x x k xiH t a G S a a??? ? ?。 6. 向 (30)發(fā)行的 1 單位完全連續(xù) 20 年期兩全保險，在第 10 年年末中止，并且那時還有一筆以 10CV 為抵押的貸款額 L 尚未清償，用躉繳純保費(fèi)表達(dá)： (1)在保額為 1L 的展期保險可展延到原期滿時的情況下，期滿時的生存給付金額 E。 15． 已知 3132 : 02 , 9 , 5%q a i? ? ?，求 230:15FPTV 。 8． 已知 1 1 5 4 54 5 : 2 0 4 5 :1 50. 03 , 0. 06 , 0. 05 4 , 0. 15P A d k? ? ? ?，求 1545:20V。 A. B. C. D. 14. 已知 , , ,x x xi p p p?? ? ? ?則 （ ）。 10 1 ( 1 2 ) ( 1 2 ): 2 01 : 2 0 : 2 0: 2 0 1 . 0 3 , 0 . 0 4 ,x xxxP PP ?? 計 算 P 。 6． 已知 x 歲的人服從如下生存分布： ? ? 105105 xsx ?? (0≤ x≤ 105)，年利率為 6％。 12． 某人現(xiàn) 年 35 歲，購買一份即付定期年金，連續(xù)給付的年金分別為 10元、 8 元、 6 元、 4 元、 2 元、 4 元、 6 元、 8 元、 10 元，試求其精算現(xiàn)值。 8． 試證： (1) ()()m xx maai?? (2) ():():m xnmxnaai?? 。 4． 某人現(xiàn)年 23 歲，約定于 36 年內(nèi)每年年初繳付 2 000 元給某人壽保險公司，如中途死亡，即行停止，所繳付款額也不退還。其中，給定 110xlx??,0≤ x≤ 110。 12． 設(shè)某 30 歲的人購買一份壽險保單，該保單規(guī)定：若 (30)在第一個保單年計劃內(nèi)死亡，則在其死亡的保單年度末給付 5000 元，此后保額每年增加 1000元。 (2) 設(shè)每一年齡內(nèi)的死亡服從均勻分布，證明 ()()mxxmii?AA 。 （ 2） 1:10xA 。求生存函數(shù) s(x)在 20 歲、21 歲和 22 歲的值。 8. 某期初付年金每次付款額為 1 元，共付 20 次，第 k 年的實際利率為18k? ，計算 V(2)。計算購房首期付款額 A。 8．已知第 1 年的實際利率為 10%，第 2 年的實際貼現(xiàn)率為 8%，第 3 年的每季度計息的年名義利率為 6%，第 4 年的每半年計息的年名義貼現(xiàn)率為 5%，求一常 數(shù)實際利率，使它等價于這 4 年的投資利率。 2． (1)假設(shè) A(t)=100+10t, 試確定 1 3 5,i i i 。 4．已知某筆投資在 3 年后的積累值為 1000 元，第 1 年的利率為 1 10%i ? ，第 2 年的利率為 2 8%i ? ，第 3 年的利率為 3 6%i ? ，求該筆投資的 原始金額。 11. 某人 1999 年初借款 3 萬元，按每年計息 3 次的年名義利率 6%投資，到2020 年末的積累值為（ ）萬元。年利率為 10%，計算其每年生活費(fèi)用。 (3)人能活到 70 歲的概率。 A. B. C. D. 第四章：人壽保險的精算現(xiàn)值 練 習(xí) 題 1. 設(shè)生存函數(shù)為 ? ? 1100xsx?? (0≤ x≤ 100)，年利率 i =，計算 (保險金額為 1 元 )： (1)躉繳純保費(fèi) 130:10ā的值。 5． (x)購買了一份 2 年定期壽險保險單，據(jù)保單規(guī)定，若 (x)在保險期限內(nèi)發(fā) 生 保 險 責(zé) 任 范 圍 內(nèi) 的 死 亡 ， 則 在 死 亡 年 末 可 得 保 險 金 1 元，? ?0 .5 , 0 , 0 .1 7 7 1xq i V a r z? ? ? ，試求 1xq? 。 10．年齡為 40 歲的人，以現(xiàn)金 10 000 元購買一份壽險保單。 (2)1 000 元儲蓄壽險，被保險人生存 n 年時給付保險金額的 2 倍，死亡時返還躉繳純保費(fèi)，這個保險的躉繳純保費(fèi)為 800 元。保險人給付額現(xiàn)值記為 Z, 則 Var(Z)=( ) A. ? ?22xxp q v b e? B. ? ?22xxp q v b e? C. ? ?2 2 2xxp q v b e? D. ? ?2 2 2xxv b q e p? 第五章：年金的精算現(xiàn)值 練 習(xí) 題 1． 設(shè)隨機(jī)變量 T＝ T(x)的概率密度函數(shù)為 0. 015( ) tf t e???(t≥ 0)，利息強(qiáng)度為δ＝ 。 5． 某人現(xiàn)年 55 歲，在人壽保險公司購有終身生存年金，每月末給付年金額 250 元，試在 UDD 假設(shè)和利率 6%下，計算其精算現(xiàn)值。 9． 很多年齡為 23 歲的人共同籌集基金，并約定在每年的年初生存者繳納R 元于此項基金，繳付到 64 歲為止。 2. 有兩份壽險保單，一份為 (40)購買的保額 2 000 元 、躉繳保費(fèi)的終身壽險保單，并且其死亡保險金于死亡年末給付；另一份為 (40)購買的保額 1 500 元、年繳保費(fèi) P 的完全離散型終身壽險保單。 7. 已知 20. 19 , 0. 06 4 , 0. 05 7, 0. 01 9 ,X X xA A d ?? ? ? ?，其中 x? 為保險人對1 單位終身壽險按年收取的營業(yè)保費(fèi)。 (2)計算 Var(L)。 3． 已知 ? ? ? ?0 .4 7 4 , 0 .5 1 0 , 0 .5 0 0 ,xt x t xPA V A V? ? ? ? 計 算txV(A) 。 11． 已知: , ,xnAd??計算 1:n xnV?。 2. 證明表 和表 中的調(diào)整保費(fèi)表達(dá)式。在拖欠保費(fèi)的情況下，被保險人可選擇： (1)減 額繳清終身壽險。證明并解釋 ? ?111? ?( ) 1 ( )?h x h x h x h x hh xhi a p p ap? ? ? ? ? ?? ?? ? ??? (2)如果年末的年金收入調(diào)整為年初的 1hr? 倍，其中 ? ?? ?1 1 1? ?11x h h x h h x ha i p r a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 用 ?,xhii p? 及 ?xhp? 表示 1hr? 。 5. 已知某年金的年保費(fèi)為 1 000 元；預(yù)先附加費(fèi)用為 3%；保證利率為第1 年到第 3 年 8%，以后 4%；退保費(fèi)為 5/4/3/2/1/0%；評估利率為 7%。 10. 如果短期局和風(fēng)險模型中的理賠次數(shù) N 服從二項分布 B（ n , p） ,而 P服從 0 到 1 的均勻分布 ,利 用全概率公式計算：（ 1） N 的均值，（ 2） N 的方差。 p???????? （ 4） 0 .4 0 .2 5 0 .0 2 22