【正文】 a∈ R． （ 1）討論函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ 2）當 a=4 時，記函數(shù) g（ x） =f（ x） +kx，設(shè) x x2（ x1＜ x2）是方程 g（ x）=0 的兩個根， x0是 x x2的等差中項， g′（ x）為函數(shù) g（ x）的導函數(shù)，求證：g′（ x0） ＜ 0． 四、選修題 22．（ 10 分）已知曲線 C 的極坐標方程是 ρ=6cosθ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線 l 的參數(shù)方程是（ t 為參數(shù)）． （ 1）將曲線 C 的極坐標方程化為直角坐標方程（普通方程）； （ 2）若直線 l 與曲線 C 相交于 A、 B 兩點，且 |AB|=2 ，求直線的傾斜角 α的值． 五、選修題 23．（ 10 分）已知函數(shù) f（ x） =|x|+|x﹣ 2|． （ 1）求關(guān)于 x 的不等式 f（ x） ＜ 3 的解集； （ 2）如果關(guān)于 x 的不等式 f（ x） ＜ a 的解集不是空集，求實數(shù) a 的取值范圍． 2017 年廣東省汕頭市高考數(shù)學一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，滿 60 分） 1．已知集合 A={x| ≤ 0}， B={0， 1， 2， 3}，則 A∩ B=（ ） A． {1， 2} B． {0， 1， 2} C． {1} D． {1， 2， 3} 【考點】 交集及其運算． 【分析】 求出 A 中不等 式的解集確定出 A，找出 A 與 B 的交集即可． 【解答】 解：由 A 中不等式變形得： x（ x﹣ 2） ≤ 0 且 x≠ 0， 解得： 0＜ x≤ 2，即 A=（ 0， 2]， ∵ B={0， 1， 2， 3}， ∴ A∩ B={1， 2}， 故選： A． 【點評】 此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵． 2．已知 =2﹣ i，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) z 對應(yīng)的點位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【分析】 利用已知條件求出復(fù)數(shù) z，得到對應(yīng)點的坐標即可判斷選項． 【解答】 解： =2﹣ i， ∴ =（ 1﹣ i）（ 2﹣ i） =1﹣ 3i ∴ z=1+3i ∴ 復(fù)數(shù) z 對應(yīng)點（ 1， 3）在第一象限． 故選： A． 【點評】 本題考查復(fù)數(shù)的基本運算，復(fù)數(shù)的幾何意義，是基礎(chǔ)題． 3．一袋中裝有大小相同，編號分別為 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8 的八個球，從中 有放回地每次取一個球，共取 2 次，則取得兩個球的編號之和不小于 15 的概率為（ ） A． B． C． D． 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 【分析】 先求出基本事件總數(shù) n=8 8=64，再求出取得兩個球的編號之和不小于15 包含的基本事件個 數(shù)，由此能求出取得兩個球的編號之和不小于 15 的概率． 【解答】 解：一袋中裝有大小相同，編號分別為 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8 的八個球， 從中有放回地每次取一個球，共取 2 次， 基本事件總數(shù) n=8 8=64， 取得兩個球的編號之和不小于 15 包含的基本事件有： （ 7， 8），（ 8， 7），（ 8， 8），共 3 個， ∴ 取得兩個球的編號之和不小于 15 的概率為 p= ． 故選： C． 【點評】 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用． 4．命題 “ax2﹣ 2ax+3＞ 0 恒成立 ”是假命題，則實數(shù) a 的取 值范圍是（ ） A． 0＜ a＜ 3 B． a＜ 0 或 a≥ 3 C． a＜ 0 或 a＞ 3 D． a≤ 0 或 a≥ 3 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用． 【分析】 命題 “ax2﹣ 2ax+3＞ 0 恒成立 ”是假命題，即存在 x∈ R，使 “ax2﹣ 2ax+3≤ 0，分類討論即可． 【解答】 解：命題 “ax2﹣ 2ax+3＞ 0 恒成立 ”是假命題，即存在 x∈ R，使 “ax2﹣ 2ax+3≤ 0， 當 a=0 時，不符合題意； 當 a＜ 0 時，符合題意； 當 a＞ 0 時， △ =4a2﹣ 12a≥ 0?a≥ 3， 綜上：實數(shù) a 的取值范圍是： a＜ 0 或 a≥ 3． 故選： B 【點評】 本題考查了命題 的真假的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題． 5．函數(shù) y= 的圖象大致是（ ） A． B． C． D． 【考點】 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 【分析】 先由奇偶性來確定是 A、 B 還是 C、 D 選項中的一個，再通過對數(shù)函數(shù)，當 x=1 時，函數(shù)值為 0，可進一步確定選項． 【解答】 解： ∵ f（﹣ x） =﹣ f（ x）是奇函數(shù)， 所以排除 A， B 當 x=1 時， f（ x） =0 排除 C 故選 D 【點評】 本題主要考查將函數(shù)的性質(zhì)與圖象，將兩者有機地結(jié)合起來，并靈活地運用圖象及其分布是數(shù)形結(jié)合解題的關(guān)鍵． 6．已知 a∈ （ ， π）， sinα= ，則 tan（ α+ ） =（ ） A． B． 7 C． D．﹣ 7 【考點】 兩角和與差的正切函數(shù)；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用． 【分析】 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 cosα， tanα的值，進而利用兩角和的正切函數(shù)公式即可計算得解． 【解答】 解： ∵ a∈ （ ， π）， sinα= ， ∴ cosα=﹣ =﹣ ，可得： tanα=﹣ ， ∴ tan（ α+ ） = = = ． 故選： C． 【點評】 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正切函數(shù)公式在三 角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題． 7． 已知向量 、 滿足： | |=2， | |=1，（ ﹣ ） ? =0，那么向量 、 的夾角為（ ） A． 30176。 ， ∵ α∈ [0， π）， ∴ α= 或 ． 【點評】 本題考查極坐標化為直角坐標，考查參數(shù)方程的運用，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題． 五、選修題 23．（ 10 分）（ 2017?汕頭一模）已知函數(shù) f（ x） =|x|+|x﹣ 2|． （ 1）求關(guān)于 x 的不等式 f（ x） ＜ 3 的解集； （ 2）如果關(guān)于 x 的不等式 f（ x） ＜ a 的解集不是空集，求實數(shù) a 的取值范圍． 【考點】 絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式． 【分析】 （ 1）不等式 f（ x） ＜ 3，即 |x|+|x﹣ 2|＜ 3，分類討論，即可求關(guān)于 x的不等式 f（ x） ＜ 3 的解集； （ 2）如果關(guān)于 x 的不等式 f（ x） ＜ a 的解集不是空集，則 a 大于函數(shù)的最小值，即可求實數(shù) a 的取值范圍． 【解答】 解：（ 1）不等式 f（ x） ＜ 3，即 |x|+|x﹣ 2|＜ 3． x≤ 0 時，﹣ 2x+2＜ 3， ∴ x＞ ﹣ ， ∴ ﹣ ＜ x≤ 0， 0＜ x＜ 2 時， 2＜ 3，恒成立； x≥ 2 時， 2x﹣ 2＜ 3， x ， ∴ 2≤ x＜ ， 綜上所述，不等式的解集為 {x|﹣ ＜ x＜ }； （ 2） f（ x） =|x|+|x﹣ 2|≥ |x﹣（ x﹣ 2） |=2， ∵ 關(guān)于 x 的不等式 f（ x） ＜ a 的解集不是空集， ∴ a＞ 2． 【點評】 本題考查絕對值不等式的解法，考查絕對值不等式的運用，屬于中檔題．