推理與證明(完整版)
【正文】 驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例。19． 已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設(shè)bn=an+12an(n=1,2,?)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)=an2n(n=1,2,?),求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列.（1）∵ Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+，得Sn+2Sn+1=4an+14an(n=1,2,?), 即an+2=4an+14an,變形得an+22an+1=2(an+12an).∵ bn=an+12an(n=1,2,?), ∴ bn+1=，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.（2）由S2=a1+a2=4a1+2，a1==5,b1=a22a1==3ED247。BCS△BCD是一個(gè)真命題． ABC證明如下：在圖（2）中，連結(jié)DM，并延長(zhǎng)交BC于E，連結(jié)AE，則有DE^BC． 因?yàn)锳D^面ABC，所以AD^AE． 又AM^DE，所以AE2=EM13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除, ∴當(dāng)n=k+（1）（2）知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式（1+2n+1213）（1+）?（1+112n1）＞（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+=；右邊=.∵左邊＞右邊，∴不等式成立.（2）假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N*)時(shí)不等式成立，即（1+）（1+）?（1+12k1）＞2k+1212k1.12(k+1)1]則當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+）（1+）?（1+＞2k+12）＞[1+4k2k+1N)*也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列bn=a1+a2+L+ann也是等差數(shù)列．n(n1)d2n=a1+d2(n1)證明如下：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則bn=所以數(shù)列{bn}是以a1為首項(xiàng)，13．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1(n212)+2(n222)+L+n(n2n2)=都成立．（1）當(dāng)n=1時(shí)，由以上可知等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即1(k212)+2(k222)+L+k(k2k2)=則當(dāng)n=k+1時(shí)，1[(k+1)1]+2[(k+1)2]+L+k[(k+1)k]+(k+1)[(k+1)(k+1)] =1(k1)+2(k2)+L+k(kk)+(2k+1)+2(2k+1)+L+k(2k+1)=14ka1+a2+L+annna1+=，d2為公差的等差數(shù)列．n+n對(duì)一切正整數(shù)nkk，22222222222222k+(2k+1)3．類比平面向量基本定理:“如果e1,e2是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)l1,l2，使得a=l1e1+l2e2”，寫出空間向量基本定理是．如果e1,e2,e3是空間三個(gè)不共面的向量，那么對(duì)于空間內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)ruruururl1,l2,l3，使得a=l1e1+l2e2+l3e34．寫出用三段論證明f(x)=x3+sinx(x206。，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。學(xué)習(xí)證明的過程亦如此，起先在括號(hào)里寫清為什么，并且只是簡(jiǎn)單的幾步，然后證明比較難一點(diǎn)的，步驟比較多的。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。很快便轉(zhuǎn)向推理，也就是證明。不學(xué)習(xí)吧，課本上安排了這部分內(nèi)容。在這個(gè)過程中，多關(guān)注知識(shí)的價(jià)值，淡化數(shù)學(xué)術(shù)語，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，激發(fā)學(xué)生參與的熱情，使其體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，始終以學(xué)生為主體，明白課題學(xué)習(xí)是為學(xué)習(xí)服務(wù)的。N)，可以猜測(cè)數(shù)列通項(xiàng)an的表達(dá)式為*．若三角形內(nèi)切圓的半徑為r，三邊長(zhǎng)為a，b，c，則三角形的面積等于S=r(a+b+c)，根據(jù)類比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為R，四個(gè)面的面積分別是V=． S1，S2，S，S，則四面體的體積34答案：R(S1+S2+S3+S4)11．已知f(x)=ax+x2x+1(a1)，證明方程f(x)=(x)=0的負(fù)數(shù)根，則x00且x0185。3=42k+1（a+c2)=（a+c2)k+117．平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓把平面分成nn+2個(gè)部分。230。2248。推理一般包括合情推理和演繹推理。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是以幾何教學(xué)為主來培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)證明方法的。有條理地思考，言之有據(jù)，而且不是一句言之有據(jù)，而是步步言之有據(jù)，這個(gè)訓(xùn)練是數(shù)學(xué)的獨(dú)特性。學(xué)生不會(huì)建立知識(shí)與題目之間的關(guān)系，遇到證明問題，不會(huì)分析，不會(huì)運(yùn)用定理去證明；學(xué)生不會(huì)運(yùn)用幾何的
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