【正文】 se matrix exponential function analysis related issues. Through the basic solution matrix of homogeneous linear differential equations, this paper draws out the concept of matrix exponential function. In this part, the author proves that solving matrix exponential function is to solve the basic solution matrix of the homogeneous linear differential equations. Then, some basic properties of matrix exponential function can be derived. The focus of this paper is on the discussion of five kinds of calculation on matrix exponential function. The first three methods can be applied to general cases. Although each method is different, in plexity, all of them need to pute the matrix eigenvalues. The calculation on highorder matrix or plex eigenvalues will be in trouble frequently. The latter two methods is more special for they can only calculate special matrix exponential function. These methods simplify the operation process instead of calculating eigenvalues, but their shortings are obvious. At the final part of this paper, the article expounds the application of matrix exponential function in different equations when solving the function in reality. Key words: Matrix exponential function。 畢業(yè)論文 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算 PROPERTIES AND CALCULATION OF MATRIX EXPONENTIAL FUNCTION 指導(dǎo)教師姓名： 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：學(xué)士 論文提交日期： I 摘 要 矩陣函數(shù)是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，而矩陣函數(shù)中的一個(gè)最重要的函數(shù)就是矩陣指數(shù)函數(shù)，它廣泛地應(yīng)用于自控理論和微分方程。 Jordon normal form。在對(duì) 行列式 研究的體系慢慢完善起來(lái)之后，矩陣才慢慢進(jìn)入數(shù)學(xué)家 們的視野。 于是矩陣便應(yīng)運(yùn)而生。 此外，在之后關(guān)于矩陣系統(tǒng)的研究中，也有很多其他的數(shù)學(xué)家做出了重要的發(fā)現(xiàn)。在文章的開(kāi)始，本文會(huì)論述矩陣的相關(guān)發(fā)展與歷史，在第二章會(huì)對(duì)本文用到的基本數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行介紹，在文章的第三章，本文將會(huì)從齊次微分方程引入矩陣指數(shù)的概念，關(guān)于性質(zhì)和計(jì)算部分主要在第四與第五章進(jìn)行論述，性質(zhì)部分論述了矩陣函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)介紹了矩陣指數(shù)函數(shù)的相關(guān)特性；第五章將會(huì)介紹三種矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算方法，并會(huì)對(duì)這三種方法進(jìn)行對(duì)比。( ) , ( ) , . . . , ( ) , 1 , 2 , . . . ,idi i if f f i r? ? ?? ?有意義，則可以說(shuō)函數(shù) ()fx在 A 矩陣的譜影上有定義 。 ()x At x? 通常上式稱(chēng)為對(duì)應(yīng)于（ ）的齊次線(xiàn)性微分方程組。例如：一個(gè) n 階的矩陣 B ， E 表示一個(gè)單位矩陣， a 指正實(shí)數(shù)。 推論 A 是 n 階 Hermitian 矩陣，同時(shí) A 也是正定（半正定）矩陣的充分必要的條件是矩陣 A 中所求得的所有的特征值都大于等于 0。 在本章中，將從齊次線(xiàn)性微分方程組基解矩陣的求解開(kāi)始，對(duì)矩陣指數(shù)的概念進(jìn)行研究，然后再對(duì)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)討論，在本章的 矩陣指數(shù)函數(shù)中，本文將會(huì)一步一步將矩陣指數(shù)函數(shù)和齊次線(xiàn)性微分方程組 39。 如果 A 為一個(gè)是 nn? 常數(shù)矩陣，那么我們可以將 Ae 定義為下面的矩陣級(jí)數(shù)的和 20 ! 2 ! !kmAkA A Ae E A??? ? ? ? ? ???? ? ????， （ ） 其中 E 是指 n 階的單位矩陣，矩陣 mA 是 A 的 m 次冪。假設(shè)矩陣級(jí)數(shù)任意項(xiàng)的范數(shù)都小于相對(duì)應(yīng)的收斂數(shù)值級(jí)數(shù)的相應(yīng)項(xiàng)，那么我們可以推得此矩陣級(jí)數(shù)為收斂的，所以（ ）先對(duì)所有矩陣 A 全是絕對(duì)收斂的。 定理 矩陣 () Atte?? （ ） 是（ ）的基解矩陣。 由此，求解（ ）基解矩陣的問(wèn)題便可以轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣指數(shù)函數(shù)的求解。 定理 設(shè) , nnA B C ?? ， ()ef? ?? 是復(fù)值函數(shù)，并且在 ()A? 有定義， 那么矩陣指數(shù)函數(shù) Ate ，擁有下面 7 條性質(zhì)： 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 12 （ 1） () ,A A Ae e e C? ? ? ? ???? ? ? （ 2） c o s s in , ( 1 )iAe A i A i? ? ? ? （ 3）如果 A 和 B 可交換，也就是說(shuō)當(dāng) AB BA? 時(shí)，有 A B B A A Be e e e e? ??； （ 4）對(duì)于任何矩陣 A ， Ae 總是可逆的，同時(shí) 1()AAee??? ； （ 5） ()At At Atd e Ae e Adt ??； （ 6） det( )At trAee? ，其中 11 22 nntr A a a a? ? ? ????是 A 的跡。 ,A A H HA e e A Q A Q T TQ A Q? ? ? ? 即 ? ?12, , ...,H SQ A Q diag A A A? 式中： ( ),1JjA M C j s? ? ?. 易證方程 ,1jAe T j s? ? ?有解存在， jA 可逆， 1 js?? 故 ln ,1jA T j s? ? ?，而 jA 可對(duì)角化， 1 js??， 從而 ,1A j s?? 是可以對(duì)角化的 充分性 顯然。 證明： 首先證明問(wèn)題（ ） ~（ ）解的唯一性．設(shè) 12,??都是 n 階矩陣線(xiàn)性 微分方程 ()的解，并且滿(mǎn)足初值條件 ()，令 12??? ?? ．所以 ? 滿(mǎn)足陣線(xiàn)性微分方程 () ，且滿(mǎn)足初值條件 ( 1 )( 0) 39。( 0) , ... , ( 0)nnE A A??? ? ? ? ? ? 的唯一解．證畢． 在這里本文設(shè)定矩陣 A 存在 n 個(gè)互不相等的特征值 12, ,..., n? ? ? ． 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 19 所以微分方程 ( ) ( ) 0c D t??的通解是 1212( ) , ( 1 , 2 , . . . , )n ttt nkt C e C e C e C k n???? ? ? ? ???? ? 為 n 階常數(shù)矩陣。( 0 ) 0 39。 )0 0 0 0nnnnnnnnnn n nn n n n nnt c t c t c tx c x c x c x Ex c x c x c x Ax c x c x c x AE A A??????????? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ? 所以 ( ) ( 1 ) 39。39。39。 定理 設(shè) nnAC?? ， J 是此矩陣 Jordon 的標(biāo)準(zhǔn)形， 1,nnnP C A PJP????，如果在 A 的影譜上函數(shù) ()fx有定義，那么 112( ) ( ( ) , ( ) , . . . , ( ) )rf A P d ia g f J f J f J P ?? 其中 ( 1 ) ()( ) 39。( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 )2 ( 1 ) 2 39。使用矩陣指數(shù)函數(shù)展開(kāi)法會(huì)避免矩陣特征值的計(jì)算 , Laplace變換法則運(yùn)用了 Laplace變換，也不用計(jì)算矩陣的特征值。 矩陣指數(shù)函數(shù)展開(kāi)法 例題，設(shè) 0110A ????????，計(jì)算 Ate 直接計(jì)算 2 3 4 5, , ,A I A A A I A A? ? ? ? ? ? ?,I 是二階的單位矩陣。( 1 ) ( 1 ) 2 ( 2 )f P ff f f f f ff f f f f f ff f f f f f??? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 當(dāng) (x) extf ? 時(shí)， 2(1 ) e , 39。( )()39。(0 ) 0 , 39。 0x c x c x c x? ? ? ?的通解為： 21 2 3() t t tx t te e e? ? ?? ? ? 當(dāng) (0 ) 1, 39。( 0 ) 39。 證明： 設(shè) n 階方陣 A 的特征多項(xiàng)式是 11 1 0( ) d e t ( ) nnnc E A c c c? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ?。( 0) , ... , ( 0)nnE A A??? ? ? ? ? ?可得一個(gè)關(guān)于未知量 12, ,..., nC C C 的 n 階線(xiàn)性方程組： 121 1 2 22 2 2 21 1 2 21 1 1 11 1 2 2,.nnnnnn n n nnnE C C CA C C CA C C CA C C C? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ????? ? ? ???????????????????????????????????????????? ???? ? ? ???? 設(shè)系數(shù)矩陣為 cV ，那么這個(gè)矩陣是范德蒙矩陣，那么 0d e t ( )c j ii j nV ??? ? ????， 因?yàn)榇司仃嚨奶卣髦刀疾灰粯?，因此這個(gè)系數(shù)矩陣行列式不等于 0 ，所以這個(gè)方程組存在解． 1212 n tttAt ne C e C e C e ???? ? ? ????， 11n ji ijjC v A ????， ijv 是 1cV? 的元素。0nnnx c x c x c x??? ? ???? ? ?， ( 1 )( 0) 39。日常的計(jì)算中有許多常用的方法。 證明 (1) 由定理 知 ()000()!1 ( ) ( )!kkAkk m m K mkkmAekC A Ak?? ???????? ???????? ????? 若命 1km??，則 ()001( ) ( ) (1 ) !A m m llmmle C A A m?? ????? ???? ??? 但由于 ()!!mlm lmC lm? ??，于是有 ()00( ) ( )( ) ( )!!mlA A AmlAAe e eml? ? ? ???????????? 反之亦然． （ 2）由定理 知 02 3 42 4 3 5!1 1 12 ! 3 ! 4 !1 1 1 1( ) ( )2 ! 4 ! 3 ! 5 !c o s s inkkiAkAiekE iA A iA AE A A i A A AA i A???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? （ 3）在滿(mǎn)足 ()AB BA? 的情況下，二項(xiàng)式公式 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 13 0()kk m k m mkmA B C A B???? ? 成立，因此 0001 ()!1 ()!A B kmkm k m mkmme A BkC A Bk????????????? 在證明 (1)過(guò)程中的式子可以整理為 00!!mImIABmI??????