【正文】 但是二者亦有相應(yīng)的缺點(diǎn)，本節(jié)將對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)的介紹。( 1 ) 2 ( 2 ) 39。( )( 1 ) !( ) 39。(0 ) 0x x x? ? ?時(shí)， 22 ( ) 3 2 2t t tx t te e e? ? ? 當(dāng) (0 ) 0 , 39。 39。1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) 0nnnt c t c t c t??? ? ? ? ???? ? ? ? ? 并且 112112( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 112( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )39。( 0 ) 1( 0 ) 1( 0 ) 0 ( 0 ) 0nnnnnnxxxxxxx ?????? ?????? ?? ? ????? ? ?? ? ?? ? ?????? ?。 由初始條件 ( 1 ) 1( 0) , 39。( 0) ( 0) 0n ?? ? ? ? ??? ? ? ? ．所以， 內(nèi)所有元素全部符合以下常系數(shù) n 階線性微分方程 ( ) ( 1 )1 1 039。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 17 4 矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算方法 矩陣指數(shù)函數(shù)的一般計(jì)算方法 矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算，即 Ate 的計(jì)算有很多種計(jì)算方法。 （ 7）設(shè)定 B 是 Hermite 正定矩陣，那么有唯一 Hermite 矩陣 Q ，使 QBe? 。 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 在上 一章矩陣指數(shù)中我們從求解常系數(shù)線性微分方程組的過(guò)程中認(rèn)識(shí)到了矩陣指數(shù)的概念，并且了解到了（ ）就是就是常系數(shù)微分方程組的基解矩陣。且 (0) E??. 證明 有定義易知 (0) E??.（ ）對(duì) t 求導(dǎo)，我們得到 2 3 2 139。 進(jìn)一步指出，級(jí)數(shù) 0 !kkAtkAte k???? （ ） 在所有有限區(qū)間上是一致收斂的。特別的，在這里，我們可以設(shè)定 0AE? ， 0! 1? 。x Ax? 聯(lián)系起來(lái)，并證明矩陣 () Atte??就是齊次線性微分方程組 39。 Jordan 矩陣 形如下列的由主對(duì)角線為特征值，次對(duì)角線為 1 的 Jordan 塊按對(duì)角排列組成的 矩陣 稱為 Jordan 形矩陣 ,而主對(duì)角線上的小塊方陣 iJ 稱為 Jordan 塊 . 1200 sJJJJ?????????， 1010iiiiii nnJ??? ??????????。 aE B? 在 a 足夠大的時(shí)候， aE B? 就可以被稱作一個(gè)正定矩陣（在這里 B 必須是一個(gè)對(duì)稱矩陣）。 正定矩陣 在線性代數(shù)的領(lǐng)域中，一個(gè)正定矩陣 (positive definite matrix)偶爾會(huì)被簡(jiǎn)稱作正定陣。 一個(gè)函數(shù)在給定矩陣的譜上可以沒(méi)有定義 。最后本文將會(huì)介紹矩陣指數(shù)函數(shù)在 微分方 程中的應(yīng)用。德國(guó)數(shù)學(xué)家弗洛伯紐斯（ Frobenius）最先提出了最小多項(xiàng)式的 概念，矩陣中秩的概念介紹、不變的因素和主要因素、正交矩陣的相似變換，矩陣的其他概念，如合同、不變的因素和主要因素理論的邏輯排列的形式等等。矩陣的當(dāng)代概念體系在 19 世紀(jì)慢慢完成。在該領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家中，日本非常有名的 關(guān)孝和 （ 1683年）與 戈特弗里德 Differential equations III 目 錄 1 前言 .................................................................................................1 矩陣 （ Matrix） 的發(fā)展與歷史 .......................................................1 本文的主要內(nèi)容 ............................................................................2 2 預(yù)備知識(shí) ..........................................................................................3 3 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) .......................................................................7 矩陣指數(shù) .......................................................................................7 關(guān) 于級(jí)數(shù)0 !kkkAtk???的收斂性 ..........................................................7 矩陣指數(shù) Ae 的性質(zhì) ......................................................................8 常系數(shù)線性微分方程基解矩陣 ................................................. 10 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) ................................................................ 100 矩陣函數(shù) ................................................................................ 100 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) .............................................................. 111 4 矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算方法 ............................................................ 177 矩陣指數(shù)函數(shù)的一般計(jì)算方法 .................................................. 177 Hamilton‐ Cayley 求解法 ..................................................... 177 微分方程系數(shù)求解法 ............................................................ 211 Jordon 塊求解法 ................................................................... 233 矩陣指數(shù)函數(shù)的特殊計(jì)算方法 .................................................. 266 矩陣指數(shù)函數(shù)展開(kāi)法 .............................................................. 277 Laplace 變換法 .......................................................................... 27 矩陣指數(shù)函數(shù)方法比較 ............................................................... 28 IV 5 矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用 ............................................. 300 6 總結(jié) ............................................................................................. 333 參考文獻(xiàn) .......................................................................................... 334 致謝 ................................................................................................... 35 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 1 1 前言 矩陣（ Matrix）的發(fā)展與歷史 在 數(shù)學(xué) 中，矩陣（ Matrix）是很常用的工具，雖然 Matrix 亦有 ―子宮， 或者控制中心的母體，孕育生命的地方 ‖此類(lèi)含義，然而矩陣卻與生物沒(méi)有太大的關(guān)聯(lián)，矩陣（ Matrix）是指在二維空間里的數(shù)據(jù)縱橫分布形成的表格，最先起源于方程組 的各項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)所組成的 方陣 。 本文深入淺出地介紹了矩陣指數(shù)函數(shù)，并進(jìn)一步探討如何借助矩陣指數(shù)函數(shù)分析相 關(guān)問(wèn)題。最后，本文具體闡述矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程求解中的應(yīng)用。然而由于當(dāng)時(shí)世界各地并沒(méi)有系統(tǒng)的矩陣研究，也沒(méi)有相關(guān)概念，所以僅僅以線性方程內(nèi)的表示方法為標(biāo)準(zhǔn)和相關(guān)的處理方式記錄在書(shū)中?？死?提出了 克萊姆法則 。在這篇報(bào)告里面作者規(guī)定了矩陣相等、算法、轉(zhuǎn)置和矩陣基本概念，天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 2 如逆矩陣的加法，給出了系列，互換性和約束力的概念。 本文的主要內(nèi)容 矩陣函數(shù)是矩陣?yán)碚摰闹匾獌?nèi)容，矩陣函數(shù)中最簡(jiǎn)單的是矩陣多 項(xiàng)式，是研究其他矩陣函數(shù)的基礎(chǔ)．本文討論的是矩陣函數(shù)中的一類(lèi)函數(shù) ——矩陣指數(shù)函數(shù)。 定義 在 A 的化零多項(xiàng)式中，各項(xiàng)中次數(shù)最低同時(shí)首項(xiàng)的系數(shù)為 1 的化零多項(xiàng)式可以稱作是 A 的最小多項(xiàng)式，記為 ()A?? 。 齊次微分方程組 在線性微分方程組 39。 0zMz? ，在這里 z 的天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 5 轉(zhuǎn)置表示為 39。 Hermitian 矩陣 A 是 n 階復(fù)方陣，在這里如果 A 的對(duì)稱單元互為共軛， 也就是說(shuō) A 的共軛轉(zhuǎn)置矩陣就是它自己，則方陣 A 是埃爾米特矩陣 (Hermitian Matrix)。x Ax? ， 這個(gè)方程組的基解矩陣的結(jié)構(gòu)非常重要，在這里，本文所研究的主要問(wèn)題 矩陣指數(shù)函數(shù) Ate 和齊次線性微分方程組 39。本文將運(yùn)用代數(shù)的方法尋求（ ）的一個(gè)基解矩陣。!02 ! !()!kkkmmkkkAtxkA t A tA A tmAtA A xk??????? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ????? 這與 Ate 十分相似，但是 此時(shí)并不能確定二者關(guān)系如何，接下來(lái)，會(huì)對(duì)二者的關(guān)系進(jìn)行討論。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 10 常系數(shù)線性微分方程基解矩陣 在之前的兩個(gè)小節(jié)中，本文已經(jīng)證明了（ ）的收斂性同時(shí)也介紹了矩陣指數(shù)相關(guān)性質(zhì)。證畢。 2 4 21 1 1c os ( 1 )2 ! 4 ! ( 2 ) !nnA E A A An? ? ? ??? ? ? ? ???。 證明 必要性． 設(shè)存在 ()nX M C? ，有 ()f X A? ． 記的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形是 1 , d et 0XX PJ P P??? 式中： ? ?1212( ) , ( ) , . . . , ( )rX n n n rJ d ia g J z J z J z? in 是 Jordan 塊的階數(shù)， 1 ir?? ，由 引理 可知 ? ?? ?12112( ) ( ) ,( ( ) , .. ., ( ) )rnn n rA f x P diag J zf J z J z P ??? ， 從而有 ( ) ( ) , 1, 2 , ... ,kf z A k r???， 即存在 ()aA?? ，有 ()f z a? 充分性． 設(shè)對(duì) 任何 ()aA?? ，方程 ()f z a? 有解存在． 令 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形是 ? ?11 1 1 1 1 1( ) , ( ) , . . . , ( ) , . . . , ( )rA t r r r t rJ d ia g J a J a J a J a? 于是存在可逆矩陣 ()AP M C? ，使 ()f z a? ,于是作 ? ? 112, , ...,X X r xJ P d ia g X X X P ?? 式中： ( ) , 1 , 2 , ... , 。0nnnc c c??? ? ? ? ???? ? ? ? ? () 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 18 ( 1 ) 1( 0) , 39。( ) ( )()()0nnn n A tnAtt c t c t c tA c A A c E ec A e?????? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ??? (Hamilton‐ Cayley 定理 )． 同