【正文】 如果單輸入單輸出系統(tǒng) C（ SIA） 1B也沒有零極點相消，那么系統(tǒng)既是可控的也是可觀測的。記為： Pm+1， Pm+2，等等。了解了傳遞 函數 的概念后，就能夠已知輸入量求得到輸出量，也可以根據輸出量的要求得出輸入量。其特點是直觀和簡單的圖形方法來確定控制系統(tǒng)，運行過程控制系統(tǒng)的分析，為控制體系進行調試提供了可能。它不僅是 最開始出現的控制 的基本理論，而且在以單變量的頻域法為基礎的 現代控制理論 的成長進程中，它一直不斷完善才有了現在的多變量的頻域控制理論，為多變量控 制系統(tǒng)研究的有力工具。傳遞 函數 （ transfer function）是將兩個拉氏變換作除法。滿秩 矩陣（ nonsingular matrix） :設 A 是 n階矩陣 , 如果 ()r A n? ,稱 A 為滿秩矩陣?？捎^測性是系統(tǒng)輸入與輸出的充分反映系統(tǒng)問題的狀態(tài)。 (4)當系統(tǒng)有不依附于 )(tu 的確定性干擾 )(tf 時，系統(tǒng)狀態(tài)方程可以表示為 )(tfBuAxx ???? )0()( 0 xtx ? 因為 )(tf 是一個確定性的干擾，它不會改變系統(tǒng)的可控性?？煽刂菩悦枋龅氖菭顟B(tài)的控制力，可觀測性描述的是狀態(tài)的觀測力， 這兩條性質 給出了兩個最基本的控制系統(tǒng)存在的問題。在前面介紹的可控制性和可觀測性，對于線性系統(tǒng)的進一步研究和整合在根本的指導規(guī)則方面都產 生了重大影響。通過矩陣函數定義的解決線性控制中的問題是使用鑲嵌技術獲得期望矩陣的傳遞函數。本文在這里 簡單介紹矩陣函數的一些實際應用，主要以在 現代控制理論中的應用為例進行闡述 。如果把前面定義中的“行”換成“列”，得到的就是矩陣的初等列變換的定義。 例 設矩陣0 1 00 0 12 3 0A?????????,求 Ate 解 由于特征多項式 ? ? ? ?? ? 221IA? ? ? ? ?? ? ? ? ?，易算出 ? ?? ?21????不是 A的零化多項式，故 A的最小多項式 ? ?m??為 ? ? ? ? ? ?? ? 221m? ? ? ? ? ?? ? ? ?，于是設 ??g? 為 2次多項天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 19 式，即 ? ? 20 1 2g a a a? ? ?? ? ?，由于 ? ? Atfe? ? ，且 1 2?? 是單根， 2 1??? 是二重根，故有 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1122fgfg?????????? ? ? ?? 即 20 1 20 1 212242ttte a a ae a a ate a a??? ? ? ??? ? ??? ??? 解得 ? ?? ?? ?2021221 8691 2 2 391 39t t tt t tt t ta e e tea e e tea e e te??????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? 從而得 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?20 1 22 2 22 2 22 2 28 6 2 2 3 1 31 2 6 4 5 3 2 2 394 4 6 8 3 8 4 5 3Att t t t t tt t t t t tt t t t t te f A g Aa I a A a Ae t e e t e e t eae t e e t e e t ee t e e t e e t e? ? ?? ? ?? ? ????? ?? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 四種方法的比較 為了將問題 說明清楚，這里將幾個基本概念回顧一下。 利用待定系數法求矩陣函數 （ 化零多項式法 ） 從上面的介紹可以知道求矩陣函數通過求矩陣 Jordan標準形式的方法是非常復雜的，它要求 Jordan標準形式及變換矩陣，這個過程很繁瑣。當然矩陣中還有些比較特殊的矩陣，因為他們的特殊性可以將計算簡化。 可逆矩陣是線性代數中經常用到的一種矩陣，它在線性代數中的定義為給定一個 n 階的方陣 A ，如果存在一個 n 階方陣 B ， 使得 nAB BA I??（或 nABI? 、 nBA I? 任意滿足一個），其中 nI為 n 階單位矩陣，則稱 A 是可逆的，且 B 是 A 的逆陣，記 作 1A? 。 我們清楚， ][?P 中的元素能進行加或者減或者乘三種計算，并且它們的計算和數的運算規(guī)律是相同的 .矩陣的加法和乘法的定義中使用的元素的加法和乘法，所以它可以類似地定義 ?? 矩陣的加法和乘法，和數字矩陣運算的 算法規(guī)則相同。即 ， 就 叫做元 的代數余子式）注意：前面求得的 是一個具體的數而不是一個矩陣。在前一章中通過利用收斂矩陣冪級數的和定義了矩陣函數 ()fA,在具體應用中，需要求出 ()fA所代表的具體矩陣，即求出矩陣函數的具體值。在實際中，經常需要求含參數的矩陣指數函數。 經常使用 的矩陣函數有矩陣的指數函數和矩陣的三角函數。矩陣函數的定義方式有很多種，為了便于進一步的研究，本文主要從經常使用的多項式和冪級數來定義矩陣函數。不收斂的矩陣級數稱為發(fā)散的 . 定義 2：設 nnAC?? ，形如 20 1 20 kkk c A c I c A c A c A?? ? ? ? ? ? ?? 的矩陣級數稱為矩陣冪級數 . 1相似矩陣 設 ,AB是 n 階矩陣，如果存在 n 階可逆矩陣 P 使 1B P AP?? ,則稱矩陣 A與 B 相似的，記為 。反對稱矩陣的定義為： TAA?? (A 的轉置前加負 )它的首行與首列各元素絕對值相等，符號相反。（ B 必須為對稱陣）狹義定義：一個 n 階的實對稱矩陣 M 是正定的 當且僅當 對于所有的非零實系數 向量 z ，都有 39。 冪級數 與多項式 形式 非常接近 ，在 許多方面有相似的特征 ，可以被 視為 “ 無限的 多項式 ” 。 級數 級數知識是 分析科學 中一個重要的部分；這個概念經常出現在數學的其他分支?？梢愿鶕嬎氵^程中遇到的實際情形加以選擇，將會給計算帶來很大方便。矩陣在很多方面都有重要應用，例如數學領域里，力學、物理學、工程數學、經濟管理方面都有矩陣的出現。 在 19世紀 50 年代 ，約丹 經過潛心研究 首先發(fā) 表 了把一般矩陣化為標準型 矩陣 的方法。 在數學發(fā)展的歷史長河中 矩陣 理 論的創(chuàng)立者被 一致認為 是英國數學家凱萊（ Cayley）， 是 他 最先 將矩陣作為一個 單獨 的數學 上的 概念提出 來 ，并且關于矩陣的很多學術論文和著作都是他最早發(fā)表的。在這種情況下，矩陣應運而生。天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 1 矩陣函數以及應用畢業(yè)設計 1 緒論 矩陣（ Matrix）的發(fā)展與歷史 人們對矩陣 （ Matrix） 的研究歷史非常悠久，在很久以前就已經有人研究過了幻方和拉丁方陣 。 現在對于我們來說非常熟悉的 矩陣和行列式，它們的概念是非常的不一樣的。事實上最早的矩陣是從對大量行列式的研究中分離出來的，因為和行列式對應的方陣本身就可以做許多的研究和運用， 隨著對行列式研究的深入，矩陣的許多知識點也日漸完善。 到了 19世紀 90 年代， 梅茨勒（ Metzler） 首先提出 了矩陣函數的 基本 概念 ，最后找到用 冪級數形式將 表示 矩陣的 方法，這些對矩陣的發(fā)展意義重大。 本文所做的主要工作 矩陣理論包含的內容非常非常多，矩陣函數在矩陣理論中占據非常重要的位置，相比于矩陣函數中的其他知識，矩陣多項式比較容易理解，就是這樣 容易理解的矩陣多項式是我們對矩陣函數進行研究的理論基礎。本文的第四部分，通過查閱文獻和指導教師 交流 的方式，在求解線性微分方程 過程中有對 矩陣函數的應用研究，并 介紹了 在線性系統(tǒng)的可控性和可觀性 中 矩陣函數的應用。把數列 nu 的項 1u ， 2u ，?， nu ，?逐項相加得到的 函數 。 正定矩陣 在線性代數里，正定矩陣有時會簡稱為正定陣。 0zMz? 。即 ( , ) ( , )i j j iAA?? , 因此，在對角線上的元素， ( , ) ( , )i i i iAA?? ,有 ( , )20iiA ? ， 在非偶數域中，有 ( , ) 0iiA ? ，即反對稱矩陣對角線元素為零，此性質只在非偶數域中成立。 1可對角化矩陣 如果 n 階方陣 A 能與一個對角矩陣相似，就說 A 可對角化。 矩陣函數的多項式表示： 設 ? ?ij nnAa?? 是 數 域 F 上 的 一 個 n 階 矩 陣 ， 簡 記 為 nnAF?? ，? ? ? ?20 1 2 +0nnnf a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ?…是數域 F 上 的 一 個 n 次 多 項 式 ， 簡 記 為? ? ? ?,f P F??? ，將此多項式中 i? 換成 iA ，其中 0 1?? 換成單位矩陣 I ，則矩陣函數 ? ?fA可以定義為： ? ? 20 1 2 + nnf A a I a A a A a A? ? ? ? … 矩陣函數的冪級數表示： 設 nnAC?? ，如果一元函數 ??fz能夠展開為 z的冪級數 ??fz=0kkk cz???， z??R， 其中 0R? 表示該冪級數的收斂半徑 .當 n 階矩陣 A 的譜半徑 ()AR? ? 時，把收斂的矩陣冪級數0kkk cA???的和稱為矩陣函數，記為 ? ?fA，即 ? ?fA=0kkk cA???。以下是矩陣函數的基本性質： 根據上面給出的用冪級數定義的矩陣函數，可以得到0()kkkf A a A????。 矩陣三角函數的基本性質： (1) cos siniAe A i A?? (2) ? ?1co s 2 iA iAA e e ???， ? ?1sin 2 iA iAA e ei ??? (3) ? ? ? ?c o s c o s , s i n s i nA A A A A? ? ? ? ? (4)若 AB BA? ，則 ? ?c o s c o s c o s s i n s i nA B A B A B? ? ? ? ?s i n s i n c o s c o s s i nA B A B A B? ? ? 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 9 證 (1)因為0 !kiA kkieAk????，將 k 分為偶數 k? 和奇數 1k??，則有 ? ? ? ?? ?2 2 12 2 k + 10 0 0! 2 ! 2 1 !k k ki A k kk k ki i ie A A Ak k k ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2 2 100112 ! 2 1 !kkkkkkAA?? ??????? ??? cos sinA i A?? (2)同 (1)證可得 cos siniAe A i A? ?? 兩式相加得 ? ?1co s 2 iA iAA e e??? 兩式相減得 ? ?1sin 2 iA iAA e ei ??? (3)因為 ? ?? ? 2101s in 2 1 !k kkAAk? ???? ?? ，所以 ? ? ? ?? ? ? ? 2101sin 2 1 !k kkAAk? ???? ? ??? ? ?? ? 2101 sin2 1 !k kkAAk? ???? ? ? ??? ，又因為 ? ?? ? 201cos 2!k kkAAk???? ? ，所以 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?2 20xx1c o s c o s2 ! 2 !kkk kkkA A A Akk??????? ? ? ? ??? (4)若 AB BA? ，得 ? ? ? ? ? ?? ?1c o s 2 i A B i A BA B e e? ? ?? ? ? ? ?12 iA iB iA iBe e e e???? ? ? ? ? ? ? ? ?12 2 2i A i A i B i B i A i A i B i Be e e e e e e e? ? ? ???? ? ? ????? ? ?2 2 2 2i A i Ai A i A i B i B i B i Beee e e e e eii?? ? ??