【正文】 如果單輸入單輸出系統(tǒng) C（ SIA） 1B也沒有零極點(diǎn)相消，那么系統(tǒng)既是可控的也是可觀測(cè)的。記為： Pm+1， Pm+2，等等。了解了傳遞 函數(shù) 的概念后，就能夠已知輸入量求得到輸出量，也可以根據(jù)輸出量的要求得出輸入量。其特點(diǎn)是直觀和簡(jiǎn)單的圖形方法來確定控制系統(tǒng)，運(yùn)行過程控制系統(tǒng)的分析，為控制體系進(jìn)行調(diào)試提供了可能。它不僅是 最開始出現(xiàn)的控制 的基本理論，而且在以單變量的頻域法為基礎(chǔ)的 現(xiàn)代控制理論 的成長(zhǎng)進(jìn)程中，它一直不斷完善才有了現(xiàn)在的多變量的頻域控制理論，為多變量控 制系統(tǒng)研究的有力工具。傳遞 函數(shù) （ transfer function）是將兩個(gè)拉氏變換作除法。滿秩 矩陣（ nonsingular matrix） :設(shè) A 是 n階矩陣 , 如果 ()r A n? ,稱 A 為滿秩矩陣?？捎^測(cè)性是系統(tǒng)輸入與輸出的充分反映系統(tǒng)問題的狀態(tài)。 (4)當(dāng)系統(tǒng)有不依附于 )(tu 的確定性干擾 )(tf 時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)方程可以表示為 )(tfBuAxx ???? )0()( 0 xtx ? 因?yàn)?)(tf 是一個(gè)確定性的干擾，它不會(huì)改變系統(tǒng)的可控性?？煽刂菩悦枋龅氖菭顟B(tài)的控制力，可觀測(cè)性描述的是狀態(tài)的觀測(cè)力， 這兩條性質(zhì) 給出了兩個(gè)最基本的控制系統(tǒng)存在的問題。在前面介紹的可控制性和可觀測(cè)性，對(duì)于線性系統(tǒng)的進(jìn)一步研究和整合在根本的指導(dǎo)規(guī)則方面都產(chǎn) 生了重大影響。通過矩陣函數(shù)定義的解決線性控制中的問題是使用鑲嵌技術(shù)獲得期望矩陣的傳遞函數(shù)。本文在這里 簡(jiǎn)單介紹矩陣函數(shù)的一些實(shí)際應(yīng)用，主要以在 現(xiàn)代控制理論中的應(yīng)用為例進(jìn)行闡述 。如果把前面定義中的“行”換成“列”，得到的就是矩陣的初等列變換的定義。 例 設(shè)矩陣0 1 00 0 12 3 0A?????????,求 Ate 解 由于特征多項(xiàng)式 ? ? ? ?? ? 221IA? ? ? ? ?? ? ? ? ?，易算出 ? ?? ?21????不是 A的零化多項(xiàng)式，故 A的最小多項(xiàng)式 ? ?m??為 ? ? ? ? ? ?? ? 221m? ? ? ? ? ?? ? ? ?，于是設(shè) ??g? 為 2次多項(xiàng)天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 19 式，即 ? ? 20 1 2g a a a? ? ?? ? ?，由于 ? ? Atfe? ? ，且 1 2?? 是單根， 2 1??? 是二重根，故有 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1122fgfg?????????? ? ? ?? 即 20 1 20 1 212242ttte a a ae a a ate a a??? ? ? ??? ? ??? ??? 解得 ? ?? ?? ?2021221 8691 2 2 391 39t t tt t tt t ta e e tea e e tea e e te??????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? 從而得 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?20 1 22 2 22 2 22 2 28 6 2 2 3 1 31 2 6 4 5 3 2 2 394 4 6 8 3 8 4 5 3Att t t t t tt t t t t tt t t t t te f A g Aa I a A a Ae t e e t e e t eae t e e t e e t ee t e e t e e t e? ? ?? ? ?? ? ????? ?? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 四種方法的比較 為了將問題 說明清楚，這里將幾個(gè)基本概念回顧一下。 利用待定系數(shù)法求矩陣函數(shù) （ 化零多項(xiàng)式法 ） 從上面的介紹可以知道求矩陣函數(shù)通過求矩陣 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式的方法是非常復(fù)雜的，它要求 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式及變換矩陣，這個(gè)過程很繁瑣。當(dāng)然矩陣中還有些比較特殊的矩陣，因?yàn)樗麄兊奶厥庑钥梢詫⒂?jì)算簡(jiǎn)化。 可逆矩陣是線性代數(shù)中經(jīng)常用到的一種矩陣，它在線性代數(shù)中的定義為給定一個(gè) n 階的方陣 A ，如果存在一個(gè) n 階方陣 B ， 使得 nAB BA I??（或 nABI? 、 nBA I? 任意滿足一個(gè)），其中 nI為 n 階單位矩陣，則稱 A 是可逆的，且 B 是 A 的逆陣，記 作 1A? 。 我們清楚， ][?P 中的元素能進(jìn)行加或者減或者乘三種計(jì)算，并且它們的計(jì)算和數(shù)的運(yùn)算規(guī)律是相同的 .矩陣的加法和乘法的定義中使用的元素的加法和乘法，所以它可以類似地定義 ?? 矩陣的加法和乘法，和數(shù)字矩陣運(yùn)算的 算法規(guī)則相同。即 ， 就 叫做元 的代數(shù)余子式）注意：前面求得的 是一個(gè)具體的數(shù)而不是一個(gè)矩陣。在前一章中通過利用收斂矩陣冪級(jí)數(shù)的和定義了矩陣函數(shù) ()fA,在具體應(yīng)用中，需要求出 ()fA所代表的具體矩陣，即求出矩陣函數(shù)的具體值。在實(shí)際中，經(jīng)常需要求含參數(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)。 經(jīng)常使用 的矩陣函數(shù)有矩陣的指數(shù)函數(shù)和矩陣的三角函數(shù)。矩陣函數(shù)的定義方式有很多種，為了便于進(jìn)一步的研究，本文主要從經(jīng)常使用的多項(xiàng)式和冪級(jí)數(shù)來定義矩陣函數(shù)。不收斂的矩陣級(jí)數(shù)稱為發(fā)散的 . 定義 2：設(shè) nnAC?? ，形如 20 1 20 kkk c A c I c A c A c A?? ? ? ? ? ? ?? 的矩陣級(jí)數(shù)稱為矩陣冪級(jí)數(shù) . 1相似矩陣 設(shè) ,AB是 n 階矩陣，如果存在 n 階可逆矩陣 P 使 1B P AP?? ,則稱矩陣 A與 B 相似的，記為 。反對(duì)稱矩陣的定義為： TAA?? (A 的轉(zhuǎn)置前加負(fù) )它的首行與首列各元素絕對(duì)值相等，符號(hào)相反。（ B 必須為對(duì)稱陣）狹義定義：一個(gè) n 階的實(shí)對(duì)稱矩陣 M 是正定的 當(dāng)且僅當(dāng) 對(duì)于所有的非零實(shí)系數(shù) 向量 z ，都有 39。 冪級(jí)數(shù) 與多項(xiàng)式 形式 非常接近 ，在 許多方面有相似的特征 ，可以被 視為 “ 無(wú)限的 多項(xiàng)式 ” 。 級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)知識(shí)是 分析科學(xué) 中一個(gè)重要的部分；這個(gè)概念經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的其他分支?？梢愿鶕?jù)計(jì)算過程中遇到的實(shí)際情形加以選擇，將會(huì)給計(jì)算帶來很大方便。矩陣在很多方面都有重要應(yīng)用，例如數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，力學(xué)、物理學(xué)、工程數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理方面都有矩陣的出現(xiàn)。 在 19世紀(jì) 50 年代 ，約丹 經(jīng)過潛心研究 首先發(fā) 表 了把一般矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型 矩陣 的方法。 在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中 矩陣 理 論的創(chuàng)立者被 一致認(rèn)為 是英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊（ Cayley）， 是 他 最先 將矩陣作為一個(gè) 單獨(dú) 的數(shù)學(xué) 上的 概念提出 來 ，并且關(guān)于矩陣的很多學(xué)術(shù)論文和著作都是他最早發(fā)表的。在這種情況下，矩陣應(yīng)運(yùn)而生。天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 1 矩陣函數(shù)以及應(yīng)用畢業(yè)設(shè)計(jì) 1 緒論 矩陣（ Matrix）的發(fā)展與歷史 人們對(duì)矩陣 （ Matrix） 的研究歷史非常悠久，在很久以前就已經(jīng)有人研究過了幻方和拉丁方陣 。 現(xiàn)在對(duì)于我們來說非常熟悉的 矩陣和行列式，它們的概念是非常的不一樣的。事實(shí)上最早的矩陣是從對(duì)大量行列式的研究中分離出來的，因?yàn)楹托辛惺綄?duì)應(yīng)的方陣本身就可以做許多的研究和運(yùn)用， 隨著對(duì)行列式研究的深入，矩陣的許多知識(shí)點(diǎn)也日漸完善。 到了 19世紀(jì) 90 年代， 梅茨勒（ Metzler） 首先提出 了矩陣函數(shù)的 基本 概念 ，最后找到用 冪級(jí)數(shù)形式將 表示 矩陣的 方法，這些對(duì)矩陣的發(fā)展意義重大。 本文所做的主要工作 矩陣?yán)碚摪膬?nèi)容非常非常多，矩陣函數(shù)在矩陣?yán)碚撝姓紦?jù)非常重要的位置，相比于矩陣函數(shù)中的其他知識(shí)，矩陣多項(xiàng)式比較容易理解，就是這樣 容易理解的矩陣多項(xiàng)式是我們對(duì)矩陣函數(shù)進(jìn)行研究的理論基礎(chǔ)。本文的第四部分，通過查閱文獻(xiàn)和指導(dǎo)教師 交流 的方式，在求解線性微分方程 過程中有對(duì) 矩陣函數(shù)的應(yīng)用研究，并 介紹了 在線性系統(tǒng)的可控性和可觀性 中 矩陣函數(shù)的應(yīng)用。把數(shù)列 nu 的項(xiàng) 1u ， 2u ，?， nu ，?逐項(xiàng)相加得到的 函數(shù) 。 正定矩陣 在線性代數(shù)里，正定矩陣有時(shí)會(huì)簡(jiǎn)稱為正定陣。 0zMz? 。即 ( , ) ( , )i j j iAA?? , 因此，在對(duì)角線上的元素， ( , ) ( , )i i i iAA?? ,有 ( , )20iiA ? ， 在非偶數(shù)域中，有 ( , ) 0iiA ? ，即反對(duì)稱矩陣對(duì)角線元素為零，此性質(zhì)只在非偶數(shù)域中成立。 1可對(duì)角化矩陣 如果 n 階方陣 A 能與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，就說 A 可對(duì)角化。 矩陣函數(shù)的多項(xiàng)式表示： 設(shè) ? ?ij nnAa?? 是 數(shù) 域 F 上 的 一 個(gè) n 階 矩 陣 ， 簡(jiǎn) 記 為 nnAF?? ，? ? ? ?20 1 2 +0nnnf a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ?…是數(shù)域 F 上 的 一 個(gè) n 次 多 項(xiàng) 式 ， 簡(jiǎn) 記 為? ? ? ?,f P F??? ，將此多項(xiàng)式中 i? 換成 iA ，其中 0 1?? 換成單位矩陣 I ，則矩陣函數(shù) ? ?fA可以定義為： ? ? 20 1 2 + nnf A a I a A a A a A? ? ? ? … 矩陣函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示： 設(shè) nnAC?? ，如果一元函數(shù) ??fz能夠展開為 z的冪級(jí)數(shù) ??fz=0kkk cz???， z??R， 其中 0R? 表示該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 .當(dāng) n 階矩陣 A 的譜半徑 ()AR? ? 時(shí)，把收斂的矩陣冪級(jí)數(shù)0kkk cA???的和稱為矩陣函數(shù)，記為 ? ?fA，即 ? ?fA=0kkk cA???。以下是矩陣函數(shù)的基本性質(zhì)： 根據(jù)上面給出的用冪級(jí)數(shù)定義的矩陣函數(shù)，可以得到0()kkkf A a A????。 矩陣三角函數(shù)的基本性質(zhì)： (1) cos siniAe A i A?? (2) ? ?1co s 2 iA iAA e e ???， ? ?1sin 2 iA iAA e ei ??? (3) ? ? ? ?c o s c o s , s i n s i nA A A A A? ? ? ? ? (4)若 AB BA? ，則 ? ?c o s c o s c o s s i n s i nA B A B A B? ? ? ? ?s i n s i n c o s c o s s i nA B A B A B? ? ? 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 9 證 (1)因?yàn)? !kiA kkieAk????，將 k 分為偶數(shù) k? 和奇數(shù) 1k??，則有 ? ? ? ?? ?2 2 12 2 k + 10 0 0! 2 ! 2 1 !k k ki A k kk k ki i ie A A Ak k k ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2 2 100112 ! 2 1 !kkkkkkAA?? ??????? ??? cos sinA i A?? (2)同 (1)證可得 cos siniAe A i A? ?? 兩式相加得 ? ?1co s 2 iA iAA e e??? 兩式相減得 ? ?1sin 2 iA iAA e ei ??? (3)因?yàn)?? ?? ? 2101s in 2 1 !k kkAAk? ???? ?? ，所以 ? ? ? ?? ? ? ? 2101sin 2 1 !k kkAAk? ???? ? ??? ? ?? ? 2101 sin2 1 !k kkAAk? ???? ? ? ??? ，又因?yàn)?? ?? ? 201cos 2!k kkAAk???? ? ，所以 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?2 20xx1c o s c o s2 ! 2 !kkk kkkA A A Akk??????? ? ? ? ??? (4)若 AB BA? ，得 ? ? ? ? ? ?? ?1c o s 2 i A B i A BA B e e? ? ?? ? ? ? ?12 iA iB iA iBe e e e???? ? ? ? ? ? ? ? ?12 2 2i A i A i B i B i A i A i B i Be e e e e e e e? ? ? ???? ? ? ????? ? ?2 2 2 2i A i Ai A i A i B i B i B i Beee e e e e eii?? ? ??