【正文】 A 被稱為非奇異矩陣，否則就是奇異的?？煽刂菩院涂捎^性是現(xiàn)在的控制理論中最基礎的概念，它是卡爾曼于 60年代率先提出，它的基礎是線性系統(tǒng)的理論分析和設計。狀態(tài)的空間方法既能在輸入輸出類的系統(tǒng)中使用，也能在線性的系統(tǒng)等幾種系統(tǒng)中運用。首先簡單介紹一下線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的發(fā)展歷史。 因為 矩陣函數(shù) ，人們對 矩陣的研究 由以前的計算進入到現(xiàn)在的 分析領域。 矩陣的初等變換包含有矩 陣的初等行變換與它的初等列變換。因為1( ) ( ) ( 1 , 2 , , 1 )iid d i n??? ??，所以 1,rs??? 必定出現(xiàn)在 1,r??中； 如果 ()ijj r i??? ? ?，則 ijmm? 。 定義 4 把矩陣 A 的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項為 1的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為矩陣 A 的初等因子。 如果線性變換函數(shù)的類型是 ()Tx，只要通過 T 對標準基中的任意一個向量作簡單變換，最后把結果插到矩陣的列中， 所以它是很容易確定的變換矩陣 A ，即： 例 已知 4 6 03 5 0 ,3 6 1A????? ? ?????求 ,cos .AteA 解 2d e t( ) ( 2 ) ( 1 ) ,IA? ? ?? ? ? ?所以 A 的特征值為 1=2? ， 23= =1?? 。如果 n 階方陣 A 能與一個對角矩陣相似，稱 A可以對角化。 3）運算符 *下有 分配律 和 結合律 ，即對于任意的 a∈ R， b∈ R和 c∈ R，總有： a*（ b+c） =a*b+a*c，（ b+c） *a=b*a+c*a，（ a*b） *c=a*（ b*c），我們就把R稱作環(huán) （ Ring） 。但是，伴隨矩 陣對于不可逆的矩陣也有定義，而且不需要用 除法 。所以，研究如何方便地計算矩陣函數(shù)對于解決實際生活中的實際問題具有非常重要的意義。這表明矩陣的指數(shù)函數(shù)矩陣總存在逆陣。 證 由性質 7得 ? ? ? ? ? ?=T Tf A f A f A?????? ,又由于 ??fz為奇函數(shù)， ? ? ? ?f z f z? ?? ，所以 ? ? ? ? ? ? ? ?=T Tf A f A f A f A? ? ? ????? 即 ? ?fA是反對稱矩陣。對向量組 ，如果有一組不全為零的數(shù) ,然后 被稱為向量組 線性相關 .如果沒有這樣的 ,換句話就是向量等式當且僅當 才成 立 ,就稱向量組 是線性無關的 . 1可逆矩陣 可逆矩陣是線性代數(shù)中的一種矩陣，其定義為在線性代數(shù)中，給定一個 n 階方陣 A ，若存在一 n 階方陣 B ，使得 nAB BA I??（或 nABI? 、 nBA I? 滿足任意一個），其中 nI 為 n 階單位矩陣，則稱 A 是可逆的，且 B 是 A 的逆矩陣，記作 1A? 。也就是說矩陣 A 的譜半徑是矩陣 A 的全部特征值求模的最大值；如果特征值是虛數(shù)，譜半徑就是實部和虛部的平方和求算術平方根。線性算子的用途很廣，不但應用在數(shù)學的很多分支當中，同時對于量子物理也是重要的數(shù)學基礎。例如： B 為 n 階矩陣， E 為單位矩陣， a 為正實數(shù)。冪級數(shù)，是級數(shù)中非常重要的一種，被當作基礎知識應用在實變型函數(shù)、復變型函數(shù)和其他許多基本領域中，在這些領域發(fā)揮巨大的作用。在數(shù)域 P 與集合 V 中的元素再定義另外一種運算，叫作數(shù)量乘法；就是如果數(shù)域 P 中任何一數(shù) k 與 V 中的任何一個元素 x ，在 V 中都能找到一個元素h 和它匹配， h 是 k 和 x 的數(shù)量乘積，記為 h kx? 。文章的第三部分，歸納了矩陣函數(shù)的若干計算方法，包括了 HamiltioCayley 定理、利用相似對角化計算、利用 Jordan 標準型 法進行 計算 、利用待定系數(shù)法 求解 等四種計算方法。矩陣的特征向量可以揭示一個線性變換的深層次特征。 矩陣的發(fā)展歷史，著名的德國數(shù)學家弗洛伯紐斯 （ Frobenius）起著非常重要的作用，他是第一個對矩陣中最小多項式問題作全面介紹的著 名數(shù)學家。 矩陣（ Matrix） 在 數(shù)學發(fā)展 歷史 上 有著 非常重要的 位置 ， 它一直 是數(shù)學 研究 的一個主要 方面 ，是數(shù)學 在 研究和應用 過 程中經常用到的知識 。事實上子宮基質的控制中心和開始生活意義的地方是矩陣最開始的意義，所以說矩陣有生命的意義。成書于漢朝前期的《九章算術》，在表示線性方程組的過程中使用了將方程中不同系數(shù)分開的方法，這種方法在后來的不斷演化下最終得到方程的增廣矩陣。 在學術研究中恰當?shù)厥褂镁仃嚕苡孟蛄靠臻g中的向量表示線性方程組中系數(shù)矩陣；因此，一個多元線性方程組的解的情況，以及一系列問題的理論解之間的不同關系， 都 可以 得到 徹底解決。在 19 世紀 50 年代， 英國數(shù)學家凱萊（ Cayley） 公開展示了自己關于矩陣的最新研究成果 《矩陣論的研究報告》，這項研究成果使我們對矩陣的認識更深入了一步。到這時，矩陣已經相當完善了。本文主要論述了矩陣函數(shù)以及應用。 2 矩陣函數(shù) 研究本論文具備的數(shù)學基礎 為了進一步討論和便于理解，引入以下研究本 論文的相關概念： 線性空間 在集合上具有一定的結構或符合一定的要求，那么這個集合就是特定的空間。如：12 nu u u? ? ? ?，縮寫為 nu? ， nu 就是級數(shù)的通項，記 作 nnSu?? 是級數(shù)的部分和。廣義定義：設 M 是 n 階方陣，如果有任意非零向量 z ，都有 39。z 表示 z 的 轉置 。 矩陣的譜半徑 設 A 是 nn? 矩陣， i? 是其特征值， i = 1， 2，??， n 。 對角矩 陣 (diagonal matrix)是一個 矩陣 主對角線 之外的 所有 元素 都是 0。 性質 7：設 nnAC?? ，函數(shù) ??fz在 ? ?A? 上有定義，則 ? ? ? ?T Tf A f A????? 證 由于 A 與 TA 相似，因此， A 與 TA 有相同的譜，也有相同的最小多項式，由 ??fz在? ?A? 上有定義，則 ??fz在 ? ?TA? 上有定義，且 ??fz在 A 與 TA 的譜上的值相同，因此可取相同的多項式 ??z? ，使得 ? ? ? ? ? ? ? ?, TTf A A f A A????. 所以? ? ? ? ? ? ? ? TTTTf A A A f A?? ??? ? ? ?????? 性質 8：設 A 是對稱矩陣，函數(shù) ??fz在 ? ?A? 上有定義，則 ? ?fA是對稱矩陣 性質 9：設 A 是實對稱矩陣，實函數(shù) ??fz在 ? ?A? 上有定義，且對 A 的任一特征值 ? ，有 ? ? 0f ? ? ，則 ? ?fA是正 定矩陣。如： Ae ， sinA ,cosA ,ln( )IA? 。 [13]和矩陣函數(shù)相關的計算問題將會在本文中進行研究。 證 設 B(?)是 AIn?? 的伴隨矩陣，則根據伴隨矩陣的定義有： nnnn IfIAIAIB )(||))(( ???? ???? ． 因為矩陣 B(?)的元素是 || AIn?? 的各個代數(shù)余子式，都是 ?的多項式，其次數(shù)不超過1?n ．因此由矩陣的運算性質， B(?)可以寫成 11201)( ??? ???? nnn BBBB ???? ． 其中 110 ?nBBB ， ? ∈ Mn(F)． 再設 nnnn aaaf ????? ?? ???? 111)( ?，則 nnnnnnn IaIaIIf ???? ? ?11)( ??? ． (1) 于是 ))(())(( 11201 AIBBBAIB nnnnn ?????? ??? ????? ? ABABBABBABBB nnnnnn 1211220xx0 )()()( ????? ????????? ???? ? (2) 比較 (1)和 (2)，得 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 11 ??????????????????????nnnnnnnnnnIaABIaABBIaABBIaABBIB11212121010????????? ． (3) 用 nnn IAAA ,1 ??， 依次從右邊乘 (3)的第一式，第二式，?，第 n 式，第 n+1 式，得 ???????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnIABAaABABAaABABAaABABAAB?11221221122110110???????????． (4) 把 (4)的 n+1 個式子相加，左邊變成 零，右邊就是 f (A)，故 f(A)=0． 為了繼續(xù)研究的需要，在這里對上文中提到的伴隨矩陣的概念作簡單的介紹。一般研究的代數(shù)結構有 群 、 環(huán) 、 域 、 格 、 模 、域代數(shù)和 向量空間 等等。 解 A 的特征多項式為 2 1IA??? ? ? ,通過 HamiltioCayley 定理有： 2 0AI?? ,即 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 13 2 3 4 5, , , , ,A I A A A I A A? ? ? ? ? ? 即 2 2 1( 1 ) , ( 1 ) ( 1 , 2 , ) ,k k k kA I A A k?? ? ? ? ? 故 01!At k kke A tk???? 2 4 3 512 ! 4 ! 3 ! 5 !t t t tI t A? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? (cos ) (sin )t I t A?? cos sinsin costt????????. 利用相似對角化求矩陣函數(shù) 設 nnAC?? 是對角矩陣，那么必有 n 階的可逆矩陣 P ,使 1 12( , , , ) ,nP A P d ia g ? ? ?? ? ? ? 則有110 0 01120 0 0112( ) ( ) ( )( , , , )( ( ) , ( ) , , ( ) ) ,k k kk k kk k kk k kk k k nk k knf A a A a P P P a PPdi ag a a a PPdi ag f f f P? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ? ? ? ???? ? ?? ? ? 從而， 112( ) ( ( ) , ( ) , , ( ) ) .nf A t P d ia g f t f t f t P? ? ? ?? 為了便于理解，這里簡單介紹一下文中將會用到的可對角化矩陣、可逆矩陣、 可交換矩陣和變換矩陣的相關概念。 在 線性代數(shù) 中， 線性變換 能夠用 矩陣 表示。 (1)矩陣函數(shù)為矩陣冪函數(shù) ? ?= mf A A 若 A 為對角矩陣，即12nddAd????????? 則由矩陣乘法，有 ? ?? ?? ?? ?1 122=mmmmnnd fdfddf A Afdd?? ???? ???????????? 若 A 為分塊對角矩陣，即12nAAAA?????????，其中 ? ?1, 2, ,iA i s? … 為子塊。 定理 n 階方陣 A 的最小多項式等于它的特征矩陣的第 n 個（也就是最后一個）不變因子 ()nd? 。初等變換主要包括三種情況：線性方程組里的初等變換、 行列式 中的初等變換和矩陣的初等變換。四 種方法中的第二種計算方法難度最大，在 求 ? ?fA的 Jordan 表示式時，要求矩陣 A 的 Jordan 標準形式，在求 Jordan 標準型的過程中還要涉及 ? 矩陣的初等變換，計算很麻煩，最后還要算交換矩陣 P ，計算量非天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 20 常大，矩陣 A 的階數(shù)變大也會增加很多計算量；同時也是最實用的， 因為這種方法的優(yōu)點是計算步驟非常清晰，容易理解。 優(yōu)化控制系統(tǒng)主要討論了變參數(shù)的多變量的高性能，多變量系統(tǒng)的精度高，主要工具就是矩陣理論。然而，這種理論也具備非常突出的不足之處，最明顯的不足之處是不能很好地處理多輸入和多輸出的系統(tǒng)，而且很難表示出一個系統(tǒng)的真正的內部特征。 產生了新的探討線性的系統(tǒng)的特征和它的結構的方法，這種方法主要是天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設計 21 以幾何方法解決實際問題，同時產生了基于抽象代數(shù)的主要用于線性系統(tǒng)的代數(shù)新理論，