【正文】 A 被稱為非奇異矩陣，否則就是奇異的?？煽刂菩院涂捎^性是現(xiàn)在的控制理論中最基礎(chǔ)的概念，它是卡爾曼于 60年代率先提出，它的基礎(chǔ)是線性系統(tǒng)的理論分析和設(shè)計(jì)。狀態(tài)的空間方法既能在輸入輸出類的系統(tǒng)中使用，也能在線性的系統(tǒng)等幾種系統(tǒng)中運(yùn)用。首先簡(jiǎn)單介紹一下線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的發(fā)展歷史。 因?yàn)?矩陣函數(shù) ，人們對(duì) 矩陣的研究 由以前的計(jì)算進(jìn)入到現(xiàn)在的 分析領(lǐng)域。 矩陣的初等變換包含有矩 陣的初等行變換與它的初等列變換。因?yàn)?( ) ( ) ( 1 , 2 , , 1 )iid d i n??? ??，所以 1,rs??? 必定出現(xiàn)在 1,r??中； 如果 ()ijj r i??? ? ?，則 ijmm? 。 定義 4 把矩陣 A 的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項(xiàng)為 1的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）稱為矩陣 A 的初等因子。 如果線性變換函數(shù)的類型是 ()Tx，只要通過 T 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)基中的任意一個(gè)向量作簡(jiǎn)單變換，最后把結(jié)果插到矩陣的列中， 所以它是很容易確定的變換矩陣 A ，即： 例 已知 4 6 03 5 0 ,3 6 1A????? ? ?????求 ,cos .AteA 解 2d e t( ) ( 2 ) ( 1 ) ,IA? ? ?? ? ? ?所以 A 的特征值為 1=2? ， 23= =1?? 。如果 n 階方陣 A 能與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，稱 A可以對(duì)角化。 3）運(yùn)算符 *下有 分配律 和 結(jié)合律 ，即對(duì)于任意的 a∈ R， b∈ R和 c∈ R，總有： a*（ b+c） =a*b+a*c，（ b+c） *a=b*a+c*a，（ a*b） *c=a*（ b*c），我們就把R稱作環(huán) （ Ring） 。但是，伴隨矩 陣對(duì)于不可逆的矩陣也有定義，而且不需要用 除法 。所以，研究如何方便地計(jì)算矩陣函數(shù)對(duì)于解決實(shí)際生活中的實(shí)際問題具有非常重要的意義。這表明矩陣的指數(shù)函數(shù)矩陣總存在逆陣。 證 由性質(zhì) 7得 ? ? ? ? ? ?=T Tf A f A f A?????? ,又由于 ??fz為奇函數(shù)， ? ? ? ?f z f z? ?? ，所以 ? ? ? ? ? ? ? ?=T Tf A f A f A f A? ? ? ????? 即 ? ?fA是反對(duì)稱矩陣。對(duì)向量組 ，如果有一組不全為零的數(shù) ,然后 被稱為向量組 線性相關(guān) .如果沒有這樣的 ,換句話就是向量等式當(dāng)且僅當(dāng) 才成 立 ,就稱向量組 是線性無關(guān)的 . 1可逆矩陣 可逆矩陣是線性代數(shù)中的一種矩陣，其定義為在線性代數(shù)中，給定一個(gè) n 階方陣 A ，若存在一 n 階方陣 B ，使得 nAB BA I??（或 nABI? 、 nBA I? 滿足任意一個(gè)），其中 nI 為 n 階單位矩陣，則稱 A 是可逆的，且 B 是 A 的逆矩陣，記作 1A? 。也就是說矩陣 A 的譜半徑是矩陣 A 的全部特征值求模的最大值；如果特征值是虛數(shù)，譜半徑就是實(shí)部和虛部的平方和求算術(shù)平方根。線性算子的用途很廣，不但應(yīng)用在數(shù)學(xué)的很多分支當(dāng)中，同時(shí)對(duì)于量子物理也是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。例如： B 為 n 階矩陣， E 為單位矩陣， a 為正實(shí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)，是級(jí)數(shù)中非常重要的一種，被當(dāng)作基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用在實(shí)變型函數(shù)、復(fù)變型函數(shù)和其他許多基本領(lǐng)域中，在這些領(lǐng)域發(fā)揮巨大的作用。在數(shù)域 P 與集合 V 中的元素再定義另外一種運(yùn)算，叫作數(shù)量乘法；就是如果數(shù)域 P 中任何一數(shù) k 與 V 中的任何一個(gè)元素 x ，在 V 中都能找到一個(gè)元素h 和它匹配， h 是 k 和 x 的數(shù)量乘積，記為 h kx? 。文章的第三部分，歸納了矩陣函數(shù)的若干計(jì)算方法，包括了 HamiltioCayley 定理、利用相似對(duì)角化計(jì)算、利用 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 法進(jìn)行 計(jì)算 、利用待定系數(shù)法 求解 等四種計(jì)算方法。矩陣的特征向量可以揭示一個(gè)線性變換的深層次特征。 矩陣的發(fā)展歷史，著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家弗洛伯紐斯 （ Frobenius）起著非常重要的作用，他是第一個(gè)對(duì)矩陣中最小多項(xiàng)式問題作全面介紹的著 名數(shù)學(xué)家。 矩陣（ Matrix） 在 數(shù)學(xué)發(fā)展 歷史 上 有著 非常重要的 位置 ， 它一直 是數(shù)學(xué) 研究 的一個(gè)主要 方面 ，是數(shù)學(xué) 在 研究和應(yīng)用 過 程中經(jīng)常用到的知識(shí) 。事實(shí)上子宮基質(zhì)的控制中心和開始生活意義的地方是矩陣最開始的意義，所以說矩陣有生命的意義。成書于漢朝前期的《九章算術(shù)》，在表示線性方程組的過程中使用了將方程中不同系數(shù)分開的方法，這種方法在后來的不斷演化下最終得到方程的增廣矩陣。 在學(xué)術(shù)研究中恰當(dāng)?shù)厥褂镁仃?，能用向量空間中的向量表示線性方程組中系數(shù)矩陣；因此，一個(gè)多元線性方程組的解的情況，以及一系列問題的理論解之間的不同關(guān)系， 都 可以 得到 徹底解決。在 19 世紀(jì) 50 年代， 英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊（ Cayley） 公開展示了自己關(guān)于矩陣的最新研究成果 《矩陣論的研究報(bào)告》，這項(xiàng)研究成果使我們對(duì)矩陣的認(rèn)識(shí)更深入了一步。到這時(shí)，矩陣已經(jīng)相當(dāng)完善了。本文主要論述了矩陣函數(shù)以及應(yīng)用。 2 矩陣函數(shù) 研究本論文具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 為了進(jìn)一步討論和便于理解，引入以下研究本 論文的相關(guān)概念： 線性空間 在集合上具有一定的結(jié)構(gòu)或符合一定的要求，那么這個(gè)集合就是特定的空間。如：12 nu u u? ? ? ?，縮寫為 nu? ， nu 就是級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，記 作 nnSu?? 是級(jí)數(shù)的部分和。廣義定義：設(shè) M 是 n 階方陣，如果有任意非零向量 z ，都有 39。z 表示 z 的 轉(zhuǎn)置 。 矩陣的譜半徑 設(shè) A 是 nn? 矩陣， i? 是其特征值， i = 1， 2，??， n 。 對(duì)角矩 陣 (diagonal matrix)是一個(gè) 矩陣 主對(duì)角線 之外的 所有 元素 都是 0。 性質(zhì) 7：設(shè) nnAC?? ，函數(shù) ??fz在 ? ?A? 上有定義，則 ? ? ? ?T Tf A f A????? 證 由于 A 與 TA 相似，因此， A 與 TA 有相同的譜，也有相同的最小多項(xiàng)式，由 ??fz在? ?A? 上有定義，則 ??fz在 ? ?TA? 上有定義，且 ??fz在 A 與 TA 的譜上的值相同，因此可取相同的多項(xiàng)式 ??z? ，使得 ? ? ? ? ? ? ? ?, TTf A A f A A????. 所以? ? ? ? ? ? ? ? TTTTf A A A f A?? ??? ? ? ?????? 性質(zhì) 8：設(shè) A 是對(duì)稱矩陣，函數(shù) ??fz在 ? ?A? 上有定義，則 ? ?fA是對(duì)稱矩陣 性質(zhì) 9：設(shè) A 是實(shí)對(duì)稱矩陣，實(shí)函數(shù) ??fz在 ? ?A? 上有定義，且對(duì) A 的任一特征值 ? ，有 ? ? 0f ? ? ，則 ? ?fA是正 定矩陣。如： Ae ， sinA ,cosA ,ln( )IA? 。 [13]和矩陣函數(shù)相關(guān)的計(jì)算問題將會(huì)在本文中進(jìn)行研究。 證 設(shè) B(?)是 AIn?? 的伴隨矩陣，則根據(jù)伴隨矩陣的定義有： nnnn IfIAIAIB )(||))(( ???? ???? ． 因?yàn)榫仃?B(?)的元素是 || AIn?? 的各個(gè)代數(shù)余子式，都是 ?的多項(xiàng)式，其次數(shù)不超過1?n ．因此由矩陣的運(yùn)算性質(zhì)， B(?)可以寫成 11201)( ??? ???? nnn BBBB ???? ． 其中 110 ?nBBB ， ? ∈ Mn(F)． 再設(shè) nnnn aaaf ????? ?? ???? 111)( ?，則 nnnnnnn IaIaIIf ???? ? ?11)( ??? ． (1) 于是 ))(())(( 11201 AIBBBAIB nnnnn ?????? ??? ????? ? ABABBABBABBB nnnnnn 1211220xx0 )()()( ????? ????????? ???? ? (2) 比較 (1)和 (2)，得 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 11 ??????????????????????nnnnnnnnnnIaABIaABBIaABBIaABBIB11212121010????????? ． (3) 用 nnn IAAA ,1 ??， 依次從右邊乘 (3)的第一式，第二式，?，第 n 式，第 n+1 式，得 ???????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnIABAaABABAaABABAaABABAAB?11221221122110110???????????． (4) 把 (4)的 n+1 個(gè)式子相加，左邊變成 零，右邊就是 f (A)，故 f(A)=0． 為了繼續(xù)研究的需要，在這里對(duì)上文中提到的伴隨矩陣的概念作簡(jiǎn)單的介紹。一般研究的代數(shù)結(jié)構(gòu)有 群 、 環(huán) 、 域 、 格 、 模 、域代數(shù)和 向量空間 等等。 解 A 的特征多項(xiàng)式為 2 1IA??? ? ? ,通過 HamiltioCayley 定理有： 2 0AI?? ,即 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 13 2 3 4 5, , , , ,A I A A A I A A? ? ? ? ? ? 即 2 2 1( 1 ) , ( 1 ) ( 1 , 2 , ) ,k k k kA I A A k?? ? ? ? ? 故 01!At k kke A tk???? 2 4 3 512 ! 4 ! 3 ! 5 !t t t tI t A? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? (cos ) (sin )t I t A?? cos sinsin costt????????. 利用相似對(duì)角化求矩陣函數(shù) 設(shè) nnAC?? 是對(duì)角矩陣，那么必有 n 階的可逆矩陣 P ,使 1 12( , , , ) ,nP A P d ia g ? ? ?? ? ? ? 則有110 0 01120 0 0112( ) ( ) ( )( , , , )( ( ) , ( ) , , ( ) ) ,k k kk k kk k kk k kk k k nk k knf A a A a P P P a PPdi ag a a a PPdi ag f f f P? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ? ? ? ???? ? ?? ? ? 從而， 112( ) ( ( ) , ( ) , , ( ) ) .nf A t P d ia g f t f t f t P? ? ? ?? 為了便于理解，這里簡(jiǎn)單介紹一下文中將會(huì)用到的可對(duì)角化矩陣、可逆矩陣、 可交換矩陣和變換矩陣的相關(guān)概念。 在 線性代數(shù) 中， 線性變換 能夠用 矩陣 表示。 (1)矩陣函數(shù)為矩陣冪函數(shù) ? ?= mf A A 若 A 為對(duì)角矩陣，即12nddAd????????? 則由矩陣乘法，有 ? ?? ?? ?? ?1 122=mmmmnnd fdfddf A Afdd?? ???? ???????????? 若 A 為分塊對(duì)角矩陣，即12nAAAA?????????，其中 ? ?1, 2, ,iA i s? … 為子塊。 定理 n 階方陣 A 的最小多項(xiàng)式等于它的特征矩陣的第 n 個(gè)（也就是最后一個(gè)）不變因子 ()nd? 。初等變換主要包括三種情況：線性方程組里的初等變換、 行列式 中的初等變換和矩陣的初等變換。四 種方法中的第二種計(jì)算方法難度最大，在 求 ? ?fA的 Jordan 表示式時(shí)，要求矩陣 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形式，在求 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型的過程中還要涉及 ? 矩陣的初等變換，計(jì)算很麻煩，最后還要算交換矩陣 P ，計(jì)算量非天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 20 常大，矩陣 A 的階數(shù)變大也會(huì)增加很多計(jì)算量；同時(shí)也是最實(shí)用的， 因?yàn)檫@種方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算步驟非常清晰，容易理解。 優(yōu)化控制系統(tǒng)主要討論了變參數(shù)的多變量的高性能，多變量系統(tǒng)的精度高，主要工具就是矩陣?yán)碚?。然而，這種理論也具備非常突出的不足之處，最明顯的不足之處是不能很好地處理多輸入和多輸出的系統(tǒng)，而且很難表示出一個(gè)系統(tǒng)的真正的內(nèi)部特征。 產(chǎn)生了新的探討線性的系統(tǒng)的特征和它的結(jié)構(gòu)的方法，這種方法主要是天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 21 以幾何方法解決實(shí)際問題，同時(shí)產(chǎn)生了基于抽象代數(shù)的主要用于線性系統(tǒng)的代數(shù)新理論，