【正文】 te e e ee e e ee e e e e??????????? ? ????? 1c o s( 2 ) 0 0c o s 0 c o s 1 00 0 c o s 1A P P ????????? 2 c os 1 c os 2 2 c os 1 2 c os 2 0c os 2 c os 1 2 c os 2 c os 1 0 .c os 2 c os 1 2 c os 2 2 c os 1 c os 1??????? ? ????? 上面介紹的是一般矩陣，一般矩陣可以通過相似對(duì)角化的方法求解矩陣函數(shù)，對(duì)一般矩陣而言相似對(duì)角化的過程必須先求出矩陣的特征向量。 n 階的方陣 A 能對(duì)角化的充要條件是它具備 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量。所以滿足上述定義的多項(xiàng)式就被稱為多項(xiàng)式環(huán)。矩陣 A 的伴隨 矩陣 可以按下面的方法定義： 代數(shù)余子式 ；（ 代數(shù)余子式 的定義：在一個(gè) n 階 行列式 A 中 ,把 元 所在的第 行和第 列的全部元素去掉，剩下的所有元素組成的 階 行列式 叫做 元 的余子式，記著 。為此，我們介紹下列幾種常用的算法。如果把矩陣函數(shù) ()fA的變?cè)?A 換成 At ，其中 t 為參數(shù)，則相應(yīng)地有0( ) ( )kkkf A t a A t??? ?。 常用的矩陣函數(shù) 在矩陣 理論 中，有許多不同 種類 的矩陣函數(shù)。 矩陣函數(shù)的定義 類 比于代數(shù)中函數(shù)的定義，能知道定義域和值域都屬于方陣的函數(shù)稱為矩 陣函數(shù)。 nnF? 表示數(shù)域 F上 nn? 矩陣全體的線性空間； nnC? 表示 nn? 復(fù)矩陣集； ? ?,PF? 數(shù)域 F上 ? 的純量多項(xiàng)式； 1矩陣的譜 矩陣 A 通過數(shù)學(xué)運(yùn)算計(jì)算出來的特征值的集合就是一個(gè)矩陣的譜，通過數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來也就是： ? ?A? 表示 A 的譜，即 ? ? ? ?AA? ? ?? 是 的 特 征 值； 1其中次數(shù)最低的零化多項(xiàng)式稱為矩陣 A 的最小多項(xiàng)式，記做 ? ?m??； 1文獻(xiàn) [1]給出矩陣級(jí)數(shù)的定義： 定義 1：設(shè) {}kA 是 mnC? 的矩陣序列，其中 ()k k m nijA a C ???，無窮和 1 2 3 kA A A A? ? ? ?稱為矩陣級(jí)數(shù)，記為1kk A???.對(duì)正整數(shù) 1k? ，記1kkiiSA???稱 ()kS為矩陣級(jí)數(shù)1kk A???的部分和，如果矩陣序列 {}kS 收斂，且有極限 S ，即 lim kk SS?? ?，則稱矩陣級(jí)數(shù)1kk A???收斂，并稱 S 為矩陣級(jí)數(shù)1kk A???的和，記為1kk AS?? ??。 對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣 對(duì)稱矩陣的定義是： TAA? （ A 的轉(zhuǎn)置），對(duì)稱的矩陣元素 ( , ) ( , )i j j iAA? 。 aE B? 在 a 充分大時(shí)， aE B? 為正定矩陣。冪級(jí)數(shù)是指每一項(xiàng)均對(duì)應(yīng)著級(jí)數(shù)項(xiàng)序號(hào) n 的常數(shù)倍的 ()xa? 的 n 次方（ n 是從 0遞增的自然數(shù)， a 是常數(shù)）。若加法與數(shù)乘都同時(shí)符合它們的運(yùn)算法則，那么 V 就叫作數(shù)域 P 上的線性 空間。在這部分的最后對(duì)這四種方法進(jìn)行了比較，在比較中加深對(duì)矩陣函數(shù)求解的認(rèn)識(shí)。隨著兩個(gè)世紀(jì)中無數(shù)數(shù)學(xué)家的無私奉獻(xiàn)，矩陣論已經(jīng)成為了一門完善的數(shù)學(xué)分支。 他天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 2 還介紹了矩陣的秩、不變的因素和主要 因素、正交矩陣相似變換 等知識(shí) ，矩陣的其他概念如合同，不變的因素和主要因素理論的邏輯排列的形式等等 在他的著作中也有體現(xiàn) 。 “矩陣”由英國(guó)數(shù)學(xué)家葉 （ Sylvester）第一次使用，他使用的這個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語最后將矩陣的列數(shù)和早期的行列式分離開來。 在數(shù)學(xué)中，開始出現(xiàn)的是對(duì)現(xiàn)在數(shù)學(xué)都有決定性的行列式，但需要行列式的行和列相等，最終的排成的表都是方的，隨著研究的深入人們發(fā)現(xiàn)行數(shù)等于列數(shù)的行列式已經(jīng)無法滿足現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際需要了。在過去的很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，矩陣都是人們解決線性問題的最主要方法。行列式能按照我們的規(guī)則計(jì)算出它的結(jié)果，而矩陣是將數(shù)字按一定順序排列得到的。 從邏輯上講，概念應(yīng)先于行列式的矩陣的概念 和歷史上真正的順序是恰恰相反的 。 此外 ，傅 立葉（ Fourier） 與 龐加萊（ Poincare） 研究的主要是無窮矩陣方面 。 矩陣函數(shù)的定義方式有多種，本文主要是從多項(xiàng)式和冪級(jí)數(shù)兩個(gè)方面進(jìn)行研究的。本文的最后部分，通過 Matlab 編寫能計(jì)算常用矩陣函數(shù)的程序，將使矩陣函數(shù)的計(jì)算更方便、迅速。 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。它的定義有廣義和狹義之分。其中 39。 6 、 化零（零化）多項(xiàng) 式 給定矩陣 nnAC?? ，如果多項(xiàng)式11 1 0() mmmmp a a a a? ? ? ???? ? ? ? ?，滿足 ( ) 0pA? ,則稱 ()p? 是 A 的化零多項(xiàng)式， （一般天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 4 取首項(xiàng)系數(shù)為 1） 。 n 階方陣 A 可對(duì)角化的充要條件是它有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 一些矩陣函數(shù)的重要性質(zhì)及推論 性質(zhì) 1： ? ?fA和 A 可交換，即 ? ? ? ?f A A Af A? 證 設(shè)純量多項(xiàng)式 ? ? 20 1 2 + nnf a a a a? ? ? ?? ? ? ? …，則矩陣多項(xiàng)式 ? ?fA為 ? ? 20 1 2 + nnf A a I a A a A a A? ? ? ? …，于是 ? ?f AA =? ?20 1 2 + nna I a A a A a A A? ? ? …= 2 3 10 1 2 + nna A a A a A a A ?? ? ? … 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 6 ? ?20 1 2 + nnA a I a A a A a A? ? ? ? … ? ?? ? ? ? ? ?f g A f A g A? 性質(zhì) 2：函數(shù)和（或差）的矩陣函數(shù)等于矩陣函數(shù)的和（或差），即 ? ?? ? ? ? ? ?f g A f A g A? ? ? 性質(zhì) 3：函數(shù)積的矩陣函數(shù)等于矩陣函 數(shù)的積，即 ? ?? ? ? ? ? ?f g A f A g A? 性質(zhì) 4：若 AB,則 ? ? ? ?f A f B ，即若 1B T AT?? ，則 ? ? ? ?1f B T f A T?? 證 由于 AB，故存在可逆矩陣 nnTC?? ，使得 1B T AT?? ，若 ? ?f ? 是純量多項(xiàng)式，則 ? ? ? ? ? ?11f B f T A T T f A T????,即 ? ? ? ?f A f B 性質(zhì) 5：設(shè) nnAC?? ， nnBC?? ，且 AB BA? ,函數(shù) ??fz在 ? ?A? 上有定義， ??gz在 ? ?B?上有定義，則 ? ? ? ? ? ? ? ?f A g B g B f A? 證 設(shè) A ， B 的最小多項(xiàng)式的次數(shù)分別為 k 和 l ，則存在次數(shù)不超過 1k? 的多項(xiàng)式 ??z?和次數(shù)不超過 1l? 的多項(xiàng)式 ??z? ，使得 ? ? ? ? ? ? ? ?,f A A g B B???? 由于 AB BA? ，因此對(duì)任意正整數(shù) i ， j ，有 i j j iA B B A? ，從而 A 的多項(xiàng)式與 B 的多項(xiàng)式相乘時(shí)可交換，即得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f A g B A B B A g B f A? ? ? ???? 性質(zhì) 6：設(shè) nnAC?? ， A的特征值都是正實(shí)數(shù)， ??fz是系數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)0kkk cA???的和函數(shù)，它的收斂半徑 ? ?rA?? ，則 ? ? 0trf A ? ，且 ? ? ? ?00trf A f z? ? ? 證 因?yàn)?A 的特征值都是正實(shí)數(shù)，且 ??fz是系數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)0kkk cA???的和函數(shù)，因此 ? ?fA的特征值為 ? ? ? ?0 0 1 , 2 ,ki k ikf c i n????? ? ?? … ，其中 ? ?1, 2,k in? ? … ,是 A 的特征值，所以 ? ? ? ?1 0iitrf A f ?????? 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 7 若 ??fz不恒為 0，則 ? ? ? ?0 0 1 , 2 ,ki k ikf c i n????? ? ?? … ,，從而 ? ? 0trf A ? ； 若 ??fz恒為 0，則 ? ? ? ?0 1, 2 , ,if i n? ?? …，從而 ? 0trf A ? 。根據(jù)這個(gè)定義，可以得到和數(shù)學(xué)分析中一些函數(shù)相似的矩陣函數(shù)，可以通過以前學(xué)過的高等數(shù)學(xué)知識(shí)類比現(xiàn)在得到的矩陣函數(shù)的性質(zhì)。物理學(xué)中的矩陣函數(shù)的計(jì)算，統(tǒng)計(jì)和模擬電路有許多實(shí)際的應(yīng)用，例如，被要求限定入口，行列式的逆矩陣的跡和高階矩陣值等。 利用 HamiltioCayley 定理求矩陣函數(shù) 定理 (HamiltonCayley) 設(shè) A∈ Mn(F), f(?)= || AIn?? 是 A的特 征多項(xiàng)式，則 0||)1()()( 12211 ????????? ? nnnnnn IAAaaaAAf ??. 為了便于后面的理解，這里作一點(diǎn)簡(jiǎn)單的證明。 在 抽象代數(shù) 里，代數(shù)結(jié)構(gòu)（ algebraic structure）是指至少具備兩個(gè)的計(jì)算（最常用的操作，可以存在無數(shù)個(gè)計(jì)算）的 非空集合 。 定義 一個(gè) nn? 的 ?? 矩陣 )(?A 稱為可逆的，如果有一個(gè) nn? 的 ?? 矩陣 )(?B 使 EABBA ?? )()()()( ???? , (1) 這里 E 是單位矩陣 .適用 (1)的矩陣 )(?B (它是唯一的 )被稱作 )(?A 的逆矩陣，記作)(1??A . 例 已知 0110A ????????,求 Ate 。 變換矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)數(shù)學(xué)概念。（ A 為一個(gè)對(duì)角矩陣或者對(duì)角矩陣的塊）。要達(dá)到目的這里需要介紹一個(gè)非常有用的定理。初等變換（ elementary transformation）是高代中的數(shù)學(xué)名詞，同時(shí)也代表著一種運(yùn)算。另外： 分塊矩陣 也能定義初等變換。隨著科學(xué)技術(shù)越來越成熟，自動(dòng)控制理論進(jìn)入了一個(gè)新的過渡階段，從過去傳統(tǒng)的控 制理論到現(xiàn)在的控制理論。這種方法對(duì)單輸入輸出類型的線性定常系統(tǒng)的剖析效果很好。 從 60年代中期到現(xiàn)在，不僅在研究?jī)?nèi)容和研究方法，對(duì)于線性系統(tǒng)，有很多新的突破。 能控性定義： 一般地，對(duì)于線性定常系統(tǒng) （ 11） 其中， x 、 u 分別是 n 、 r 維向量； A 、 B 是 常值矩陣，常值矩陣滿足矩陣運(yùn)算 .如果給定系統(tǒng)的初始狀態(tài) 0()xt ，在 10tt? 的有限時(shí)間區(qū)間 [0t ， 1t ]，可以發(fā)現(xiàn)控制 ()ut 使 1( ) 0xt? ，系統(tǒng)的狀態(tài)在 0t 時(shí)刻是可以控制的；假如系統(tǒng)對(duì)于任何一個(gè)初始狀態(tài)都可以控制，那么就稱這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)完全可以控制的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或者系統(tǒng)是可控的。 對(duì)于能觀測(cè)性的定義，說明幾點(diǎn)： (1)已知系統(tǒng)在有限時(shí)間區(qū)間 [0t ， 1t ]內(nèi)的輸出 ()yt ，觀測(cè)的目標(biāo)是為了確定初始狀態(tài))(0tx . (2)系統(tǒng)對(duì)于在 [ 0t ， 1t ]內(nèi)的輸出 ()yt 能唯一地確定任意指定的狀態(tài) 1()xt ,表示系統(tǒng)狀態(tài)可以被檢測(cè)到 ； 因?yàn)檫B續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，所以系統(tǒng)能檢測(cè)性與能觀測(cè)性是等價(jià)的。 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 系統(tǒng)可控性探討的是控制系統(tǒng)的輸入 量對(duì)狀態(tài)量的作用。 利用對(duì)角約當(dāng)規(guī)范型來判斷。寫作( ) ( ) ( )G s Y s U s? ，前面的 ()Ys、 ()Us分別代表輸出量與輸入量的 拉氏變換 。拉氏變換在 工程 中經(jīng)常被應(yīng)用。這就是時(shí)間函數(shù) ()xt 用“復(fù)頻域”表示的方法。 能觀測(cè)性考察的是系 統(tǒng)的輸出量 y 對(duì)狀態(tài)量 x 的觀察能力。約當(dāng)陣最明顯的特征是方陣 A 的對(duì)角線上所有元素都是矩陣的特征值，對(duì)角線上側(cè)還有許多1。但是具體是哪種可能性則不能確定。 判斷頻域的根據(jù)，通過傳遞函數(shù)來判斷。為了加深對(duì)對(duì)角約當(dāng)規(guī)范型的理解，這里首先詳細(xì)介紹一下約當(dāng)陣。設(shè)一個(gè)系統(tǒng)的輸入 函數(shù) 為 ()xt ，輸出函數(shù)為 ()yt ，則 ()yt 的拉氏變換 ()Ys與 ()xt 的拉氏變換 ()Xs的商： ( ) ( ) ( )W s Y s X s? 稱為這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在最開始的控制理論中，探討和整合 控制系統(tǒng) ，都是以拉氏變換為基礎(chǔ) 上。可以使用它們探討系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征、天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 24 穩(wěn)定性，或按照要求將 控制系統(tǒng) 整合起來，設(shè)計(jì)滿意的控制器。這個(gè)判定準(zhǔn)則不能夠單獨(dú)使用。為了繼續(xù)研究的需要，在這里簡(jiǎn)單地介紹一下滿秩的概念，首先介紹一下矩陣的秩的概念。直觀地說，可控性問題是系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變量的研究完全可以用問題的輸入控制。如果 n 階矩陣 A 的行列式不為零，即 0A? ，那么