泰勒展開式中余項的應用畢業(yè)設計(完整版)
【正文】 中有著重要的應用,應用的關鍵在于根據(jù)題設條件如何選取需要展開的函數(shù)、在哪一點的鄰域展開以及展開的階數(shù)等.例12 設函數(shù)在上連續(xù),且在內(nèi)二階連續(xù)可導,試證明必使得.分析: 題中已知條件告知二階連續(xù)可導而且等式中出現(xiàn)二階導數(shù),高階導數(shù)的存在提示我們使用展開到二階導數(shù)的泰勒公式是一種可行途徑,的函數(shù)值,不妨考慮將在點處進行泰勒展開,再分別令 進而找出與的關系.解: 把,在點按帶泰勒公式展開到二階導數(shù)項,得, （1）,. （2）（1）加（2）并移項整理,有. （3）另一方面,因為在內(nèi)二階連續(xù)可導,所以二階導函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù),故由最大最小值定理知,導函數(shù)在上有最大值和最小值,即存在、使得,使得,代入（3）式中就證得 .例13 設函數(shù)在區(qū)間上二次可導,且滿足,則必使得.證明: 將在點,處分別按泰勒公式展開,得,其中介于與之間,介于與之間.令代入上面兩式,有,.兩式相減并整理,得.不妨令,于是有.這樣就證得.總結: 利用泰勒公式證明等式和不等式主要有兩個步驟：（1）構造函數(shù),選取展開點,？在一個區(qū)間中常常有一些特殊點體現(xiàn)了函數(shù)圖像的性質(zhì),如：端點、分點、零點、駐點、極值點、最值點、拐點,將函數(shù)展成比最高階導數(shù)低一階的泰勒公式.（2）根據(jù)所給的最高階導數(shù)的大小、函數(shù)的界或三角不等式等,結合題干中的已知條件對余項進行放縮.例14 設函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的二階導數(shù),且滿足,試證明積分等式,其中.分析: 題中已知條件“具有連續(xù)的二階導數(shù)”,不妨考慮將構造函數(shù),可以考慮將作為展開點,再分別令,從而引出使問題順利解決.證明: ,不妨設，,.把在處進行二階泰勒展開,有, （1）,代入（1）式中并將所得兩式相減,有.（2）其中介于與之間,（2）式右邊分別令,.將所得兩式相加,得到.因為,由介值定理知存在,使得,其中.由上例可知,在已知被積函數(shù)具有二階或二階以上連續(xù)導數(shù)時證明定積分等式,（一般是根據(jù)右邊的表達式確定展開點）進行泰勒展開,然后對泰勒余項做適當處理（利用介值定理或最大值最小值定理）.例15 設在上二階導函數(shù)連續(xù),且,則.分析: 需要證明的不等式左邊含有積分號,而右邊則可改寫為,存在一個十分便利的隱含條件,這意味著若對泰勒公式兩邊同時積分,則泰勒公式中含有一階導數(shù)的項可以消去.證明: 將在處按泰勒公式展開,得,其中介于與之間.因為,所以.不等式的兩邊同時在上取定積分,有.于是就證得 . 證明根的唯一存在性例16 設函數(shù)在上處處有,.分析: 這里是抽象函數(shù),而且,不妨考慮將函數(shù)在點處展開為一階的泰勒公式,再根據(jù)對泰勒公式進行放縮,.證
環(huán)評公示相關推薦
鄂ICP備17016276號-1