關(guān)于e和ex級數(shù)型展開式的規(guī)律分析_數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文(完整版)
【正文】 ??0 !nknn 是什 么？ 事實上，研究冪函數(shù)級數(shù) ),3,2,1,0(!0 ??????? kxnn nnk 更為方便，因為我們可以用微積分作工具。The recursive formula 。 因為 )()(1 xaxxa kk ???? 所以 xkk exPxa ?? )()( ? xkkxkk exPxPexPxa ???????? )]()([))(()( 則 xkkkkxk exPxPxxaxxaexP ?????????? ?? )]()([)()()( 11 所以 )]()([)(1 xPxPxxP kkk ????? 綜上， ),3,2,1,0()( ???kxPk 有以下定理： 定理 2 ： ),3,2,1,0()( ???kxP k 滿足下列遞推公式： 01( ) 1( ) [ ( ) ( ) ]k k kPxP x x P x P x??????? ? ??? 第 9 頁 證明：見上述分析。 本文通過計算論證，得出： xkk exPxa ?? )()( ，其中 )(xPk 是關(guān)于 x 的一個 k 次多項式這一結(jié)論。將多項式 )(xPk 的系數(shù) ),2,1,0( kia ki ??? 作成一個無窮階的矩陣： ? ? NikkibA ?? , ，文中對矩陣 A 的 各 行 、 列 、 斜 方 向 進(jìn) 行 分 析 、 總 結(jié) ， 從 而 得 出 ： 第 16 頁 )1(1,1 kjbjbb kjjkjk ????? ?? 其中 0?k ，1,0 1,10,1 ?? ??? kkk bb 的結(jié)論。 由上述分析，我們可以歸納為： ??,3,2,1,0)()()(0?????? ??kexbexPxa xkjjkjxkk 第 11 頁 將多項式 )(xPk 的 系數(shù)排列 成一個無窮階矩陣 kjA ， 即： ??????????????????????????????????????????????????????????????????1457 5 05 8 8 02 2 8 2 74 2 5 2 53 4 1 0 59 3 3 05 1 1101364 6 22 6 4 66 9 5 17 7 7 03 0 2 52 5 5101282 6 61 0 5 01 7 0 19 6 61 2 7101211 4 03 5 03 0 1631011565903110110251510167101310110101kjA 當(dāng) 1x?時，有以下關(guān)系： 因為 xkxnkk exPennxa ???? ??? )(!)( 0 所以 ePanna kkn kk ???? ??? )1()1(!0 即： 1)1()1(0 000 ???? Paak 1)1()1(1 011 ???? Paak 211)1()1(2 122 ?????? Paak 5131)1()1(3 333 ??????? Paak 151671)1()1(4 444 ???????? Paak 第 12 頁 5211025151)1()1(5 555 ????????? Paak2 0 31156590311)1()1(6 666 ?????????? Paak 8 7 11151 4 03 5 03 0 1631)1()1(7 777 ??????????? Paak 4 1 4 01282 6 61 0 5 01 7 0 19 6 61 2 71)1()1(8 888 ???????????? Paak 2 1 1 4 71364 6 22 6 4 66 9 5 17 7 7 03 0 2 52 5 51)1()1(9 999 ????????????? Paak110 095 145750588 0228 27425 25341 05933 05111)1()1(10 101010 ? ????????????? Paak ?? ?? 據(jù)此，我們驗證了猜想 1 是正確的。 Matrix 在微積分中，我們知道： 01 1 1 1 1 11 1 ! 2! 3 ! 4! ! !ne nn??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 更一般地，有： 2301 1 1 1 11 1 ! 2! 3 ! ! !x n nne x x x x xnn??? ? ? ? ? ? ? ? ?下面，我們首先來研究，當(dāng) 1?x 時， ???? 0 !1n ne ： 令 ena n ?????00 !1 ennna nn ???? ?? ???? 001 )!1( 1! ennn nnna nnn 2))!1( 1)!2( 1()!1(! 00022 ???????? ????????? ennnnnnnnnnnnnnnnnnannnnnn5))!1(1)!2(13)!3(1())!1(1)!2(1)!2(1)!2(1)!3(1())!1(1)!2(1()!1(1)1)(1()!1(!000002033????????????????????????????????????????????????? 第 4 頁 ennnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnannnnnn15))!1(1)!2(17)!3(16)!4(
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鄂ICP備17016276號-1