【正文】 到達(dá)B、C？師：大家講座一下，應(yīng)該怎樣解決上述問(wèn)題？大家經(jīng)過(guò)討論達(dá)成如下共識(shí)：要回答問(wèn)題⑴，需要解決問(wèn)題⑵，要解決問(wèn)題⑵，需要先解決問(wèn)題⑶和⑷，問(wèn)題用直角三角形知識(shí)可解，所以重點(diǎn)是解決問(wèn)題⑷，問(wèn)題⑷與問(wèn)題⑸是兩個(gè)相關(guān)問(wèn)題。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過(guò)渡性問(wèn)題引伸成一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知三角形的兩條邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及第三邊。第一篇：正弦定理教學(xué)案例正弦定理教學(xué)案例一、教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析“正弦定理”是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（試驗(yàn)修訂本解決這兩個(gè)問(wèn)題需要先回答目標(biāo)問(wèn)題：在三角形中，兩邊與它們的對(duì)角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標(biāo)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問(wèn)題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)算器對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。因此，解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是解決問(wèn)題⑷和⑸。只要能知道三角形中兩條邊與其對(duì)角這四個(gè)元素的數(shù)量關(guān)系，則第三邊也可求出。幾分鐘后，多數(shù)小組報(bào)告結(jié)論成立，只有一個(gè)小組合 因測(cè)量和計(jì)算誤差，得出否定的結(jié)論。sin∠CAB，CF＝asin∠：如圖5，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。師：據(jù)我所知，從AC＋CB＝AB出發(fā)，也能證得結(jié)論，請(qǐng)大家討論一下。因?yàn)锳B＝AC＋CB，所以 jsinC，j從應(yīng)用需要出發(fā)，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突型數(shù)學(xué)情境，是創(chuàng)設(shè)情境的常用方法之一。要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所提的問(wèn)題進(jìn)行分析、整理，篩選出有價(jià)值的問(wèn)題，注意啟發(fā)學(xué)生揭示問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將提問(wèn)綽向深入。但沒(méi)有能夠自然地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和選擇向量方法，是一個(gè)遺憾。情感態(tài)度與價(jià)值觀：（1）通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。用幾何畫(huà)板模擬演示魚(yú)雷及敵艦行蹤,在探討?hù)~(yú)雷發(fā)射角度的過(guò)程中，抽象出一個(gè)解三角形問(wèn)題：考察角A的范圍，回憶“大邊對(duì)大角”的性質(zhì)讓學(xué)生猜測(cè)角A的準(zhǔn)確角度，由AC=2BC,從而B(niǎo)=2A 從而抽象出一個(gè)雛形:測(cè)量角A的實(shí)際角度,與猜測(cè)有誤差,從而產(chǎn)生矛盾: 定性研究如何轉(zhuǎn)化為定量研究? 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 版權(quán)所有《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》歡迎光臨《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127進(jìn)一步修正雛形中的公式,啟發(fā)學(xué)生大膽想象:以及等[直覺(jué)先行,思辨引路,在矛盾沖突中引發(fā)學(xué)生積極的思維!]（三）引導(dǎo)學(xué)生用“特例到一般”的研究方法，猜想數(shù)學(xué)規(guī)律。將猜想變?yōu)槎ɡ恚⒂靡越鉀Q課首提出的問(wèn)題，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)乃枷虢逃?。從心理學(xué)的角度看，青少年有一種好奇的心態(tài)、探究的心理。一些遺憾：由于這種探究課型在平時(shí)的教學(xué)中還不夠深入，有些學(xué)生往往以一種觀賞者的身份參與其中，主動(dòng)探究意識(shí)不強(qiáng)，思維水平?jīng)]有達(dá)到足夠的提升。（2）增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和數(shù)學(xué)交流能力。經(jīng)研究，決定向其發(fā)射魚(yú)雷給以威懾性打擊。你能找出它們的比值嗎？借以檢驗(yàn)學(xué)生是否把握了以上的研究思路。本節(jié)課數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)突出了以下兩點(diǎn)：1．從有利于學(xué)生主動(dòng)探索設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)情境。本節(jié)課從問(wèn)題情境的創(chuàng)造到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作，再到證實(shí)方法的發(fā)現(xiàn)，都對(duì)教材作了一定的調(diào)整和拓展，使其更符合學(xué)生的思維習(xí)慣和認(rèn)知水平，使學(xué)生在知識(shí)的形成過(guò)程、發(fā)展過(guò)程中展開(kāi)思維，發(fā)展了學(xué)生的能力。對(duì)層次較高的學(xué)生，還應(yīng)引導(dǎo)其形成更科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)、謙虛及鍥而不舍的求學(xué)態(tài)度；基礎(chǔ)較差的學(xué)生，由于不善表達(dá)，參與性較差，還應(yīng)多關(guān)注，鼓勵(lì)，培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣，多找些機(jī)會(huì)讓其體驗(yàn)成功。三、設(shè)計(jì)思想培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務(wù)。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來(lái)之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運(yùn)到正對(duì)岸的碼頭B處或其下游1km的碼頭C處，請(qǐng)你確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案。生1：船從A開(kāi)往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1與v2的夾角q：|v|=|v1||v2|=|v1||v2|=35, 22BDEC53=4，22v1vFAv2圖 2sinq= 用計(jì)算器可求得q187?！驹O(shè)計(jì)意圖】將問(wèn)題數(shù)學(xué)化，有助于加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。DAGBDv1vAGv2EC，|EG|=|DE|cos208?？梢砸灾苯侨切螢樘乩?，先在直角三角形中試探一下。師：這是個(gè)好主意。生10：（通過(guò)計(jì)算）與生5的結(jié)果相同。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學(xué)生鞏固課堂的成果。ACB，BE=csin208。BACsin208。ABC\sin208。uuurr證法四：如圖8，設(shè)非零向量j與向量BC垂直。）AcBDabC圖 9 向量故bsinB=csinC，同理可得asinA=bsinB師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡(jiǎn)捷明了！【設(shè)計(jì)意圖】利用向量法來(lái)證明幾何問(wèn)題，學(xué)生相對(duì)比較生疏，不容易馬上想出來(lái)，教師通過(guò)設(shè)計(jì)一些遞進(jìn)式的問(wèn)題給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的方法合理分解，有利于學(xué)生理解接受。數(shù)學(xué)（必修4）》（人教版） B組第二題，我將其加工成一個(gè)具有實(shí)際意義的決策型問(wèn)題）；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，逐步將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象成過(guò)渡性數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決過(guò)渡性問(wèn)題4與5時(shí)需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機(jī)。解決這兩個(gè)問(wèn)題需要先回答目標(biāo)問(wèn)題：在三角形中，兩邊與它們的對(duì)角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標(biāo)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問(wèn)題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫(huà)板對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。本節(jié)課，我們研究問(wèn)題的突出特點(diǎn)是從特殊到一般，利用了幾何畫(huà)板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。+B)+b|j|cos(90176。BAC=bsin208。BAD=90176。ABCAFcaD圖 6 EbCB。通過(guò)作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則AD=csinB=bsinC，所以bsinB=csinCAcabB，同理可得asinA=bsinBCD圖 5 銳角三角形師：因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)從銳角三角形的條件出發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系從而達(dá)到證明的目的?！钡膯?wèn)題就簡(jiǎn)單多了。師：對(duì)任意三角形asinA=bsinB=csinCasinA=bsinB=csinC對(duì)等邊三角形是否成立呢？是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于《幾何畫(huà)板》做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，??【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問(wèn)題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實(shí)驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解決問(wèn)題”的思維方式，進(jìn)而形成解決問(wèn)題的能力。（1）學(xué)生以小組為單位進(jìn)行研究；教師觀察學(xué)生的研究進(jìn)展情況或參與學(xué)生的研究。DAG=|DE|sin208。師：圖2的情形大家都會(huì)解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點(diǎn)？生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。BDv1vv2AF圖 3EC船從A開(kāi)往C的情況如圖3，|AD|=|v1|=5，|DE|=|AF|=|v2|=3，易求得208。【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)起源于生活，運(yùn)用于（二）提出問(wèn)題師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)身處地地考慮有關(guān)的問(wèn)題，將各自的問(wèn)題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我?！边@個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理解就是：知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。數(shù)學(xué)（必修5）》（人教版）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量等知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問(wèn)題的其它數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。一些遺憾：由于這種探究課型在平時(shí)的教學(xué)中還不夠深入，有些學(xué)生往往以一種觀賞者的身份參與其中，主動(dòng)探究意識(shí)不強(qiáng)，思維水平?jīng)]有達(dá)到足夠的提升。從心理學(xué)的角度看，青少年有一種好奇的心態(tài)、探究的心理。將猜想變?yōu)槎ɡ?，并用以解決課首提出的問(wèn)題，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)乃枷虢逃?。用幾何?huà)板模擬演示魚(yú)雷及敵艦行蹤,在探討?hù)~(yú)雷發(fā)射角度的過(guò)程中，抽象出一個(gè)解三角形問(wèn)題：考察角A的范圍，回憶“大邊對(duì)大角”的性質(zhì)讓學(xué)生猜測(cè)角A的準(zhǔn)確角度，由AC=2BC,從而B(niǎo)=2A 從而抽象出一個(gè)雛形: