【正文】 學習、學會探究是全面發(fā)展學生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務。四、教學目標知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運到正對岸的碼頭B處或其下游1km的碼頭C處，請你確定轉(zhuǎn)運方案。師：誰能幫大家講解，應該怎樣解決上述問題？大家經(jīng)過討論達成如下共識：要回答問題1，需要解決問題2，要解決問題2，需要先解決問題3和4，問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問A圖 1BC生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。生1：船從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1與v2的夾角q：|v|=|v1||v2|=|v1||v2|=35, 22BDEC53=4，22v1vFAv2圖 2sinq= 用計算器可求得q187。EAF=45176?！驹O(shè)計意圖】將問題數(shù)學化，有助于加深學生對問題的理解，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學意識。師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來解呢？【設(shè)計意圖】通過教師的問題引導，啟發(fā)學生將問題進行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生的化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。DAGBDv1vAGv2EC，|EG|=|DE|cos208。5=3210|v|=|AG|+|GE|=師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解?？梢砸灾苯侨切螢樘乩仍谥苯侨切沃性囂揭幌??！驹O(shè)計意圖】教師參與學生之間的研究，增進師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導與觀察，及時掌握學生研究的情況，為展示學生的研究結(jié)論做準備；同時通過展示研究結(jié)論，強化學生學習的動機，增進學生的成功感及學習的信心。師：這是個好主意。邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。生10：（通過計算）與生5的結(jié)果相同。（2）點明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究師：既然是定理，則需要證明，請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。這是一個簡捷的證明方法！【設(shè)計意圖】點明此證法的實質(zhì)是找到一個可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。ACB，BE=csin208。BAC=c12casin208。BACsin208。ACB=208。ABC\sin208。ACBccbDC圖 7 三角形外接圓【設(shè)計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式 及asinA=bsinB=csinC=2r一并牽出，使知識的產(chǎn)生自然合理。uuurr證法四：如圖8，設(shè)非零向量j與向量BC垂直。由向量數(shù)量積的幾何意生16：我還有一種證法uuuruuur證法五：如圖9，作AD^BC，則AB與AC在uuuruuuruuuruuuruuurAD方向上的投影相等,即ABAD=ACADuuuruuuruuuruuur\|AB||AD|cos(90176。）AcBDabC圖 9 向量故bsinB=csinC，同理可得asinA=bsinB師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡捷明了！【設(shè)計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學生相對比較生疏，不容易馬上想出來，教師通過設(shè)計一些遞進式的問題給予適當?shù)膯l(fā)引導，將很難想到的方法合理分解，有利于學生理解接受。（五）作業(yè)回顧本節(jié)課的整個研究過程，體會知識的發(fā)生過程；思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？思考：能否借助向量的坐標的方法證明正弦定理？當三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理。數(shù)學（必修4）》（人教版） B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；②啟發(fā)、引導學生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產(chǎn)生進一步探索解決問題的動機。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進行驗證，進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明。七、教學反思為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學的過程。本節(jié)課，我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，利用了幾何畫板進行數(shù)學實驗。C)C\csinB=bsin 師：請你到講臺來給大家講一講。+B)+b|j|cos(90176。生13：利用向量的數(shù)量積運算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。BAC=bsin208。ADBab==2r同理可證：sin208。BAD=90176。ACB==bsin208。ABCAFcaD圖 6 EbCB。在教師的建議下，學生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下兩種證法：證法二：如圖6，設(shè)AD、BE、CF分別是DABC的三條高。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則AD=csinB=bsinC，所以bsinB=csinCAcabB，同理可得asinA=bsinBCD圖 5 銳角三角形師：因為要證明的是一個等式，所以應從銳角三角形的條件出發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系從而達到證明的目的?！驹O(shè)計意圖】通過分析，確定探究方案。”的問題就簡單多了?！驹O(shè)計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學生對結(jié)論的認識從感性逐步上升到理性。師：對任意三角形asinA=bsinB=csinCasinA=bsinB=csinC對等邊三角形是否成立呢？是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于《幾何畫板》做一個數(shù)學實驗，??【設(shè)計意圖】引導學生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”的思維方式，進而形成解決問題的能力。師：有沒有其它的研究結(jié)論？（根據(jù)實際情況，引導學生進行分析判斷結(jié)論正確與否，或留課后進一步深入研究。（1）學生以小組為單位進行研究；教師觀察學生的研究進展情況或參與學生的研究。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關(guān)系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【設(shè)計意圖】通過教師對學生的肯定評價，創(chuàng)造一個教與學的和諧環(huán)境，既激發(fā)學生的學習興趣，使緊接著的問題能更好地得到學生的認同，又有利于學生和教師的共同成長。DAG=|DE|sin208。DAG=|DE|sin208。師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點？生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。DAE及v，我還不知道怎樣解這兩個問題。BDv1vv2AF圖 3EC船從A開往C的情況如圖3，|AD|=|v1|=5，|DE|=|AF|=|v2|=3，易求得208。因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題4和5?！驹O(shè)計意圖】培養(yǎng)學生的“數(shù)學起源于生活，運用于（二）提出問題師：為了確定轉(zhuǎn)運方案，請同學們設(shè)身處地地考慮有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。情感態(tài)度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現(xiàn)共同探究、教學相長的教學情境?！边@個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經(jīng)驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學模式強調(diào)以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構(gòu)起幫助和促進作用。二、學生學習情況分析學生在初中已經(jīng)學習了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學習了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎(chǔ)，同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。數(shù)學（必修5）》（人教版）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。學生的基本數(shù)學思維能力得到一定的提高，能領(lǐng)悟一些基本的數(shù)學思想方法；但由于學生還沒有形成完整、