【正文】 知兩邊以及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)的判斷。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要注重“過程”，要使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程成為在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行“再創(chuàng)造”過程。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實(shí)又是學(xué)生所關(guān)心的問題。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過程，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo) 難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）設(shè)置情境利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d=1km。待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個(gè)問題通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個(gè)問題：船應(yīng)開往B處還是C處？船從A開到B、C分別需要多少時(shí)間？船從A到B、C的距離分別是多少？船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達(dá)B、C？【設(shè)計(jì)意圖】通過小組交流，提供一定的研究學(xué)習(xí)與情感交流的時(shí)空，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；問題源于學(xué)生，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問題對(duì)應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。AED=208。師：請(qǐng)大家思考，這兩個(gè)問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？ 部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。但圖2中DADE是直角三角形，而圖3中DADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關(guān)系求解。AED|AG|=|v1|cos208。AED|v1|=3sin45176。（三）解決問題正弦定理的引入師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時(shí)，是怎樣處理的？ 眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。（2）展示學(xué)生研究的結(jié)果。）師：asinA=bsinB=csinC對(duì)一般三角形是否成立呢？眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)，若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。正弦定理的探究（1）實(shí)驗(yàn)探究正弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學(xué)課件。師：利用上述結(jié)論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗(yàn)與生5的計(jì)算結(jié)果是否一致。【設(shè)計(jì)意圖】與情境設(shè)置中的問題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，并強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。課堂只讓學(xué)生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進(jìn)程的同時(shí)，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時(shí)間。注意： csinB=bsinC表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。則有AD=bsin208。bcsin208。ABC=Asin208。208。BACsin208。ABC=csin208。師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請(qǐng)大家具體試一下，看還有什么問題？教師參與學(xué)生的小組研究，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意兩個(gè)向量的夾角，最后讓學(xué)生通過小組代表作完成了如下證明。C)=0 rrc|j|(sinB)+b|j|sinC=0AcrjbaC圖 8 向量所以bsinB=csinC，同理可得asinA=bsinB師：能否簡(jiǎn)化證法四的過程？（留有一定的時(shí)間給學(xué)生思考）uuurruuurr師：ABj+CAj=0有什么幾何意義？uuurruuurruuurruuurr生15：把ABj+CAj=0移項(xiàng)可得CAj=BAjuuurruuur義可知CA與BA在j方向上的投影相等。（學(xué)生16上臺(tái)板書自己的證明方法。我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個(gè)探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。我想到了“情境——問題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個(gè)以情境為基礎(chǔ)，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境——問題”學(xué)習(xí)鏈，并根據(jù)上述精神，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，具體做出了如下設(shè)計(jì)：①創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書總之，整個(gè)過程讓學(xué)生通過自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實(shí)驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結(jié)”的歷程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，從而使三維教學(xué)目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及第三邊?！驹O(shè)計(jì)意圖】為保證學(xué)生有充足的時(shí)間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結(jié)的時(shí)間花得少且比較簡(jiǎn)單，這將在下一節(jié)課進(jìn)行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準(zhǔn)備。（四）小結(jié)師：本節(jié)課我們是從實(shí)際問題出發(fā)，通過猜想、實(shí)驗(yàn)，歸納等思維方法，最后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。B)=|AC||AD|cos(90176。uuuruuuruuurr因?yàn)锳B+BC+CA=0，uuuruuuruuurr所以(AB+BC+CA)j=0 uuurruuurr即ABj+CAj=0 Buuurruuurruuurruuurr|AB||j|cosAB,j+|CA||j|cosCA,j=0 rrc|j|cos(90176。uuuruuur、BC、CA間有什么關(guān)系？ 師：前面我們學(xué)習(xí)了平面向量，能否運(yùn)用向量的方法證明呢？uuur師：任意DABC中，三個(gè)向量ABuuuruuuruuurr生12：AB+BC+CA=0uuuruuuruuurr師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關(guān)系，由AB+BC+CA=0轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系？uuuruuuruuurruuuruuuruuurr師：在AB+BC+CA兩邊同乘以向量j,有(AB+BC+CA)j=0,這里的向量rrj可否任意？又如何選擇向量j?r生14：因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量j與三個(gè)向量中的一uuur個(gè)向量（如向量BC）垂直，而且使三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。ACB=\asin208。ADB=BD=2rsin208。ACBcBa證法三：如圖7，設(shè)BD=2r是DABC外接圓的直徑，則208。ABC12\SDABC=\a12absin208。BACCF=asin208。師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？ 學(xué)生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價(jià)值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。師：請(qǐng)你（生11）到講臺(tái)上，講講你的證明思路？生11：（走上講臺(tái)），設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進(jìn)行解決。探究方案：直角三角形——已驗(yàn)證； 銳角三角形——課堂探究； 鈍角