【正文】 思想、分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 25．如圖，拋物線 C1： y=x2+2x﹣ 3 的頂點(diǎn)為 M，與 x軸相交于 A、 B 兩點(diǎn)，與 y軸交于點(diǎn)D；拋物線 C2與拋物線 C1關(guān)于 y 軸對稱，頂點(diǎn)為 N，與 x軸相交于 E、 F 兩點(diǎn)． （ 1）拋物線 C2的函數(shù)關(guān)系式是 y=x2﹣ 2x﹣ 3 ； （ 2）點(diǎn) A、 D、 N 是否在同一條直線上？說明你的理由； （ 3）點(diǎn) P 是 C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P′是 C2上的 動(dòng)點(diǎn)，若以 OD 為一邊、 PP′為其對邊的四邊形ODP′P（或 ODPP′）是平行四邊形，試求所有滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 4）在 C1上是否存在點(diǎn) Q，使 △ AFQ 是以 AF 為斜邊且有一個(gè)角為 30176。= ， DE=OD?cos30176。的直角三角形？若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 二次函數(shù) 綜合 4 參考答案與試題解析 一．選擇題（共 12 小題） 1．下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是（ ） A． y=1﹣ x2 B． y=2（ x﹣ 1） 2+4 C． y= （ x﹣ 1）（ x+4） D． y=（ x﹣ 2） 2﹣ x2 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)的定義． 324259 分析： 利用二次函數(shù)的定義，整理成一般形式就可 以解答． 解答： 解： A、 y=1﹣ x2=﹣ x2+1，是二次函數(shù)，正確； B、 y=2（ x﹣ 1） 2+4=2x2﹣ 4x+6，是二次函數(shù)，正確； C、 y= （ x﹣ 1）（ x+4） = x2+ x﹣ 2，是二次函數(shù)，正確； D、 y=（ x﹣ 2） 2﹣ x2=﹣ 4x+4，是一次函數(shù)，錯(cuò)誤． 故選 D． 點(diǎn)評： 本題考查二次函數(shù)的定義． 2．如圖，直角梯形 ABCD 中， ∠ A=90176。得到新的拋物線 n，它的頂點(diǎn)為 C1，與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 A1．若四邊形 AC1A1C 為矩形，則 a， b 應(yīng)滿足的關(guān)系式為（ ） A． ab=﹣ 2 B． ab=﹣ 3 C． ab=﹣ 4 D． ab=﹣ 5 7．對于二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a≠0），我們把使函 數(shù)值等于 0的實(shí)數(shù) x叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)，則二次函數(shù) y=x2﹣ mx+m﹣ 2（ m 為實(shí)數(shù)）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） A． 1 B． 2 C． 0 D． 不能確定 8．用 60m 的籬笆圍成一面靠墻且分隔成兩個(gè)矩形的養(yǎng)雞場，則養(yǎng)雞場的最大面積為（ ） A． 450m2 B． 300m2 C． 225m2 D． 60m2 9．已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象如圖所示，則 a， b， c 滿足（ ） A． a＜ 0， b＜ 0， c＞ 0， b2﹣ 4ac＞ 0 B． a＜ 0， b＜ 0， c＜ 0， b2﹣ 4ac＞ 0 C． a＜ 0， b＞ 0， c＞ 0， b2﹣ 4ac＜ 0 D． a＞ 0， b＜ 0， c＞ 0， b2﹣ 4ac＞ 0 10．已知二次函數(shù) y=ax2+c，且當(dāng) x=1 時(shí)，﹣ 4≤y≤﹣ 1，當(dāng) x=2 時(shí)，﹣ 1≤y≤5，則當(dāng) x=3 時(shí)，y 的取值范圍是（ ） A． ﹣ 1≤y≤20 B． ﹣ 4≤y≤15 C． ﹣ 7≤y≤26 D． ≤y≤ 11．已知一次函數(shù) y=ax+c 與 y=ax2+bx+c，它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（ ） A． B． C． D． 12．下列函數(shù) ， y=3x2， ， y=x（ x﹣ 2）， y=（ x﹣ 1） 2﹣ x2中，二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ） A． 2 個(gè) B． 3 個(gè) C． 4 個(gè) D． 5 個(gè) 二．填空題（共 8 小題） 13．已知 是二次函數(shù)，則 a= _________ ． 14．在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)直線 y=x﹣ 1，雙曲線 ，拋物線 y=﹣ 2x2+12x﹣ 15 這三個(gè)圖象共有 _________ 個(gè)交 點(diǎn) 15．如果函數(shù) y=b的圖象與函數(shù) y=x2﹣ 3|x﹣ 1|﹣ 4x﹣ 3 的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，則 b的可能值是 _________ ． 16．拋物線 y=x2﹣ 2 x+a2的頂點(diǎn)在直線 y=2 上，則 a= _________ ． 17．將進(jìn)貨單價(jià)為 50 元的某種商品按 零售價(jià)每個(gè) 80 元出售，每天能賣出 20 個(gè)，若這種商品的零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降 1 元，其銷售量就增加 1 個(gè)，則為了獲得最大利潤，應(yīng)降價(jià) _________ 元． 18．如圖，矩形 ABCD的長 AB=4cm，寬 AD=2cm． O 是 AB 的中點(diǎn)， OP⊥ AB，兩半圓的直徑分別為 AO 與 OB．拋物線的頂點(diǎn)是 O，關(guān)于 OP 對稱且經(jīng)過 C、 D 兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是 _________ cm2． 19．二次函數(shù) y=x2+（ 2+k） x+2k 與 x軸交于 A， B 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A是個(gè)定點(diǎn)， A， B 分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，且 OA+OB=6，則直線 y=kx+1 與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 _________ ． 20．若函數(shù) y=3x2﹣（ 9+a） x+6+2a（ x是自變量且 x為整數(shù)），在 x=6 或 x=7 時(shí)取得最小值，則 a 的取值范圍是 _________ ． 三．解答題（共 6 小題） 21．如圖，一次函數(shù) y=﹣ 2x+b 的圖象與二次函數(shù) y=﹣ x2+3x+c 的圖象都經(jīng)過原點(diǎn)， （ 1） b= _________ ， c= _________ ； （ 2）一般地，當(dāng)直線 y=k1x+b1與直線 y=k2x+b2平行時(shí)， k1=k2， b1≠b2，若直線 y=kx+m 與直線 y=﹣ 2x+b 平行，與軸交于 點(diǎn) A，且經(jīng)過直線 y=﹣ x2+3x+c 的頂點(diǎn) P，則直線 y=kx+m的表達(dá)式為 _________ ； （ 3）在滿足（ 2）的條件下，求 △ APO 的面積． 22．已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過 A（ 4，﹣ 3）， B（ 2， 1）和 C（﹣ 1，﹣ 8）三點(diǎn)． （ 1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式以及它的圖象與 x軸的交點(diǎn) M， N（ M 在 N的左邊）的坐標(biāo)． （ 2）若以線段 MN 為直徑作 ⊙ G，過坐標(biāo)原點(diǎn) O 作 ⊙ G 的切線 OD，切點(diǎn)為 D，求 OD 的長． （ 3）求直線 OD 的解析式． （ 4）在直線 OD 上是否存在點(diǎn) P，使得 △ MNP 是直角三角形？如果存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)（只需寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）；如果不存在，請說明理由． 23．如圖，拋物線 y=ax2+bx﹣ 3 交 y 軸于點(diǎn) C，直線 l為拋物線的對稱軸，點(diǎn) P 在第三象限且為拋物線的頂點(diǎn)． P 到 x軸的距離為 ，到 y軸的距離為 1．點(diǎn) C 關(guān)于直線 l的對稱點(diǎn)為A，連接 AC 交直線 l于 B． （ 1）求拋物線的表達(dá)式； （ 2）直線 y= x+m 與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn) D，與 y 軸交于點(diǎn) F，連接 BD 交 y 軸于點(diǎn) E，且 DE： BE=4： 1．求直線 y= x+m 的表達(dá)式； （ 3）若 N 為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，在直線 y= x+m 上是否存在點(diǎn) M，使得以點(diǎn) O、 F、M、 N 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 24．如圖甲，分別以兩個(gè)彼此相鄰的正方形 OABC 與 CDEF 的邊 OC、 OA 所在直線為 x軸、y 軸建立平面直角坐標(biāo)系（ O、 C、 F 三點(diǎn)在 x軸正半軸上）．若 ⊙ P 過 A、 B、 E三點(diǎn)（圓心在 x軸上），拋物線 y= 經(jīng)過 A、 C 兩點(diǎn)，與 x軸的另一交點(diǎn)為 G， M是 FG 的中點(diǎn)，正方形 CDEF 的面積為 1． （ 1）求 B 點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）求證： ME 是 ⊙ P 的切線； （ 3）設(shè)直線 AC 與拋物線對稱軸交于 N， Q 點(diǎn)是此對稱軸上不與 N 點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)， ①求 △ ACQ 周長的最小值； ②若 FQ=t， S△ ACQ=S，直接寫出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式． 25．如圖，拋物線 C1： y=x2+2x﹣ 3 的頂點(diǎn)為 M，與 x軸相交于 A、 B 兩點(diǎn)，與 y軸交于點(diǎn)D；拋物線 C2與拋物 線 C1關(guān)于 y 軸對稱，頂點(diǎn)為 N，與 x軸相交于 E、 F 兩點(diǎn)． （ 1）拋物線 C2的函數(shù)關(guān)系式是 _________ ； （ 2）點(diǎn) A、 D、 N 是否在同一條直線上？說明你的理由； （ 3）點(diǎn) P 是 C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P′是 C2上的動(dòng)點(diǎn)，若以 OD 為一邊、 PP′為其對邊的四邊形ODP′P（或 ODPP′）是平行四邊形，試求所有滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 4）在 C1上是否存在點(diǎn) Q，使 △ AFQ 是以 AF 為斜邊且有一個(gè)角為 30176。． 過 D 作 DE⊥ OG，垂足為 E，則 DE=OD?sin30176。即 ME 是 ⊙ P 的切線； （ 3） ①如圖乙，延長 AB 交拋物線于 A′，連 CA′交對稱軸 x=3 于 Q，連 AQ，則有 AQ=A′Q，△ ACQ 周長的最小值為 AC+A′C 的長，利用勾股定理即可求得 △ ACQ 周長的最小值； ②分別當(dāng) Q 點(diǎn)在 F 點(diǎn)上方時(shí)，當(dāng) Q點(diǎn)在線段 FN上時(shí)，當(dāng) Q點(diǎn)在 N點(diǎn)下方時(shí)去分析即可求得答案． 解答： （ 1）解：如圖甲， 連接 PE、 PB，設(shè) PC=n， ∵ 正方形 CDEF 的面積為 1， ∴ CD=CF=1， 根據(jù)圓和正方形的軸對稱性知： OP=PC=n， ∴ BC=2PC=2n， ∵ 而 PB=PE， ∴ PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2， PE2=PF2+EF2=（ n+1） 2+1， ∴ 5n2=（ n+1） 2+1， 解得： n=1 或 n=﹣ （舍去）， ∴ BC=OC=2， ∴ B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2， 2）； （ 2）證明：如圖甲，由（ 1）知 A（ 0， 2）， C（ 2， 0）， ∵ A， C 在拋物線上， ∴ ， 解得： ， ∴ 拋物線的解析式為： y= x2﹣ x+2= （ x﹣ 3） 2﹣ ， ∴ 拋物線的對稱軸為 x=3，即 EF 所在直線 ， ∵ C 與 G 關(guān)于直線 x