【正文】 W n Z?，其中1niiiZ ?????? ，這里i?稱為非中心參數(shù)。 多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 五 、 相關(guān)系數(shù)的極大似然估計 1. 極大似然估計的不變性 c o v ( , )( ) ( )i j i jiji j i i j jxxV a r x V a r x??????設參數(shù) 的極大似然估計是 ，變換 是一一對應的，則 的極大似然估計就是 ? ?? ()f???()f ? ?( ).f ?2. 簡單相關(guān)系數(shù)的極大似然估計 ??? ?ij ijij ijii jj ii jjanra n a n????? ? ?12211( ) ( )( ) ( )nk i i k j jknnk i i k j jkkx x x xx x x x???????????多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 定理 3. 3 . 1 設 x 和 A 分別是正態(tài)總體( , )pN ? ?的樣本均值和樣本離差矩陣 ， 則 （ 1 ） 1x ~ , pNn????????； （ 2 ） 11y yniiiA???? ? ，其中1 2 1y , y , , y ~ ( 0 , )iidnpN??； （ 3 ） x 和 A 相互獨立； （ 4 ） A 為正定矩陣（ 0A ? ）np??. 多元統(tǒng)計分析 169。x Nx ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???4 4 44 41 431 3 1 14 11 133 3 34 31 33( 3 ) ~ , .xxNx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???多元統(tǒng)計分析 169。 第二節(jié) 多元正態(tài)分布的性質(zhì) 2 ． 設 x ~ ( , ) , y xpN C b? ? ? ?，其中 C 為 rp? 常數(shù)矩陣， b 為 r 維常數(shù)向量，則 y ~ ( , )rN C b C C? ??? 多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 二 、 多元正態(tài)分布的定義 定義 設 p 維隨機向量 則 u 的密度函數(shù)為 12u ( , , , ) ,pu u u ?? 12, , , ~ ( 0 , 1 )iidpu u u N1 2 211( u ) ( 2 ) e x p2piifu? ?????? ?????2211( 2 ) e x p2ppiiu? ?????? ?????2 1( 2 ) e xp u u ,2p? ? ?? ??? ????, 1 , 2 , ,iu i p? ? ? ? ? ? ?u的均值和協(xié)方差矩陣分別為 12( u ) ( ( ) , ( ) , , ( ) ) 0pE E u E u E u ???12( u ) ( ( ) , ( ) , , ( ) )pV d ia g V u V u V u I???u的分布稱為均值為 0，協(xié)方差矩陣為 I 的 p 元正態(tài)分布 ，記作 u ~ ( 0 , )pNI多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 第一節(jié) 多元正態(tài)分布的定義 一 、 一元正態(tài)分布回顧 一個游戲： 高爾頓釘板游戲 考察某一學科 考試成績的分布 考察人類 身高的分布 情況 思考：以上分布具有什么樣的特點？ 多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 多元統(tǒng)計分析 169。 多元統(tǒng)計分析 169。多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 引 理 3. 3 . 1 設 B 為 p 階對稱正定矩陣，常數(shù) 0b ? ，則以下不等式對一切 p 階正定矩陣 ? 成立 11| | | | ( 2 )2b b b p b pe tr B B b e? ? ? ???? ? ? ????? 且僅當 12Bb?? 時等號成立。 1211 2 2 2 1 21 . 2 3 1 2011σ σm a x ( , x )p l xl?? ?????? ????????1211 2 2 2 1 21 . 2 3 1 . 2 311s s?ppSrs??????? ????多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 1212? ? ( x , x , , x ) ,?, , ( , , , ) , ? .nnn X X X? ? ?? ? ????? ? ? ?若 為 參 數(shù) 的 估 計 量 若 對 于 任 意當 時 依 概 率 收 斂 于相 合稱為 的 估 計 量則3. 相合性（一致性） 4. 充分性 多元統(tǒng)計分析 169。 Wi s ha rt 分布是 2? 分布在多元情形下的推廣。S與 相 互 獨 立③ ? ? ? ?12x x ~ ( , 1 )n S T p n?? ??? ? ?④ ④ ? ? ? ?n x ~ 0 , pN??? ， ( 1 ) ~ ( 1 , )pn S W n? ? ?， 證明： ???相 互 獨 立? ? ? ? ? ?? ? ? ?112( 1 ) x ( 1 ) x x x ~ ( , 1 )n n n S nn S T p n???????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 當 p ，2n不屬于上表所列舉的情況時， Bart lett 指出可用 2?分布近似表示，即 221 2 1 2 21l n ( , , ) ~ ( )2pnV n n p n n p n?????? ? ? ? L????近 似 。pN nn????? ? ?????????① ? ? ? ?12 1212x x ~ 0 , 。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 三 、 T 2 分布 1. 定義 設~ ( , )pW W n ?，x ~ ( 0 ,