【正文】 （ 2）若 ，則 是函數(shù) 的極大值點(diǎn)； 0)( 0 ?? xf0x)(xf例 5 求函數(shù) 的極值 . xxxf 3)( 3 ??解 函數(shù)的定義域?yàn)? ),( ????所以 為極大值 , 為極小值 . 2)1( ??f 2)1( ??f前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 函數(shù)的最大值與最小值 是函數(shù)在所考察的區(qū)間上全部函數(shù)值中最大者和最小者 最小的就是函數(shù)在區(qū)間 上的最小值。 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 定理 3（極值第一判別法）： 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且在此鄰域內(nèi)（ 可除外）可導(dǎo) )(xf 0x0x（ 1）如果當(dāng) 時(shí) ，而當(dāng) 時(shí)， 則 在 取得極大值。 3 2xy ?332xy ??其導(dǎo)數(shù)為 當(dāng) 時(shí) 不存在，且不存在使 的點(diǎn) 0?x y? 0??y用 把定義域分成兩個(gè)區(qū)間，見(jiàn)下表： 0?x x (∞ ,0) (0,+∞ ) f180。 一般分為三種類型討論： )()(xgxf 洛必達(dá)法則 001． 型不定式 ??2． 型不定式． 3．其它型不定式 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 定理 1 設(shè)函數(shù)與在的某空心鄰域內(nèi)有定義 ， 且滿足如下條件： 000)(lim)(lim)1( ?? ?? xgxf axax且在該鄰域內(nèi)都存在和 ，xgxf )()()2( ??。 AB( , ( ) )Mf??x0()f ?? ?O xy即 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 則在區(qū)間 內(nèi)至少存在 ),( ba(1) 在閉區(qū)間 上連續(xù)； ],[ ba(2) 在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)； ),( ba定理 2 設(shè)函數(shù) 滿足下列條件 )(xf)(xfy ?MABba ?T( ) ( )() f b f afba??? ??一點(diǎn) ， ? 使得 拉格朗日中值定理 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 曲線 處處有不垂直于 軸的切線 如圖 在直角坐標(biāo)系 Oxy ()y f x?x端點(diǎn)連線 AB的斜率為 ( ) ( )f b f aba??所以定理實(shí)際是說(shuō)存在點(diǎn) ，使曲線在該點(diǎn)的切線 T平行于弦 AB。 ??0例 10 求 xx x?? 0lim0( 0 )型xxxxxxxxeexlnlimln000limlim ????????xxx lnlim0 ??xxx 1lnlim0 ???20 11limxxx???? 0)(lim0 ??? ?? xx1lim 00 ???? ex xx 解 所以 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 11 求 xx xs i n0 )( c o tlim ??,)( c o t s i n xxy ? xxy c o tlns i nln ???? yx lnlim0xxxs i n1cotlnl i m0 ???xxxxxc o ss i n1s i n1c o t1l i m220????? 0c o ss i nl i m20 ?? ?? xxx??? yx 0lim解 設(shè) xxx c o tlns i nlim 0 ??所以 ???xx xs i n0 )( c o tlim ??? yx e ln0lim10 ?e（ 型） 0?前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 12 求 xexx ln11)(lnl i m ??（ 型 ） ?1,)( l n ln11xxy ?? )l n ( l nln11ln xxy ??xxxxxyexexex 11ln1limln1lnlnlimlnlim???????1)ln 1(l i m ????? xex所以 1ln1 1)(lnl i m ???? ex xex解 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 函數(shù)的單調(diào)性與極值 定理 1 設(shè)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū) 間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則： (a,b)內(nèi) ,則 f (x)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)單調(diào)增加 ( ) 0fx? ? (a,b)內(nèi) ,則 f (x)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)單調(diào)減少。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)也不是唯一的。 (3)用 (2)中的點(diǎn)將定義域 (或區(qū)間 )分成若干個(gè)子區(qū)間 , 進(jìn)一步判定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn) . (2)求出 ,求出使 的點(diǎn)及 不存在的點(diǎn) 。 如圖所示 函數(shù)圖形的描繪 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 如果曲線弧總是位于其切線的下方 ， 則稱曲線在這個(gè)區(qū)間上是凸的 。 2xey ??解 函數(shù)的定義域?yàn)? 當(dāng) 時(shí) ， ， 故以 將定 義域分成三個(gè)區(qū)間，列表如下： 0???y21??x22 xxey ???? 2 2, 2 ( 2 1 )xy e x??? ??21??x21??x),( ????前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) x 1( , )2?? ?12?11( , )22?121( , )2 ??)( xf ??)(xf + 0 － 0 + 有 拐 點(diǎn) 有拐點(diǎn) 在 處，曲線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 與 為拐點(diǎn)。 （ 4 （ 5 （ 6）算出一些點(diǎn)，特別是曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。 )(xf? )(xf稱導(dǎo)函數(shù) 當(dāng) 時(shí) , )( 0xfy ???1??x實(shí)際上， xxfdyy ?????? )(0 解 ,所以 , xy 4?? 205 ?? ?xy22 xy ? 在 5?x 時(shí)的邊際函數(shù)值。已知收益 QL( ) 2 0 0 0 1 0 0??C = C解 根據(jù)題意，總成本函數(shù)為 是年產(chǎn)量 的函數(shù) 21400() 280000R R Q? ???? ???0 4 0 0Q??400Q ?問(wèn)每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí)總利潤(rùn)最大 ?此時(shí)總利潤(rùn)是多少 ? 從而可得總利潤(rùn)函數(shù)為 ( ) ( ) ( )L L Q R Q C Q? ? ?213 0 0 2 0 0 0 0 0 4 0 026 0 0 0 0 1 0 0 4 0 0Q Q Q? ? ? ? ????? ???R前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) ( ) ( ) ( )L Q R Q C Q? ? ??? 3 0 0 0 4 0 01 0 0 4 0 0Q? ? ???? ???令 得 0() ??L 300Q ?由于 ,故 時(shí)利潤(rùn)最大 01)3 0 0( ?????L 300Q ?此時(shí) 2500020220900002190000)300( ?????L 即當(dāng)生產(chǎn)量為 300個(gè)單位時(shí) , 總利潤(rùn)最大 ,其最大利潤(rùn)為 25000元 . 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 設(shè)某企業(yè)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)量為 個(gè)單位 , 代表總成本 , 代表邊際成本 ,每單位產(chǎn)品的平均成本為 在生產(chǎn)實(shí)踐中 ,經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題 ,即在既定的生產(chǎn)規(guī)模條件下 ,如何合理安排生產(chǎn)能使成本最低 ,利潤(rùn)最大 ? Q4 ()CQ()CQ? ()CQC Q?于是 ( ) ( ) ( )C Q C Q Q C Q????由極值存在的必要條件知，使平均成本為極小的生產(chǎn)量 應(yīng)滿足 ,于是得到一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要結(jié)論 : 0Q0( ) 0CQ? ? 使平均成本為最小的生產(chǎn)水平（生產(chǎn)量 ），正是使邊際成本等于平均成本的生產(chǎn)水平（生產(chǎn)量）。 兩點(diǎn)間的相對(duì)變化率， 0??x00xxyy??0xx ?或稱兩點(diǎn)間的彈性 處的相對(duì) 記作 00 )(。 0PP ?總之，市場(chǎng)上商品價(jià)格將圍繞均衡價(jià)格擺動(dòng) 0QDQ SQDQ SQ前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 而將 的商品稱為富有彈性商品． 由于 ，而邊際收益 當(dāng) 時(shí)， ，Ｒ取得最大值． ()R P Q P f P?? ))(1)(()()(1)()()( PPfPf PPfPfPfPPfR ??????????? ???????由此可知，當(dāng) 時(shí)， ，Ｒ遞增，