【正文】 如果函數(shù) 在 的某鄰域內連續(xù)，當在點 的二階導數(shù)不存在時，如果在點 某空心鄰域內二階導數(shù)存在且在 的兩側符號相反，則點 是拐點；如果兩側二階導數(shù)符號相同，則點 不是拐點 . )(xf 0x 0x0x ))(,( 00 xfx))(,( 00 xfx0x綜上所述，判定曲線的凹凸與拐點的步驟可歸納如下： （ 1）求一階及二階導數(shù) ， （ 2）求出 及 不存在的點； )(xf? )(xf ??)(xf? )(xf ??前頁 結束 后頁 （ 3） 以 （ 2） 中找出的全部點 ， 把函數(shù)的定義域分成若干部分區(qū)間 ， 列表考察 在各區(qū)間的符號 ， 從而可判定曲線在各部分區(qū)間的凹凸與拐點 。 11?? xy解 所以 是曲線的一條鉛直漸近線。 0?y 先作出函數(shù)在 內的圖形，然后利用對稱性作出區(qū)間 內 的圖形，如圖 (0, )??( , 0)??o 前頁 結束 后頁 ?21y?xy?y 0 (0， 1) 1 （ 1， +∞） 0 － － 0 + 極大值)21( 1 , e?拐點列表討論如下 其中 ， ； 21 ?? 1 ?e?前頁 結束 后頁 導數(shù)在經濟中的應用 函數(shù)的變化率 ——邊際函數(shù) 定義 1 設函數(shù) 在點 處可導， )( xfy ? x邊際函數(shù)值。 設 P為商品價格， Q 為商品量， R 為總收益， 為平均收益， 為邊際收益，則有 R需求函數(shù) 總收益函數(shù) 平均收益函數(shù) 邊際收益函數(shù) ()R R Q?()QPP?()R R Q?()R R Q???R?前頁 結束 后頁 需求與收益有如下關系 : 總收益 平均收益 邊際收益 ( ) ( )R R Q Q P Q??( ) ( )( ) ( )R Q Q P QR R Q P Q? ? ? ?()R R Q???()() RQR R ??總收益與平均收益及邊際收益的關系為 前頁 結束 后頁 求銷售量為 30時的總收益，平均收益與邊際收益。 Qmax前頁 結束 后頁 Q RQ1CRQ假設某企業(yè)某種物資的年需用量為 R,單價為 P,平均一次 因此 訂貨費用為 2）保管費用 在進貨周期內都是初始最大，最終為零， 訂貨費用為 C1 ， 年保管費用率（即保管費用與庫存商品價 值之比）為 Ｃ ２ ，訂貨批量為 ，進貨周期（兩次進貨間隔 )Ｔ， 進貨周期 Ｔ， 則年總費用由兩部分組成： １ )訂貨費用 每次訂貨費用為Ｃ 1，年訂貨次數(shù)為 所以全年每天平均庫存量為 ，故保管費用為 2Q 212 QPC于是總費用 1212CRC Q P CQ??故可用求最值法求得最優(yōu)訂購批量 ， 最優(yōu)訂購次數(shù) *RQ以及最優(yōu)進貨周期 Ｔ ，此時總費用最小。在圖中是在需求曲線 Ｄ 與供給曲線 Ｓ 的交點Ｅ處的處的橫坐標 Ｐ ＝ Ｐ ０， 此時需求量與供給量均為 ,稱均衡商品量 0PP ?當 時，需求量 小于供給量 ，供大于求；商品滯銷。 ()Q f P??定義 3 設某商品的需求函數(shù)在 P處可導 ,稱 ()EQ PfPEP Q?? ? ?()EQ PfPEP Q? ?? ? ? ?前頁 結束 后頁 解 需求函數(shù)為 例 11 已知某商品的需求函數(shù) 求 ,10PeQ ??,101)( 10PePfQ ??????5 , 1 0 , 1 5P P P? ? ?時的需求彈性并說明其意義 10101)(1010 PePePf PP???????,)5( ?? 說明 P=5時，價格上漲 1%，需求量減少 ％ ,1)10( ?? 說明 P=10時，價格與需求的變動幅度相同 ,)15( ?? 說明 P=15時，價格上漲 1%，需求量減少 ％ 前頁 結束 后頁 )( PQ ??（ 2）供給彈性 “供給 ” 是指在一定價格條件下，生產者愿意出售并且有 可供出售的商品量。 因此就有一個如何確定訂購批量使總費用最少的問題。邊際收益為總收益的變化率。 ???????? ???2)1(4lim 20 xxx0?x（ 4） 描出幾個點： 12( , ) ,A ?? 16( , ),B21( , ),C 239( , ) .Dx y o 如圖所示 作出函數(shù)圖形 前頁 結束 后頁 例 6 在經濟學中，會經常遇到函數(shù) 試作出函數(shù)的圖形。 1． 如果曲線 的定義域是無窮區(qū)間，且有 或 ,則直線 為曲線 的漸近線，稱 )( xfy ? bxfx ???? )(limby ?bxfx ???? )(lim)( xfy ?為水平漸近線 .如下圖 前頁 結束 后頁 x y o x y o 例 3 求曲線 的水平漸近線 。 拐點既然是凹與凸的分界點 ， 所以在拐點的某鄰域內 必然異號 ， 因而在拐點處 或 不存在 。 ],[ ba連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 上的最大值與最小值可通過比較 端點處的函數(shù)值 和 。 0x0)( ?? xf 0xx ?0xx? 0)( ?? xf)(xf0)( ?? xf 0)( ?? xf??0x ??0x0x（ ） 如圖所示： 在 ， ),( 00 xx ?? 0)( ?? xf在 ， ),( 00 ??xx 0)( ?? xf在 取得極大值。(x) + f (x) 單增 單減 前頁 結束 后頁 反之，如果對此鄰域內任一點 ，恒有 則稱 為函數(shù) 的一個極小值， 稱為極小值點。0)( ?? xg.)( )(lim)( )(lim xg xfxg xfaxax ?????則） （ ???? )()(lim)3(xgxfax存在 或為 1． 型未定式． 前頁 結束 后頁 （ 為任意實數(shù)） 例 1 求 xxx1)1(l i m0???????????????? 1)1(lim1)1(lim 120xaxxxx解 例 2 求 20)1ln (limxxx??xxxxxx 211lim)1l n (lim020?????解 ????? )1(21lim0 xxx前頁 結束 后頁 例 3 求 202l i mxee xxx?? ??解 12lim2lim2lim0020????????????xxxxxxxxxeexeexee此定理的結論對于 時 型未定式同樣適用。 ),( ba則在內至少存在一點 ， ? ? 羅爾定理 a b 使得 0)( ?? ?f前頁 結束 后頁 ?幾何解釋如圖 A Ba b在直角坐標系 Oxy中 曲線 兩端點的連線 平行于 軸 ,其斜率為零 x()y f x?AB故在曲線弧上定有一點 使曲線在該點的切線平行于弦 ，即平行于 軸。 型 、 型 、 型 、 前頁 結束 后頁 型或者 型 型： ??????100010 ??(??型 )變?yōu)? xxx lnlim 30 ??30 1lnlimxxx ???40 31limxxx????xxx 3lim40 ???? 3lim30xx????xxx lnl i m 30 ??例 8 求 解 0?前頁 結束 后頁 型 : 通分相減變?yōu)? 型 00例 9 求 )ln 11(lim1 xxxx ???（ 型） ???解 )ln 1