【正文】 nlim2222?? ??? xxx 22c o s3c o slim312???)s i n(c o s2)s i n3(3c o s2lim312 xxxxx ???? ?32s i n 6s i nlim2??? xxx ? 定理 2的結(jié)論對于 時的 型未定式 ??x ??前頁 結(jié)束 后頁 例 6 求 nx xxlnlim???解 01lim1limlnlim1????????????? nxnxnx nxnxxxx 能滿足定理中 )(xf )(xg與 應(yīng)滿足的條件， )()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxfaxaxax ???????????)(xf ? )(xg?與 還是 型未定式，且 )( )(lim xg xfax ???00如果 前頁 結(jié)束 后頁 如果反復(fù)使用洛必達(dá)法則也無法確定 則洛必達(dá)法則失效 . 此時需用別的辦法判斷未定式 )()(xgxf )()(xgxf 或能斷定 )()(xgxf??的極限， 無極限， 前頁 結(jié)束 后頁 例 7 求 xxxx s i n1s i nlim20?解 這個問題是屬于 00 型未定式， 20011sin sinl im l im 01sin sinxxxxxxxxx??? ? ?但分子分母分別 112 s in c o sc o sxxxx?求導(dǎo)后得 此式振蕩無極限，故洛必達(dá)法則失效，不能使用。 0)( ?? xfa b a b 函數(shù)的單調(diào)性及判別法 前頁 結(jié)束 后頁 例 2 確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間 . xxxf 3)( 3 ??可導(dǎo)， 且等號只在 x=0 成立 . 0c o s1 ???? xy解 因?yàn)樗o函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù)，在 內(nèi) ],[ ??? ),( ???例 1 判定函數(shù) 在區(qū)間 上的單調(diào)性 . xxy s in?? ],[ ???所以 函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)增加 . xxy s in?? ],[ ???解 )1)(1(333)( 2 ?????? xxxxf所以當(dāng) x = 1, x = 1 時 0)( ?? xf x (∞,1) 1 (1,1) 1 (1,+∞) f180。 )(xf)( 0xxx ?)( 0xf0x)()( 0xfxf ? 函數(shù)的極值 定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，若對此鄰域內(nèi)每一點(diǎn) ，恒有 ，則稱 是函數(shù) 的一個極大值， 稱為函數(shù) 的一個極大值點(diǎn)； )(xf 0x)( 0xxx ? )()( 0xfxf ? )( 0xf0x)(xf )(xf 函數(shù)的極大值極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。如下圖中 A、 B、 C、 D、 E都是極值點(diǎn)。 )(xf 0x前頁 結(jié)束 后頁 （ 2）如果當(dāng) 時 ，而當(dāng) 時， 則 在 取得極小值。 )(xf? 0)( ?? xf )(xf?討論在每個區(qū)間 的符號 。 ],[ ba ( ) ( )f a f b 內(nèi)使 ),( ba 0)( ?? xf內(nèi)使 不存在的點(diǎn)處的函數(shù)值。 如下圖： 當(dāng)曲線為凹時，曲線 的切線斜率 隨著 的增加而增加，即 是增函數(shù)；反之，當(dāng)曲線為凸時，曲線 的切線斜率 隨著 的增加而減少，即 是減函數(shù)。 )(xfx)(xfx)(xf)(xf ?? )(xf ??0)( ??? xf),( ba),( ba0)( ??? xf),( ba),( ba),( ba0)( ??? xf前頁 結(jié)束 后頁 例 1 求曲線 的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn) 。 21??x )1,21(e?)1,21( e前頁 結(jié)束 后頁 有些函數(shù)的定義域或值域是無窮區(qū)間 ， 此時函數(shù)的圖形向無限遠(yuǎn)處延伸 ， 如雙曲線 、 拋物線等 。 11?? xy解 因?yàn)? 所以 是曲線的一 條水平漸近線，如圖示 011lim ???? xx0?y前頁 結(jié)束 后頁 如果曲線 滿足 或 )( xfy ? ??? )(lim xfcx???? )(lim xfcx ???? )(lim xfcx則稱直線 為曲線 的鉛 直漸近線（或垂直漸近線），如圖 cx ? )( xfy ?例４ 求曲線 的鉛直漸近線 。 （ 7）用平滑的曲線連接各點(diǎn)。 2221)( xex ????解 （ 1）定義域：（－ ∞ ， +∞ ）； （ 2）奇偶性：由于 ，故 為偶函數(shù)，其圖形關(guān)于 軸對稱； )()( xx ???? )(x? （ 3）增減、極值、凹凸及拐點(diǎn)： y因?yàn)? 2 22)(xexx???? ? 222)1)(1()( xexxx ????? ???令 ，得 ； 令 ，得 ， ， 0)( ??? x 0?x0)( ?? ?? x 11 ??x 12 ?x前頁 結(jié)束 后頁 （ 4）漸近線 021lim)(lim 22??????????xxxex?所以 是水平漸近線 。 ,試求 例 1 設(shè)函數(shù) 前頁 結(jié)束 后頁 設(shè) C為總成本， 下面介紹幾個常見的邊際函數(shù) : 1．邊際成本 1C為固定成本， 則有 為可變成本， 2C為平均成本， C 為邊際成本， C? 為產(chǎn)量， Q總成本函數(shù) 12( ) ( )C C Q C C Q? ? ?平均成本函數(shù) 12 ()() C C QC C Q? ? ?邊際成本函數(shù) ()C C Q??? 2( ) 1 0 0 4QC C Q? ? ?例 2 已知某商品的成本函數(shù)為 ,求當(dāng) 時的總成本，平均成本及邊際成本?？偸找妗⑵骄找?、邊際收益均為產(chǎn)量的函數(shù)。 0Q前頁 結(jié)束 后頁 2( ) 5 4 1 8 6C Q Q Q? ? ?例 7 設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為 試求使平均成本最小的產(chǎn)量水平。下面我們只研究等批量等間隔進(jìn)貨的情況，它是指某種物資的庫存量下降到零時，隨即到貨，庫存量由零恢復(fù)到最高庫存 ，每天保證等量供應(yīng)生產(chǎn)需要，使之不發(fā)生缺貨。0ExxEfExEyxx ?處可導(dǎo) ,函數(shù)的相對改變量 前頁 結(jié)束 后頁 是 的函數(shù) ,若 可導(dǎo) 000lim0 xxyyExEyxxx ??????000lim yxxyx ????? )()( 000 xfxxf ??0x0xxExEy? 對一般的 x )(xfxxyyExEyx ????? 0l i myxxy????? 0limyxy?? x)(xf 函數(shù) 在點(diǎn) 的彈性 反映了隨著 的變化 )(xf )( xfExEx 變化幅度的大小 ,也就是 隨 變化反映的強(qiáng)烈列程度或靈敏度 . )( 0xfExE 表示在 ,當(dāng) 產(chǎn)生 1%的變化時 , 近似的 稱為 當(dāng) 為定值時 則有 改變 %)( 0xfExE0xx ?xx )(xfx)(xf )(xf前頁 結(jié)束 后頁 ( 為常數(shù)）的彈性函數(shù)。通常供給是價格的函數(shù)， P表示商品的價格， Q表示供給量， 稱為供給函數(shù) 我們用 D表示需求曲線，用 表示供給曲線，如圖示． 定義 4 設(shè)某商品的供給函數(shù) 在Ｐ處可導(dǎo)，稱 ()QP??()EQ PPEP Q? ?? 為商品在價格 )(P?即 ( ) ( )EQ PPPEP Q?? ???為Ｐ時的供給彈性，記 )( PQ ??)( PfQ ?ESD前頁 結(jié)束 后頁 當(dāng) 時，需求量 大于供給量 ，供不應(yīng)求， 會形成搶購黑市等，將導(dǎo)致價格上漲，Ｐ增加； （ 3）均衡價格 均衡價格是市場上需求量與供給量相等時的