【正文】 1(lim 1 xx xx ??? xx xxxx ln)1(1lnl i m1 ?????( 0 )0 型xxxxx ln111lnl i m1 ?????? xxxx ln11lnlim1 ????xxxx 111lim21???2?( 0 )0 型前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) ?1 00 0? 型未定式 : 由于它們是來(lái)源于冪指函數(shù) 的極限 ? ? )()( xgxf因此通?？捎萌?duì)數(shù)的方法或利用 ? ? )()( xgxf )(ln)( xfxge?00??即可化為 型未定式，再化為 型或 型求解。并非在整個(gè)區(qū)間上的最大最小。 )(xf 0x（ 3）如果在 兩側(cè) 的符號(hào)不變，則 不是 的極值點(diǎn)，如圖示 0x )(xf ?0x)(xf0)( ?? xf??0x ??0x0x（ ） 0)( ?? xf前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) (4)利用定理 3,判斷 (2)中的點(diǎn)是否為極值點(diǎn) ,如果是 求極值點(diǎn)的步驟： (1)求函數(shù)的定義域 (有時(shí)是給定的區(qū)間 )。 在駐點(diǎn)處函數(shù)值分別為 在端點(diǎn)的函數(shù)值為 最大值為 最小值為 解 )1)(1(444)( 3 ?????? xxxxxxf令 0)( ?? xf ，得駐點(diǎn) 11 ??x 0, 2 ?x 1, 3 ?x13)2()2( ??? ff4)1()1( ??? ff例 6 求函數(shù) 在區(qū)間 52)( 24 ??? xxxf [ 2, 2]?)(xf 4)1(,5)0(,4)1( ???? fff3)2()2( ??? ff比較上述 5個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，即可得 在區(qū)間 上的 )(xf [ 2,2]?前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) M1 x y o 1?2?M2 M1 x y o 1?2?M2 曲線的凹凸與拐點(diǎn) 定義 1：如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧總是位于其切線的上方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間上是凹的。 )(xf ??例 2 求曲線 的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn) 。 ???? 11l i m1 xx1?x如前頁(yè)圖所示 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 函數(shù)的圖形有助于直觀了解函數(shù)的性質(zhì) ， 所以研究函數(shù)圖形的描繪方法很有必要 ， 現(xiàn)在綜合上面對(duì)函數(shù)性態(tài)的研究 ， （ 1） （ 2） 確定函數(shù)的奇偶性 （ 曲線的對(duì)稱性 ） 和周期性； （ 3） 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值 。其含義為 :當(dāng) 時(shí) ,x改變一個(gè)單位，相 0xx ?)(xf 在點(diǎn) 0x 處的導(dǎo)數(shù) )( 0xf? 稱為 )(xf 在點(diǎn) 0x 處的 相應(yīng)地 y 約改變 個(gè)單位． )( 0xf?為 的邊際函數(shù)。 10 5QP ??2( ) ( ) 1 0 1 2 05QR Q Q P Q Q? ? ? ?( ) ( ) 1 0 ,5QR Q P Q? ? ?例 4 設(shè)某產(chǎn)品的價(jià)格和銷售量的關(guān)系為 解 總收益 平均收益 4)30( ?R邊際收益 2( ) 1 0 ,5R Q Q? ??2)30( ???R前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) Q3 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，總收益、總成本都可以表示為產(chǎn)量 的函數(shù)，分別記為 和 ，則總利潤(rùn) 可表 ()RQ ()CQ ()LQ示為 ( ) ( ) ( )L L Q R Q C Q? ? ?( ) ( ) ( )L Q R Q C Q? ? ???最大利潤(rùn)原則 : 取得最大值的必要條件為 ()LQ ( ) 0LQ? ?( ) ( )R Q C Q???即 所以取得最大利潤(rùn)的必要條件是 :邊際收益等于邊際成本 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 10 5QP ??例 5 已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 成本函數(shù)為 5 0 2CQ?? 問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)總利潤(rùn) L 最大 ? 解 已知 , 10 5QP ?? 5 0 2CQ??于是有 2( ) 1 05QR Q Q??2( ) ( ) ( ) 8 5 05QL Q R Q C Q Q? ? ? ? ?2( ) 8 ,5L Q Q? ?? 2()5LQ?? ??令 得 ( ) 0LQ? ?20Q ? 0)20( ???L所以當(dāng) Q=20時(shí)總利潤(rùn)最大 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 6 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本 20220元，每生產(chǎn) 一單位產(chǎn)品，成本增加 100元。 *Q前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 解 設(shè)最優(yōu)訂購(gòu)批量為 則訂購(gòu)次數(shù)為 Q例 8 某種物資一年需用量為 24000件，每件價(jià)格為 40元， 年保管費(fèi)率 12%,為，每次訂購(gòu)費(fèi)用為 64元，試求最優(yōu)訂購(gòu)批量 最優(yōu)訂購(gòu)次數(shù)，最優(yōu)進(jìn)貨周期和最小總費(fèi)用（假設(shè)產(chǎn)品的銷售是均勻的） 24000Q于是訂貨費(fèi)用為 2400064 Q? ，保管費(fèi)用為 1 4 0 0 .1 22 Q ??從而總費(fèi)用 2 4 0 0 0 1( ) 6 4 4 0 0 .1 22C C Q ? ? ? ? ? ?26 4 2 4 0 0 0( ) 2 0 0 . 1 2C?? ? ? ? ?32 64 24 00 0()C???? ?前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 0)800( ???C又因?yàn)? 于是當(dāng) 800Q ?最優(yōu)訂貨批量 (件 /批 ) * 800Q ?最優(yōu)訂貨批次 (批 /年 ) 3080024000 ?最優(yōu)進(jìn)貨周期 (天 )(全年按 360天計(jì) ) 1230360 ?最小進(jìn)貨總費(fèi)用 (元 ) 3 8 4 0)8 0 0(m i n ?? CC令 得 (件 /批 ) ( ) 0CQ? ? 6 4 2 4 0 0 0 8002 0 0 . 1 2Q????前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 函數(shù)的相對(duì)變化率 — 函數(shù)的彈性 彈性 定義 2 設(shè)函數(shù) )( xfy ? 在點(diǎn) 0x)()()(0000 xfxfxxfyy ?????與自變量的相對(duì)改變量 0xx? 之比 00xxyy?? 稱為函數(shù)從 0xx ?到 xxx ??? 0當(dāng) 時(shí)， 的極限稱為 )(xf 在 導(dǎo)數(shù)，也就是相對(duì)變化率，或稱彈性。這種狀況也不會(huì)持久，必然導(dǎo)致價(jià)格下跌， P減小 。通常需求是價(jià)格的函數(shù)， P 表示商品 的價(jià)格 ,Q 表示需求量， 稱為需求函數(shù)。 訂購(gòu)批量大 ,次數(shù)少 ,費(fèi)用就小 ,保管費(fèi)用就相應(yīng)增加； 訂購(gòu)批量小 ,次數(shù)多 ,費(fèi)用就大 ,保管費(fèi)用就相對(duì)較少。 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 2．收益 平均收益是生產(chǎn)者平均每售出一個(gè)單位產(chǎn)品所得到的收入，即單位商品的售價(jià)。 2)1(42 ???xxy解 （ 1） 定義域?yàn)?: ( , 0)?? (0, )??（ 2） 求函數(shù)的增減區(qū)間 、 極值 、 凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)； 因?yàn)? ， 3)2(4xxy ???4)3(8xxy ????令 得 ； 令 得 列表如下 : 0??y 2??x0???y 3??xx ( , 3)?? ? ( 3, 2 )?? ( 2, 0)? － 3 － 2 0 － － 0 + － － 0 + + + ),0( ??y?y?y前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) （ 3）漸近線：因?yàn)? 所以 為水平漸近線； 22)1(4lim 2 ???????? ????? xxx2x ?? 又因?yàn)? ， 所以 為鉛直漸近線。 定義 3 如果曲線上一點(diǎn)沿著曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí) ， 該點(diǎn)與某直線的距離趨于零 ， 則稱此直線為曲線的漸近線 。 定義 2 曲線上凹與凸的部分的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn) 。 ( x )( 1 , + ∞ )1( , 1 )( 1 , ) 1( ∞ , 1)x ∞∞ 515151前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) )1)(1(333)( 2 ?????? xxxxfxxf 6)( ???令 得 11 ?x 12 ??x0)( ?? xf由于 06)1( ??????f 06)1( ????f定理 4(極值的第二判別法 ) 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處具有 )(xf 0x 二階導(dǎo)數(shù)，且 ， ； 0)( 0 ?? xf 0)( 0 ??? xf（ 1） 若 ，則 是函數(shù) 的極小值點(diǎn)； 0)( 0 ?? xf 0x )(xf