數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-德薩格定理及其應(yīng)用(完整版)
【正文】 點(diǎn)在一條直線上． 證明 已知三角形 ABC,依據(jù)幾何作圖作出其垂心 R,重心 S,外心 T,其中,MN分別為 ,BCAC中點(diǎn) ,下面證明三點(diǎn) ,RST共線．在三點(diǎn)形 ABR和 MNT中 ,根據(jù)幾何作圖性質(zhì)可知 , //ABMN, //ARMT, //BRNT,即兩個(gè)三點(diǎn)形 和對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)都為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) ,從而它們的交點(diǎn)都在無(wú)窮遠(yuǎn)直線上．根據(jù) 德薩格 逆定理 ,兩個(gè)三點(diǎn)形 ABR和 MNT對(duì)應(yīng)頂點(diǎn) ,AM BN RT的連線交于一點(diǎn) S．即三點(diǎn),RST共線． TRSNMAB C （圖 6） 此題是歐拉定理的證明 ,其垂心 ,重心 ,外心所在的直線為歐拉線．此外 ,此題證明的構(gòu)圖 ,別具風(fēng)格 ,獨(dú)具匠心 ,是綜合分析各方面的因素 ,化冗為簡(jiǎn)的結(jié)果．而且 ,此題是初 等幾何中非常重要的三角形“三心”共線問(wèn)題 ,利用初等幾何的知識(shí)證明比較麻煩 ,此處用德薩格逆定理證明簡(jiǎn)單而又巧妙． 新疆師范大 學(xué) 2020屆 畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 8 例 4 設(shè)三角形 ABC 的三條內(nèi)角平分線分別交對(duì)邊于 D， E， F；又 BC 和 EF交于 X， CA 和 FD 交于 Y， AB 和 DE 交于 Z 則 X， Y， Z 三點(diǎn)共線。因此 X 在平面 ABC? ? ?內(nèi)。 情況（ ii） ABC與 ABC? ? ?位于同一平面 ?內(nèi)（圖 3）。 基本概念 定義 平面內(nèi)不 共線的三點(diǎn)與其每?jī)牲c(diǎn)的連線所組成的圖形叫做三點(diǎn)形；平面內(nèi)不共點(diǎn)的三直線與其每?jī)芍本€的交點(diǎn)所組成的圖形叫做三線性． 三點(diǎn)形與三線性實(shí)際上是一種圖形（如圖 21） ,點(diǎn) ,ABC叫做頂點(diǎn) ,直線 ,abc叫做邊． bacAB C 圖 21 新疆師范大 學(xué) 2020屆 畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 4 德薩格定理 我們已經(jīng)介紹了三點(diǎn)形和三線性．下面我們介紹德薩格定理． 定理 （德薩格定理） 如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn) ,則對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上． 證明（ 1） 如圖 1，因?yàn)? 1,OAA 三點(diǎn)共線故存在不全為零的常數(shù) 1,ll 使得 11O lA l A?? 同理可得 11O m B m B?? , 11O nC n C?? 其中 1,mm 不全為零； 1,nn 不全為零。 德薩格定理在射影幾何的基礎(chǔ)里扮演著一個(gè)很重要的角色，而射影幾何又是高等幾何中的主要組成部分，因此德薩格定理亦是高等幾何中的基礎(chǔ)命題之一。各專(zhuān)業(yè)全套優(yōu)秀畢業(yè)設(shè)計(jì)圖紙 2020 屆本科畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 德薩格定理及其應(yīng)用 所在學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專(zhuān)業(yè)班級(jí)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 09— 3 學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師： 答辯日期： 2020 年 5 月 8 日 新疆師范大 學(xué) 2020屆 畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 1 新
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