畢業(yè)論文-沃利斯公式的證明及其應(yīng)用(完整版)
【正文】 ?21na? 是遞增數(shù)列 .根據(jù)沃利斯 公式 ，則 2 2lim nn a ??? ?， 21lim 2nn a ???? ?. 得證 . 鹽城師范學院畢業(yè)論文 第 8 頁 共 14 頁 例 3 求極限 26 8 ( 2 4 )lim5 7 ( 2 3)n nn?? ????????. 解 由 沃利斯 （ Wallis） 公式的 推廣 （ 14） ，則有 2( 2 ) ( 4 ) ( 2 ) 1l im( 1 ) ( 3 ) ( 2 1 ) 2 1n x x n xx x n x n x?? ??? ? ???? ? ? ? ? ??? 20120si n d(1 ) si n dxxttx t t???????. 令 4x? 則 2( 2 ) ( 4 ) ( 2 )l im(1 ) ( 3 ) ( 2 1 )n x x n xx x n x?? ??? ? ???? ? ? ??? 26 8 ( 2 4 )l im5 7 ( 2 3 )n nn?? ????? ???? 420520si n dlim ( 2 5 )5 si n dntt ntt????? ? ???? 9lim ( 2 5 )128n n???? ? ???. 例 4 求極限21 1 1l im 1 9 2 5 ( 2 1 )n n?? ??? ? ? ??????. 解 因為 139。2 221( a r c s in ) (1 )1xxx ?? ? ?? 2 4 61 1 1 1 1( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2)1 2 2 2 2 21 ( )2 2 ! 3!x x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 4 6231 1 3 1 3 51 2 2 2 ! 2 3 !x x x? ? ?? ? ? ? ??? 21(2 1) !!1 (2 ) !! nnn xn?????? ， ( 1,1)x?? . 因此 20 1( 2 1 ) ! !a r c s in ( 1 )( 2 ) ! ! nnnx x d xn?????? ?? 211( 2 1) !!( 2 ) !! 2 1nnnxx nn ????? ? ? ?? （ 21） 鹽城師范學院畢業(yè)論文 第 9 頁 共 14 頁 由于當 1x? 時，級數(shù)1(2 1)!! 1(2 )!! 2 1nn nn??? ? ?? 在 1x? 處收斂 [8] （本文 下面給予證明），又由于函數(shù)項級數(shù) M檢驗法知，級數(shù) (1)在 ? ?1,1? 上一致收斂 . 在 （ 21） 中，令 sin ( )22x t t??? ? ? ?，有 211( 2 1 ) ! ! s ins in ( 2 ) ! ! 2 1nnnttt nn ????? ? ? ?? ， （ 22） 對（ 22）所在區(qū)間 0,2???????取積分，并且由逐項積分公式，則有 212 2 20 0 01( 2 1 ) ! !s in d s in d( 2 ) ! ! ( 2 1 ) nnntd t t t t tnn? ? ?? ???? ? ???? ? ?， 2 21201( 2 1 ) ! !1 s in d8 ( 2 ) ! ! ( 2 1 ) nnn ttnn ?? ? ???? ? ??? ?， 又由沃利斯公式 可知， 2120( 2 ) !!s in d ( 2 1) !!n ntt n? ? ? ?? ， 于是 21( 2 1 ) ! ! ( 2 ) ! !18 ( 2 ) ! ! ( 2 1 ) ( 2 1 ) ! !nnnn n n? ???? ? ???? 2202211 ( 2 1 ) ( 2 1 )nnnn????? ? ????? 即 221 1 1l im (1 )9 2 5 ( 2 1 ) 8n n ??? ? ? ? ? ??. 沃利斯公式在積分計算中的應(yīng)用 對于一些不易用積分法求出原函數(shù)的積分，但是利用沃利斯公式卻可能很容易解決這些問題 . 例 5[9] 求積分 20 xI e dx?? ???. 解 假設(shè) 0x? ，由 2462 2 2 4 211 1 12 ! 3 ! 1xxxx x e x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 鹽城師范學院畢業(yè)論文 第 10 頁 共 14 頁 可知 22 211 1xxe x?? ? ? ?, 注意，前者僅對 01x??正確，而后者對任一 0x? 都對，由此可得 22(1 )n nxxe??? (0 1)x?? ， 2 21(1 )nx ne x? ? ? ( 0)x? . 取積分 22112 20 0 0 0( 1 ) ( 1 )n n x n x ndxx d x e e x????? ? ? ? ?? ? ? ?. 但用替換 u nx? 可得 201dnxe x In? ? ?? . 又 1 2 2 12002 4 6 ( 2 2 ) ( 2 )( 1 ) s in d 1 3 5 ( 2 1 )nn nnx d x t t n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? , 即 222200 1 3 ( 2 3 )s in( 1 ) 2 4 ( 2 2 ) 2nnd x ntd txn? ?? ? ????? ? ??? , 所以 2 4 6 ( 2 2 ) ( 2 ) 1 3 ( 2 3 )1 3 5 ( 2 1 ) 2 4 ( 2 2 ) 2n n nn I nnn ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?. 平方得 222222( 2 4 ( 2 2 ) ( 2 ) ) ( 1 3 ( 2 3 ) ) ( 2 1 )2 1 ( 1 3 5 ( 2 1 ) ) ( 2 1 ) 2 1 ( 2 4 ( 2 1 ) ) 4n n n n n nIn n n n n ?? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??. 由 沃利斯公式得 22( 2 4 ( 2 2 ) ( 2 ) )l im (1 3 5 ( 2 1 ) ) ( 2 1 ) 2n nn ??? ?? ?? ? ? ?. 可知，當 n?? 時 2112 2 2 2I??? ? ? ?, 即 2 4I ?? . 鹽城師范學院畢業(yè)論文 第 11 頁 共 14 頁 因此 20 d 2xex?? ? ?? . 例 6 求 1010 0 sin dJ x x x?? ?的值 . 解 10210 0 si n dJ x x??? ? 9 7 5 310 8 6 4 4??? ? ? ? ?
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