【正文】 鹽 城 師 范 學 院 畢業(yè)論文 沃利斯公式的證明及其應(yīng)用 學生姓名 學 院 數(shù)學科學學院 專 業(yè) 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 班 級 10（ 2）班 學 號 10211255 指導(dǎo)教師 韓 誠 2022 年 5 月 25 日 沃利斯公式的證明及其 應(yīng)用 摘 要 Wallis公式在 求 EulerPoisson積分 和 推導(dǎo) Stirling公式的過程中 扮演 了很重要的角色．近幾年 來 ，國內(nèi)很多數(shù)學分析的教材都引入 Wallis公式，但教材中關(guān)于其應(yīng)用 的論述很少． 本文針對 Wallis公式的 證明并將 Wallis公式進行兩個簡單推廣， 從 數(shù)列極限計算、積分計算 以及級數(shù) 收斂性判斷幾個方面 探討 Wallis公式的應(yīng)用，為微積分教學提供有 意義 的素材和思路 ． 【關(guān)鍵詞】 Wallis 公式 ； 極限 ； 積分 Proof and Its Applications of Wallis Formula Abstract The formula of Wallis plays an important role in the process to obtain the Euler Poisson integral and the derivation of Stirling formula. In recent years, many domestic analysis mathematics textbooks into Wallis formula, but little about the applications of the teaching material. This paper proves that the little Wallis formula and the Wallis formula is two simple promotion, as well as the series convergence judgment application aspects of Wallis formula from the sequence limit calculation, integral calculation, to provide significant material and ideas for the teaching of calculus. [Key words] Wallis formula, limit, integral 目 錄 引 言 ................................................................ 1 1 沃利斯公式的證明及推廣 .............................................. 1 沃利斯公式的新證明 ............................................. 1 有限次代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系類比到無限次方程 .............. 1 應(yīng)用含參量積分證明沃利斯公式 .............................. 3 沃利斯公式的推廣 ............................................... 4 含參數(shù)的沃利斯公式 ........................................ 4 含沃利斯公式的不等式 ...................................... 5 2 沃利斯公式的應(yīng)用 .................................................... 7 沃利斯公式在極限計算中的應(yīng)用 ................................... 7 沃利斯公式在積分計算中的應(yīng)用 ................................... 9 沃利斯公式在級數(shù)收斂判別中的應(yīng)用 .............................. 11 3 總 結(jié) .............................................................. 13 參考文獻 ............................................................. 14 鹽城師范學院畢業(yè)論文 第 1 頁 共 14 頁 引 言 近幾年 來 ，國內(nèi)很多數(shù)學分析教材都引入 Wallis 公式，關(guān)于其證明方法有很多種，一般都是利用積分 sin d c o s dnnnJ x x x x????證明的，本文將借助類 比 思維， 分別 利用根與系數(shù)關(guān)系的思維方法 和 含參量定積分來證明 Wallis 公式 ．此外，教材中 關(guān)于其應(yīng)用論述的很少， 這是為什么呢？因為很多可以應(yīng)用 Wallis 公式的“高地”被斯特 林 公式占領(lǐng)了 ．但 本文 搜集到一些不能應(yīng)用斯特林 公式卻可以能應(yīng)用 Wallis 公式的例子． 且 Wallis公式在推導(dǎo)斯特林 公式中扮演很重要的角色，從加深理解 Wallis 公式的角度探求其 一些簡單推廣 以及其 在極限計算、積分計算和級數(shù)收斂判別方面的應(yīng)用 ． 1 沃利斯公式的證明及推 廣 沃利斯公式的 新 證明 沃利斯公式 ??1 指的是 21 2 4 ( 2 )l im2 1 1 3 ( 2 1 ) 2n nnn ??? ??? ???? ? ???. 經(jīng)過開平方后，則 Wallis 公式可以寫為 22( !) 2lim(2 )!nnnnn ??? ?. 現(xiàn)引入這樣的數(shù)學記號： 1 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 ) !!nn? ? ? ? ?， 2 4 6 ( 2 ) ( 2 ) !!nn? ? ?，則 Wallis 公式又可以寫成 21 ( 2 ) ! ! ( 2 1 ) ! !l im l im 2 12 1 ( 2 1 ) ! ! 2 ( 2 ) ! ! 2nnnn nn n n??? ? ? ??? ?? ? ??????? 或. （ 11） 有限次代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系類比到無限次方程 類比 的思維是人們把個別問題解決后所得到的經(jīng)驗用來解決其他近似問題 的一種類似聯(lián)想的思維的方法，類比這個重要的數(shù)學思想方法，曾被 波利亞稱為科學發(fā)現(xiàn)的“偉大引路人” [2] ，被 17 世紀德國著名天文學家和數(shù)學家開普勒視為“知道大自然一切秘密”的“導(dǎo)師 ” .在這我們也將采用類比思維 . 對于 有限次代數(shù)方程 20 1 2