傅里葉級數(shù)及其應(yīng)用畢業(yè)論文(完整版)
【正文】 數(shù)微分中值定理研究函數(shù)的性質(zhì) 設(shè)元函數(shù)在凸開域上可微，上取定一點且，有，則，有（常數(shù)），即是常數(shù)函數(shù)．證明 元函數(shù)在上滿足元函數(shù)的拉格朗日定理的條件，根據(jù)元函數(shù)的拉格朗日定理，使得．因為點，所以，．即．取，有，即是常數(shù)函數(shù)． 若元函數(shù)和在凸開域上連續(xù)，在內(nèi)關(guān)于各個變元具有連續(xù)的偏導數(shù)，上取定一點，且對任意的點，有，．而且不為零．則，有，其中是常數(shù)，．證明 因為元函數(shù)和在滿足元函數(shù)的柯西定理的條件，則 ，．又，所以，．即．所以，．即．設(shè)，則，有，其中是常數(shù)． 證明：設(shè)元函數(shù)在凸開域上可微，對內(nèi)任意兩點，有，且（是常數(shù)且）其中．則．證明 因為元函數(shù)在上滿足元函數(shù)的羅爾定理的條件，所以，使得，由已知條件，點，有，．所以，．因此，． 若，證明對某有． 證明 三元函數(shù)在凸開域上連續(xù)，在的所有內(nèi)點都可微，則對內(nèi)任意兩點，根據(jù)元函數(shù)的拉格朗日定理，使得．即 令，則 ?。?，則，即． 若在區(qū)域內(nèi)的諸偏導數(shù)存在且有界，則函數(shù)在內(nèi)連續(xù)．證明 假設(shè)，．任取，設(shè)，與連接及的直線段(設(shè)充分小)全部包含在內(nèi)，則由元函數(shù)的拉格朗日定理，得 ，．于是，使得當時，有．所以，函數(shù)在點連續(xù)．由的任意性知，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)． 將函數(shù)在點展成泰勒公式．解?。?，，且高于3階的偏導數(shù)都恒為0．于是，由元函數(shù)的泰勒公式，有．小結(jié) 元函數(shù)微分中值定理的表述形式與二元函數(shù)中值定理的形式類似，都是函數(shù)值與各偏導數(shù)和增量乘積的關(guān)系．在證明上也是采用了構(gòu)造“輔助函數(shù)”的方法．在實數(shù)域中，微分中值定理聯(lián)系了函數(shù)與導數(shù)，無論是一元函數(shù)、二元函數(shù)還是元函數(shù)，微分中值定理都對研究函數(shù)性質(zhì)有重要的輔助作用，那么如果函數(shù)定義在復數(shù)域中，微分中值定理還適用嗎？3 微分中值定理在復數(shù)域上的推廣由于二元函數(shù)在固定某個變量為暫時常量下可以看作一元函數(shù)，再由偏導數(shù)的定義，我們可先將一元微分中值定理推廣到二元實函數(shù)上．而二元實函數(shù)與復函數(shù)都是以有序數(shù)對為自變量的函數(shù)，它們之間有著密切的聯(lián)系，因此在有關(guān)性質(zhì)上也應(yīng)該有著密切聯(lián)系，所以又可利用二元實函數(shù)的微分中值定理，將實數(shù)域上的微分中值定理推廣到復數(shù)域上，得到解析函數(shù)的微分中值定理，為應(yīng)用導數(shù)研究解析函數(shù)的性質(zhì)提供了新工具，構(gòu)建了有用的平臺． 復數(shù)域上的中值定理引理1（可微的充要條件） 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)一點可微的充要條件是：(1)二元函數(shù)、在點可微；(2)、在點滿足方程，即．上述條件滿足時，在點的導數(shù)可以表示為下列形式之一： ．證明 設(shè)在D內(nèi)一點z可微，則，其中是隨而趨于零的復數(shù)．若令，則可寫成，這里是的高階無窮?。容^上式兩端的實、虛部，即得，．由數(shù)學分析二元函數(shù)的微分定義即知，與在點可微，且，． 由與的可微性即知，在點有，．其中與是的高階無窮?。儆煞匠?，可設(shè)．于是，有．所以，．即 ．定理1（費馬定理）設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)一點的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，并且在處可導，若對任意有或，或．則必有．證明 根據(jù)引理可知函數(shù)和函數(shù)在點可微，且．要使，只需，．先證．由于在定義域內(nèi)一點可微，則在該點關(guān)于每一個自變量的偏導數(shù)存在．又因為在點的鄰域內(nèi)的任一點有或．故．同理可證．定理2（羅爾定理） 若滿足下列條件：(1)在有界閉區(qū)域上連續(xù)；(2)在內(nèi)解析；(3)，其中為內(nèi)的兩定點，．則至少存在一點使得．證明 由解析函數(shù)的定義知在內(nèi)任意一點可導，根據(jù)引理得到和在內(nèi)任一點可微，且的求導公式為．由于，其中為內(nèi)的兩定點，．并且，．令，則函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在內(nèi)可微，并且有．則至少有一點，使得，．因為，．所以，．根據(jù)引理可知，于是，有，．所以，．定理3（拉格朗日定理） 若復函數(shù)滿足下列條件：(1)在有界閉區(qū)域上連續(xù)；(2)在內(nèi)解析；(3)與是內(nèi)的兩個定點．則至少存在一點，使得．證明 令，則函數(shù)在有界閉域上連續(xù)，在內(nèi)解析，并且，．根據(jù)羅爾定理可得至少存在一點，使得．即．定理4（柯西中值定理） 若函數(shù)與滿足下列條件：(1)復函數(shù)與在有界閉區(qū)域上連續(xù)；(2)復函數(shù)與在內(nèi)解析；(3)與在內(nèi)不同時為零；(4)，與是內(nèi)的兩個定點．
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