數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-德薩格定理及其應(yīng)用-文庫吧
2025-07-30 11:41 本頁面
【正文】 部分，而德薩格定理則是射影幾何中的基礎(chǔ)定理之一，在射影幾何中占有不可或缺的地位。發(fā)現(xiàn)德薩格定理的德薩格是17 世 紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他 1591 年出生于法國里昂， 1661 年卒于同地。曾坐過牢，后來擔(dān)任過法國軍事工程師和建筑工程師。 德薩格定理在射影幾何的基礎(chǔ)里扮演著一個很重要的角色，而射影幾何又是高等幾何中的主要組成部分，因此德薩格定理亦是高等幾何中的基礎(chǔ)命題之一。德薩格定理的內(nèi)容從完整的角度講包括德薩格定理及其逆定理，主要研究的是三點(diǎn)共線或者三線共點(diǎn)的問題。在初等幾何中有許多需要證明《點(diǎn)共線》或《線共點(diǎn)》的問題，這類問題用初等幾何方法證明往往比較復(fù)雜，但用德薩格定理去證明卻很容易。因此，德薩格定理和逆定理可以被應(yīng)用到 初等幾何中的很多方面中去。并展示了高等幾何在初等幾何中的一些最根本的應(yīng)用，全盤否決高等幾何在初等幾何中的無用之說。高等幾何有助于我們更好地學(xué)習(xí)理解初等幾何。由此體現(xiàn)了高等幾何對初等幾何的指導(dǎo)性意義。下面通過幾個具體的實(shí)例說明它在初等幾何中的應(yīng)用。 基本概念 定義 平面內(nèi)不 共線的三點(diǎn)與其每兩點(diǎn)的連線所組成的圖形叫做三點(diǎn)形；平面內(nèi)不共點(diǎn)的三直線與其每兩直線的交點(diǎn)所組成的圖形叫做三線性． 三點(diǎn)形與三線性實(shí)際上是一種圖形（如圖 21） ,點(diǎn) ,ABC叫做頂點(diǎn) ,直線 ,abc叫做邊． bacAB C 圖 21 新疆師范大 學(xué) 2020屆 畢業(yè)論文 (設(shè)計 ) 4 德薩格定理 我們已經(jīng)介紹了三點(diǎn)形和三線性．下面我們介紹德薩格定理． 定理 （德薩格定理） 如果兩個三點(diǎn)形對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn) ,則對應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上． 證明（ 1） 如圖 1，因?yàn)? 1,OAA 三點(diǎn)共線故存在不全為零的常數(shù) 1,ll 使得 11O lA l A?? 同理可得 11O m B m B?? , 11O nC n C?? 其中 1,mm 不全為零； 1,nn 不全為零。前兩式相減得 1 1 1 1()lA m B l A m B Z? ? ? ? ?； 同理可得 1 1 1 1()mB nC m B n C X? ? ? ? ?； 1 1 1 1()nC lA n C l A Y? ? ? ? ? 以上三式相加可得 0X Y Z? ? ? 。從而 ,X Y Z 三點(diǎn)共線定理得證。 證明（ 2）設(shè)有三點(diǎn)形 ABC與 ABC? ? ?，對應(yīng)頂點(diǎn)連線 ,AA BB CC? ? ?交于 一點(diǎn) O，對應(yīng)邊 BC與 ??的交點(diǎn)為 X， CA與 ??的交點(diǎn)為 Y， AB與 ??的交點(diǎn)為 Z，要證 X， Y， Z 在一直線上。 新疆師范大 學(xué) 2020屆 畢業(yè)論文 (設(shè)計 ) 5 情況（ i） ABC與 ABC? ? ?位于不用的平面 ?與?內(nèi)（圖 2），因 BC??都在五點(diǎn) , , , ,O B B C C??所定的平面內(nèi)
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