【正文】 以點 O 為圓心的圓，記作“⊙ O”，讀作“圓 O”． 學(xué)生四人一組討論下面的兩個問題： 問題 1：圖上各點到定點（圓心 O）的距離有什么規(guī)律？ 問題 2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？ 老師提問幾名學(xué)生并點評總結(jié)． （ 1）圖上各點到定點（圓心 O）的距離都等于定長（半徑 r）； （ 2）到定點的距 離等于定長的點都在同一個圓上． 因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為 O，半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點 O 的距離等于定長 r 的點組成的圖形． 同時，我們又把 ①連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖線段 AC， AB； ②經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖 241 線段 AB； ③圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，“以 A、 C 為端點的弧記作 AC ”，讀作“圓弧 AC ”或“弧 AC”．大于半圓的弧 （如圖所示 ABC 叫做優(yōu)弧， 小于半圓的?。ㄈ鐖D所示） AC 或 BC 叫做劣?。? BA CO ④圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓． （學(xué)生活動）請同學(xué)們回答下面兩個問題． 1．圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？ 你能找到多少條對稱軸？ 2．你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進行交流． （老師點評） 1．圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑， 我能找到無數(shù)多條直徑． 5 3．我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對稱軸問題的． 因此，我們可以得到： 圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線． （學(xué)生活動）請同學(xué)按下面要求完成下題： 如圖， AB 是⊙ O 的一條弦，作直徑 CD，使 CD⊥ AB，垂足為 M． BACDOM （ 1）如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？ （ 2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系 ？說一說你理由． （老師點評）（ 1）是軸對稱圖形，其對稱軸是 CD． （ 2） AM=BM， AC BC? ， AD BD? ，即直徑 CD 平分弦 AB，并且平分 AB 及 ADB ． 這樣，我們就得到下面的定理： 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。? 下面我們用邏輯思維給它證明一下： 已知：直徑 CD、弦 AB 且 CD⊥ AB 垂足為 M 求證： AM=BM， AC BC? ， AD BD? . 分析：要證 AM=BM，只要證 AM、 BM 構(gòu)成的兩個三角形全等．因此，只要連結(jié) OA、 OB 或 AC、BC 即可． 證明：如圖，連結(jié) OA、 OB，則 OA=OB 在 Rt△ OAM 和 Rt△ OBM 中 OA OBOM OM??? ?? ∴ Rt△ OAM≌ Rt△ OBM ∴ AM=BM ∴點 A 和點 B 關(guān)于 CD 對稱 ∵⊙ O 關(guān)于直徑 CD 對稱 BACOM 6 CEDOFBA CEDONM ∴當(dāng)圓沿著直線 CD 對折時，點 A 與點 B 重合， AC 與 BC 重合， AD 與 BD 重合． ∴ AC BC? ， AD BD? 進一步，我們還可以得到結(jié)論： 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。? （本題的證明作為課后練習(xí)） 例 1． 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦（即圖中 CD，點 O 是 CD的圓心， 其中 CD=600m，E 為 CD上一點，且 OE⊥ CD，垂足為 F， EF=90m，求這段彎路的半徑． 分析：例 1 是垂徑定理的應(yīng)用，解題過程中使用了列方程的方 法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握． 解：如圖，連接 OC 設(shè)彎路的半徑為 R，則 OF=（ R90） m ∵ OE⊥ CD ∴ CF=12 CD=12 600=300（ m） 根據(jù)勾股定理，得： OC2=CF2+OF2 即 R2=3002+（ R90） 2 解得 R=545 ∴這段彎路的半徑為 545m． 三、鞏固練習(xí) 教材 P86 練習(xí) P88 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2．有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖 245 所示，正常水位下水面寬 AB= 60m，水面到拱頂距離 CD=18m，當(dāng)洪水泛濫時，水面寬 MN=32m 時是否需要采取緊急措施？請說明理由． 分析：要求當(dāng)洪水到來時，水面寬 MN=32m 是否需要采取緊急措施， 只要求出 DE 的長，因此只要求半徑 R，然后運用幾何代數(shù)解求 R． 解：不需要采取緊急措施 設(shè) OA=R，在 Rt△ AOC 中， AC=30， CD=18 R2=302+（ R18） 2 R2=900+R236R+324 解得 R=34（ m） 連接 OM，設(shè) DE=x，在 Rt△ MOE 中， ME=16 342=162+（ 34x） 2 7 162+34268x+x2=342 x268x+256=0 解得 x1=4， x2=64（不合設(shè)） ∴ DE=4 ∴不需采取緊急措施． 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點評） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓的有關(guān)概念； 2．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸． 3．垂徑定 理及其推論以及它們的應(yīng)用． 六、布置作業(yè) 1．教材 P94 復(fù)習(xí)鞏固 3． 圓 (第 2 課時 ) 教學(xué)內(nèi)容 1．圓心角的概念． 2．有關(guān)弧、弦、圓心角關(guān)系的定理：在同圓或等圓中， 相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等． 3．定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等， 那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等． 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心 角相等，所對的弧也相等． 教學(xué)目標(biāo) 了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個量的兩個相等就可以推出其它兩個量的相對應(yīng)的兩個值就相等，及其它們在解題中的應(yīng)用． 通過復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的知識，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉(zhuǎn)的知識探索在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等，最后應(yīng)用它解決一些具體問題． 重難點、關(guān)鍵 1．重點：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等， 所對弦也相等及其兩個推論 和它們的應(yīng)用． 2．難點與關(guān)鍵：探索定理和推導(dǎo)及其應(yīng)用． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下題． 已知△ OAB，如圖所示，作出繞 O 點旋轉(zhuǎn) 30176。、 45176。AB， AB=A′ B′ 理由：∵半徑 OA 與 O′ A′重合，且∠ AOB=∠ A′ OB′ ∴半徑 OB 與 OB′重合 ∵點 A 與點 A′重合，點 B 與點 B′重合 ∴ AB 與 39。BB 39。的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1．了解圓周角的概念． 2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中 ，同弧或等弧所對的圓周角相等， 都等于這條弧所對的圓心角的一半． 3．理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角， 90 176。． .czs .BAC DO 因此，我們有切線的性質(zhì)定理 : 圓的切線垂直于過切點的半徑． 三、鞏固練習(xí) 教材 P102 練習(xí)， P103 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2．如圖， AB 為⊙ O 的直徑， C 是⊙ O 上一點， D 在 AB 的延長線上，且∠ DCB= ∠ A． （ 1） CD 與⊙ O 相切嗎？如果相切，請你加以證明，如果不相切，請說明理由． （ 2）若 CD 與⊙ O 相切，且∠ D=30176。 ∴∠ A=30176。 2 90176。 證明：連結(jié) O1M、 O2N ∵ MN 為兩圓的外公切線． ∴ O1M⊥ MN， O2N⊥ MN ∴ O1M∥ O2N ∴∠ MO1A+∠ NO2B=180176。 如圖，∠ AOC=30176。 sin36176。=90176。 =120176。 ∴ BC=BD=10 ∴ AB=20，∴ r=10 答：（ 1） CD 是⊙ O 的切線，（ 2）⊙ O 的半徑是 10． 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，總結(jié)發(fā)言老師點評） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．直線和圓相交、割線、直線和圓相切，切線、切點、直線和圓相離等概念． 2．設(shè)⊙ O 的半徑為 r，直線 L 到圓心 O 的距離為 d 則有： 直線 L 和⊙ O 相交 ? dr 直線 L 和⊙ O 相切 ? d=r 直線 L 和⊙ O 相離 ? dr 3．切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 4．切線的性質(zhì)定理，圓的切線垂直于過切點的半徑． 5．應(yīng)用上面的知識解決實際問題． 六、布置作業(yè) 1．教材 P110 復(fù)習(xí)鞏固 5． 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 (第 3 課時 ) 教學(xué)內(nèi)容 1．切線長的概念． 2．切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等， 這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 3．三角形的內(nèi)切圓及三角形內(nèi)心的概念． 教學(xué)目標(biāo) 了解切線長的概念． 23 理解切線長定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，熟練掌握它的應(yīng)用． 復(fù)習(xí)圓與直線的位置關(guān)系和切線的判定定理、性質(zhì)定理知識遷移到切長線的概念和切線長定理，然后根 據(jù)所學(xué)三角形角平分線的性質(zhì)給出三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心概念，最后應(yīng)用它們解決一些實際問題． 重難點、關(guān)鍵 1．重點：切線長定理及其運用． 2． 難點與關(guān)鍵：切線長定理的導(dǎo)出及其證明和運用切線長定理解決一些實際問題． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 1．已知△ ABC，作三個內(nèi)角平分線，說說它具有什么性質(zhì)？ 2．點和圓有幾種位置關(guān)系？你能說說在這一節(jié)中應(yīng)掌握幾個方面的知識？ 3．直線和圓有什么位置關(guān)系？切線的判定定理和性質(zhì)定理，它們?nèi)绾危? 老師 點評：（ 1）在黑板上作出△ ABC 的三條角平分線，并口述其性質(zhì)： ①三條角平分線相交于一點；②交點到三條邊的距離相等． （ 2）（口述）點和圓的位置關(guān)系有三種，點在圓內(nèi) ? dr；點在圓上 ? d=r；點在圓外 ? dr；不在同一直線上的三個點確定一個圓；反證法的思想． （ 3）（口述）直線和圓的位置關(guān)系同樣有三種：直線 L 和⊙ O 相交 ? dr；直線 L 和⊙相切 ? d=r；直線 L 和⊙ O 相離 ? dr；切線的判定定理： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線；切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑． 二、探索新知 從上面的復(fù)習(xí)，我們可以知道，過⊙ O 上任一點 A 都可以作一條切線， 并且只有一條，根據(jù)下面提出的問題操作思考并解決這個問題． 問題：在你手中的紙上畫出⊙ O，并畫出過 A 點的唯 一切線 PA， 連結(jié) PO， 沿著直線 PO 將紙對折，設(shè)圓上與點 A 重合的點為 B，這時， OB 是⊙ O 的一條半徑嗎？ PB 是⊙ O 的切線嗎？利用圖形的軸對稱性，說明圓中的 PA 與 PB，∠ APO與∠ BPO 有什么關(guān)系？ 學(xué)生分組討論，老師抽取 3～ 4 位同學(xué)回答這個問題． 老師點評： OB與 OA 重疊， OA 是半徑， OB 也就是半徑了．又因為 OB 是半徑， PB 為 OB 的外端，又根據(jù)折疊后的角不變，所以 PB 是⊙ O 的又一條切線，根據(jù)軸對稱性質(zhì)， 我們很容易得到 PA=PB，∠ APO=∠BPO． 我們把 PA 或 PB 的長，即經(jīng)過圓 外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長， 叫做這點到圓的切線長． 從上面的操作幾何我們可以得到： 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 24 ww w . cz sx . co m . OBAPBACEDOF 下面，我們給予邏輯證明． 例 1． 如圖，已知 PA、 PB是⊙ O的兩條切線． 求證： PA=PB，